知识三重意蕴视域下的数学教学设计

作者簡介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小学一级教师，主要从事数学教育教学研究.

摘  要：知识是教育的载体，教育是借助知识进行的. 学科知识包括知识内容、知识形式和知识旨趣三重意蕴. 基于知识三重意蕴视域的教学设计首先需要厘清知识的三重意蕴，并明确设计思路. 以“三角函数的诱导公式”一课的教学为例，具体阐明在教学实践过程中通过“提出核心问题，开门见山揭示知识旨趣”“借助问题链，引导学生经历由知识形式到知识内容的创生”“迁移运用，以知识内容和知识形式进一步强化知识旨趣”等教学环节加以实施. 知识三重意蕴视域下的数学教学还应该注重核心问题的提出与解决，以及方法教学的范式引领.

关键词：三重意蕴；诱导公式；核心问题；数学思想方法；数学科学精神

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用. 数学素养是现代社会每个人应该具备的基本素养. 作为高中数学教育教学的指导性文件，《标准》提出了普通高中学生在学习数学的过程中需要着力发展的六种核心素养. 可见，数学核心素养的培育已然成为当前数学教育的目标和教学实践的方向.

知识是教育的载体，教育是通过知识进行的. 数学知识虽然不等同于数学核心素养，但核心素养的培育必须依托数学知识才能落实与达成. 教育心理学家布卢姆将目标认知领域的目标按知识目标与认知过程两个维度进行了分类. 在知识维度，知识被分为事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识. 我国学者李润洲聚焦学科知识，提出了学科知识的三重意蕴——知识内容、知识形式和知识旨趣. 知识内容包括概念、命题与理论；知识形式包括方法、思想与思维；知识旨趣包括人文情怀和科学精神. 就数学核心素养的培育而言，数学学科中的概念、定理、公式及基本事实等知识内容是培育数学核心素养的基础；知识形式则包含获得这些数学概念、定理、公式及基本事实的方法及思维方式，这些是数学核心素养培育的关键. 同时，在创生这些概念、定理、公式及基本事实的过程中，学生体验到的人文精神与数学科学精神属于知识旨趣层次，这是数学核心素养培育的核心. 由此可见，学科知识的三重意蕴与学科核心素养的培育有着紧密的联系. 数学教师只有洞察学科知识的三重意蕴，形成包含知识内容、知识形式与知识旨趣的三重知识观，才能为学生数学核心素养的培育奠定扎实的知识基础.

教学理论研究是为了更好地开展教学实践. 下面笔者以“三角函数的诱导公式”（第1课时）为例，具体探讨如何在“三角函数的诱导公式”课例中洞察知识的三重意蕴及开展数学教学实践等问题，以期为基于知识三重意蕴视域开展数学教学设计和实践提供一些有益的思考与建议.

二、基于知识三重意蕴视域的“三角函数的诱导公式”教学设计

“三角函数的诱导公式”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第五章第三节的内容. 学生在学习这部分内容之前已经借助单位圆得出了任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，也获得了“三角函数的基本性质就是圆的几何性质的直接反映”这一基本观念. 三角函数的性质是圆的几何性质的代数化. 我们知道，圆有着丰富的性质，对称性是其最重要的性质之一. 因此，用三角函数表示单位圆上的点的坐标，就可以将对称性（几何特征）转化为三角函数值之间的关系（代数特征）.教学中可以体现出数形结合、从特殊到一般等数学思想方法，能有效发展学生运用数学思想方法开展数学研究的能力，也能有效帮助学生积累丰富的数学基本活动经验，为学生后续进一步研究相关问题奠定经验基础，有利于学生数学核心素养的培育.

1. 厘清知识的三重意蕴，明确设计思路

厘清三角函数的诱导公式知识的三重意蕴是基于知识三重意蕴视域开展教学设计的前提与基础. 因此，需要在研读《标准》与教材的基础上，明确本节课知识的三重意蕴.

从知识内容上看，在定义了一个数学对象（三角函数）、给出了三角函数的符号表示后，紧接着就要开展对数学对象性质的研究. 三角函数的周期性使得三角函数的取值具有一定的规律，这就是同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式所反映出来的性质. 因此，教材中“5.3 诱导公式”的内容对应《标准》三角函数部分“借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（[α±π2]，[α±π]的正弦、余弦、正切）”的要求. 虽然[α±π2]与[α±π]对应的诱导公式采用的研究方法一样，但不同之处在于前者的对称轴并不是坐标轴与坐标原点，推导难度较大. 因此，教材在处理上前置了[α±π]的诱导公式的推导与研究，这就构成了“诱导公式”（第1课时）的教学内容. 综上分析，本节课主要借助圆的对称性联想单位圆上的点关于原点、坐标轴的对称性，进而探究诱导公式二 ～ 四，并能运用诱导公式二 ～ 四进行简单的三角函数式的求值、化简与证明.

从知识形式上看，本节课让学生发现圆的对称性与三角函数取值之间的关系较为抽象，是学生认知上的难点，因此需要教师从学生已有的经验出发（三角函数周期性的基础知识；同角三角函数的基本关系式、诱导公式一研究方法的认识），不断引导学生发现问题、提出问题，并能利用数形结合等思想方法开展有效探究. 探究过程中教师应该及时给予学生积极、适当的研究范式的引领和指导. 因此，本节课由教师提供研究范式，并引导学生利用类比、数形结合等数学思想方法，通过归纳概括、逻辑推理、数学建模、直观想象等思维活动自主获得相关知识，这些过程都构成了本节课的知识形式.

从知识旨趣上看，本节课主要借助单位圆的对称性将角的终边关系转化为三角函数值的关系，本质上是对几何特征的代数翻译. 诱导公式的推导与研究具有生长性，这不仅体现在公式结构上，还体现在公式推导的过程之中. 因此，在教学过程中，教师借助问题链示范诱导公式二的推导，并在此基础上与学生共同归纳诱导公式推导的一般思路与方法. 学生在深刻理解研究方法的基础上，便可以将一般方法迁移到其他研究内容中去，进而实现知识的生长与迁移. 在迁移的过程中，还有助于学生进一步深刻理解知识的价值，提高在新情境中运用所学知识解决问题的能力. 更为重要的是，通过学生的自主探究与合作交流，还能进一步培养学生勤于思考、勇于实践、大胆猜想、小心求证等数学科学精神与合作交流的团队意识. 这些都构成了本节课的知识旨趣.

基于對本节课知识三重意蕴的分析与思考，笔者进行了如下教学设计.

2. 教学过程设计

（1）提出核心问题，开门见山揭示知识旨趣.

教师首先提出回顾性问题：诱导公式一的内容是什么？诱导公式一是如何开展研究的？诱导公式一有什么价值和意义？

教师进一步提出核心问题：周期性是三角函数的重要性质，由三角函数的定义可知，三角函数的基本性质就是圆的几何性质的直接反映，我们利用单位圆定义了任意角的三角函数，而圆具有很好的对称性，能否利用圆的对称性进一步研究三角函数的其他性质？两个角的终边除了重合关系外，还具有其他特殊的关系吗？

【设计说明】课题的导入必须表明课题引入的理由，如此才能使新知的探究更具指向性. 弄清楚课题的来源，并且从理论认识的角度指出研究的必要性. 在课题导入阶段，笔者组织了一个回顾性问题和一个核心问题，回顾性问题引导学生在巩固原有知识结构的同时唤醒已有的研究经验，以学生已有的认知结构与经验作为探究新知的重要生长点. 学生通过回顾性问题明晰诱导公式一的研究线路，即“角的终边关系（终边相同）—角间关系（[α]与[α+2kπ]）—坐标关系（两角的终边与单位圆的交点坐标相同）—三角函数值的关系[sinα+2kπ=sinα]，[cosα+2kπ=cosα]，[tanα+2kπ=tanα]，[k∈Z]”，并明确诱导公式一的价值在于可以将任意角的三角函数值转化为在[0，2π]内的角的三角函数值. 核心问题的提出开门见山地表明本节课将要解决的本质问题，为学生制造新的认知冲突，激发学生的探究欲望，在揭示本节课知识旨趣的同时进一步增强学生的学习动机.

（2）借助问题链，引导学生经历由知识形式到知识内容的创生.

环节1：搭建脚手架，示范诱导公式二的探究过程.

教师搭建脚手架，围绕诱导公式二的探究，按诱导公式的研究思路设置问题链.

在平面直角坐标系中，设任意角[α]的终边与单位圆交于点[P1]. 作[P1]关于原点的对称点[P2]，以[OP2]为终边的角记为[β].

问题1：角[α]与角[β]的终边有怎样的对称关系？

问题2：能否写出角[β]与角[α]之间满足的等量关系？

问题3：能否写出角[α]的终边与角[β]的终边与单位圆的交点坐标，并说明坐标之间的关系？

问题4：根据点坐标的关系，能否得出角[β]与角[α]的三角函数值之间的关系？

问题5：这组公式有何价值与意义？

【设计说明】环节1具有示范性，承载着建立研究方法、培养学生用联系的观点看问题的习惯与方式的作用. 因此，可以适当放慢教学节奏，引导学生在问题链和教师的示范引领下，在逐步领会数形结合思想方法的同时，让学生进一步感悟诱导公式研究遵循的一般套路：角的特殊终边关系—角间关系—坐标关系—三角函数值的关系. 这对学生后续类比研究方法独立开展诱导公式三和诱导公式四的研究，为知识形式到知识内容的创生奠定了方法论的基础. 问题5进一步阐述该公式研究的意义与价值在于可以将第三象限内的角的三角函数转化为锐角三角函数加以解决，体现了转化的数学思想方法，目的在于加强学生对研究问题的理解与认识，进一步认同知识旨趣.

环节2：类比探究，学生在建构的方法体系中持续攀升.

问题1：我们是如何开展诱导公式二的研究的？在研究过程中，你还有哪些体会？

问题2：两个角的终边除了关于原点对称之外，还有其他特殊的对称关系吗？在单位圆中作出这些终边具有特殊关系的角.

问题3：类比刚才研究诱导公式二的过程与方法，借助前面问题链中五个问题的引导，先自主研究，再通过小组合作的方式研究终边关于[x]轴或[y]轴对称的角[α]与[β]的三角函数值满足的关系.

【设计说明】根据环节1的示范，问题1试图引导学生将研究过程中形成的研究套路用线路图的形式表示出来，这样的追问有利于知识与方法的进一步生长. 环节2的设置要给足学生充分的自主探究的空间，从两个角的终边关于原点对称的情况进行自然过渡，引导学生再次经历公式的研究过程，自主建构诱导公式三和诱导公式四，加深学生对研究方法的再认识. 教师要将课堂还给学生，利用环节1总结归纳的研究线路图，组织学生以个人与小组相结合的方式开展数学探究. 教师在其间不断巡视研究进展，不过分干预学生的自主建构与合作学习，要将精力放在引起、维持和促进学生的学习活动之中，积极引导学生暴露自己的思维，挖掘公式产生背后完整的思维过程.

（3）迁移应用，以知识内容与知识形式进一步强化知识旨趣.

环节1：例题剖析，以知识内容强化知识旨趣.

教师给出围绕知识内容的两个例题.

例1  化简下列各式.

（1）[sinπ+αcos-α+sin2π-αcosπ-α]；

（2）[cosπ+αcosαtanπ-αtan-αcos2π+α].

例2  求下列各三角函数值.

（1）[cos225°]；

（2）[sin83π]；

（3）[sin-163π]；

（4）[tan-2 040°].

【设计说明】通过两道例题，让学生初步熟悉诱导公式的应用，感悟在具体问题中如何合理选择诱导公式，引导学生体会解法的多样性，启发学生关注诱导公式间的内在联系. 在学生完成例2后，教师进一步追问：通过例2的研究，能否归纳利用诱导公式一 ～ 四求任意角三角函数的步骤. 师生共同归纳概括求值的一般步骤，进一步明确本节课知识内容的价值在于通过诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数这一基本观念，进一步以知识内容强化知识旨趣.

环节2：反思与小结，以知识形式强化知识旨趣.

在教学过程的最后，以反思性问题的提出代替常态的公式规律的总结和记忆，教师抛出如下反思性问题.

问题1：本节课你学会了哪些基础知识？

问题2：本节课你掌握了什么样的基本技能？

问题3：我们是怎样开展对诱导公式的研究的？

问题4：本节课使用了哪些数学思想方法？

问题5：你还想继续研究哪些问题？

【设计说明】问题1和问题2是对本节课知识内容的回顾，侧重于公式规律的总结和记忆；问题3和问题4则是学生对诱导公式研究方法的回顾与反思，侧重于学生个体情感、态度和价值观的分享与表达；问题5的设置可以实现知识的进一步生长. 研究思想与方法的追问，不仅有利于学生进一步理解“为何创生这样的知识内容”“如何创生这样的知识内容（即知识形式）”，也有利于学生领悟数学思想方法和生长数学基本活动经验. 更为重要的是，学生在整个探究过程中的探究体验及表现出来的勤于思考、勇于实践、大胆猜想、小心求证、合作交流等理性的科学探究精神一定会在很长一段时间内影响着学生，进一步强化了知识旨趣.

三、知识三重意蕴视域下数学教学设计的思考与建议

基于以上对“三角函数诱导公式”的教学设计的实践，笔者认为基于知识三重意蕴视域开展数学教学设计应该关注以下两个关键行为.

1. 知识三重意蕴视域下的数学教学需要注重核心问题的提出与解决

《现代汉语词典》中关于“核心”的解释为：核心即中心，它是就各个问题之间的关系而言的. 因此，核心问题就是能启发学生思维的关键问题. 就数学学科的核心问题而言，它至少应该具有以下三个特征：首先，数学核心问题具有指向性，它是贯穿整节课的“主线”，推动着整节课的“剧情发展”，它直接指向知识的本质；其次，数学核心问题具有思维性，核心问题的设置必须按“最近发展区”的要求进行设计，是学生在教师的指引下通过思维活动才能建构出来的，具有挑战性；最后，数学核心问题有关联性，它应该能整合整节课教学的重点与难点，其他各个教学环节中的问题链都应该是它的衍生物，与它有着内在的紧密的逻辑关系，学生可以通过它来整体建构知识. 数学教学的每个活动的设计都应该紧紧围绕核心问题展开，每个问题的设计都应该是核心问题的子问题. 在核心问题提出与解决的过程中，学生将会利用适当的研究方法（知识形式）围绕核心问题进行探究与建构，进而得出知识内容. 在此过程中，知识旨趣也会不断得到强化与巩固.

2. 知识三重意蕴视域下的数学教学需要有方法教学的范式引领

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂. 数学离不开数学思想方法，数学教学离不开数学思想方法的教学. 让学生在课堂上像数学家那样发现定理，这当然是好的学习方式. 但是这种课不能上太多，因为学生的学习时间是有限的，所以从实际出发，方法上的“模仿”仍然是数学学习的一种主要方式. 著名数学教育家弗赖登塔尔也曾提出“行动的范例”的概念，他指出一种行动作为另一种行动的范例，它可能会引起类似的行动. 作为知识三重意蕴的重要组成部分，知识形式是联系知识内容与知识旨趣的关键要素. 知识形式势必会影响知识内容与知识旨趣的达成与强化. 因此，教师在开展方法教学时要进行教学示范，学生通过教师的教学示范可以不断建构对研究方法的理解，积累应用研究方法解决问题的基本活动经验. 方法的理解与经验的积累都有利于学生后续的知识迁移与生长. 在达成知识内容与知识形式的同时，进一步强化知识旨趣，真正发挥知识的教育价值.

参考文献：

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［5］张奠宙. 数学教育研究导引［M］. 南京：江苏教育出版社，1994.

［6］弗赖登塔尔. 数学教育再探［M］. 刘意竹，杨刚，译. 上海：上海教育出版社，1999.