数学试题中的隐含结论与求解策略

作者简介：陶兆龙（1964— ），男，正高级教师，主要从事高中数学教育和高考研究.

摘  要：在数学试题中设置隐含结论是实现考查目标的一种有效手段. 隐含结论主要包括知识结构型与创新应用型两种. 合情推理和综合分析法是发现试题中隐含结论的重要策略，在数学知识复习阶段注意突出知识之间的纵横联系也是必要之举.

关键词：隐含结论；纵横联系；合情推理；综合分析法

2020年以来，为发挥高考的核心功能（立德树人、服务选材、引导教学），遵循“四层”（核心价值、学科素养、关键能力、必备知识）的考查內容，落实“四翼”（基础性、综合性、应用性、创新性）的考查要求，在试题的设计方面全国新高考数学试卷进行了许多有益的探索，较好地实现了考查要求.

新颖、复杂的问题情境是实现高考考查目标的有效载体. 在试题中设置隐含结论或在解决问题的过程中运用隐含结论，是体现新颖与复杂性的较好方式，在新高考数学试题中经常被采用. 这里的隐含结论不是指通常意义上的二级结论（让学生机械地去记忆大量的二级结论不是一种科学的复习方法），而是由试题所给的条件可以推导出的一些结论，或是由学生熟悉的数学知识可以推导出的结论. 这些结论的发现与运用，有的会简化问题的解决过程，有的则是实现解题目标的必经之路.

下面结合近几年高考数学全国卷中的试题，对隐含结论的类型、考查功能和求解策略进行简单剖析.

一、隐含结论的两种类型

1. 知识结构型隐含结论

高中数学基础知识是学生进入高等学校进行专业学习和终身发展所需要的必备知识，新高考提出考查必备知识，同时提出基础性和综合性的考查要求，就是要深入考查数学基本概念、定理、公理、公式和法则等.

知识结构型隐含结论是指由试题涉及的不同知识点推出的一些结论，用这些结论可以顺利地实现解题目标. 这些结论反映了知识之间的内在联系，而数学知识之间的内在联系是数学知识本质的体现，注重对数学知识内在联系的考查无疑是体现基础性和综合性考查要求的有效之举.

例1 （2022年全国新高考Ⅰ卷·12）已知函数[fx]及其导函数[fx]的定义域均为[R，] 记[gx=][fx.] 若[f32-2x，g2+x]均为偶函数，则（    ）.

（A）[f0=0] （B）[g-12=0]

（C）[f-1=f4] （D）[g-1=g2]

答案：[BC].

解：由[f32-2x]为偶函数，可知[fx]关于直线[x=32]对称.

由[g2+x]为偶函数，可知[gx]关于直线[x=2]对称.

结合[gx=fx]，根据[gx]关于直线[x=2]对称，可知[fx]关于点[2，t]对称.

根据[fx]关于直线[x=32]对称，可知[gx]关于点[32，0]对称.

综上所述，函数[fx]与[gx]均是周期为[2]的周期函数.

所以[f0=f2=t]，选项[A]不正确.

因为[f-1=f1]，[f4=f2]，[f1=f2]，

所以[f-1=f4]，选项C正确.

因为[g-12=g32=0，] [g-1=g1]，

所以选项B正确.

由[g1+g2=0]，得[g-1+g2=0].

所以选项[D]不正确.

解决这道试题需要利用以下几个有关原函数与导函数的奇偶性与图象对称性的隐含结论. 设定义在R上的可导函数[fx]为奇函数，则有[f-x=-fx]. 等式两边求导，可得[-f-x=-fx]，所以[f-x=fx]，即[fx]为偶函数. 这样，由函数奇偶性定义及复合函数求导法则可以推出“可导奇函数的导数是偶函数”.同理可证，“可导偶函数的导数是奇函数”.

更一般地，关于原函数与导函数图象的对称性，若定义在R上的可导函数[fx]的图象关于直线x = a对称，则函数[fx]的图象关于[a，0]对称. 由[fx=][f2a-x]，对等式两边求导，得[fx=-f2a-x]，即[fx+f2a-x=0]. 所以函数[fx]的图象关于点[a，0]对称. 若定义在R上的可导函数[fx]的图象关于[a，0]对称，则函数[fx]的图象关于直线x = a对称.

更一般地，若定义在R上的可导函数[fx]的图象关于[a，b]对称，则函数[fx]的图象关于直线x = a对称. 因为[fx]的图象关于[a，b]对称，所以[fx+][f2a-x]= 2b. 对等式两边求导，得[fx-f2a-x=0]. 所以函数[fx]的图象关于直线x = a对称.

原函数的对称性与导函数的对称性的关系是解析几何和函数与导数两个单元知识点之间的一种联结，是知识点之间的横向联系. 在平时的教学中，如果能引导学生通过自主探究发现这种隐含结论，对激发学生的学习兴趣、提升其数学核心素养会起很大的促进作用.

例2 （2021年全国新高考Ⅰ卷·21）在平面直角坐标系xOy中，已知点[F1-17，0，F217，0，] 点M满足[MF1-MF2=2]. 记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线[x=12]上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且[TA][TB]=[TP][TQ]，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解：（1）因为[MF1-MF2=2]，

所以轨迹C为双曲线的右半支，c2 = 17，2a = 2.

所以a2 = 1，b2 = 16.

所以点M的轨迹C的方程为x2 -[y216]= 1[x>0].

（2）（方法1）设[T12，n]，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0.

设直线AB：y - n = k1[x-12][k1≠0]，

联立方程，得[y-n=k1x-12，x2-y216=1，]

所以[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = 0.

设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，易知16 - k12 ≠ 0.

由根与系数的关系，得x1 + x2 =[k12-2k1nk12-16]，x1x2 =

[14k12+n2-k1n+16k12-16].

所以[TA]=[1+k12x1-12]，[TB]=[1+k12][x2-12].

所以[TATB=1+k12x1-12x2-12=n2+121+k12k12-16].

设直线PQ：y - n = k2[x-12][k2≠0]，

同理，可得[TPTQ]=[n2+121+k22k22-16].

因为[TATB]=[TPTQ]，

所以[1+k12k12-16=1+k22k22-16]，即[1+17k12-16=1+17k22-16].

所以k12 - 16 = k22 - 16，即k12 = k22.

因为k1 ≠  k2，

所以k1 + k2 = 0.

（方法2）设[T12，n]，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0.

设直线AB：y - n = k1[x-12][k1≠0]，[Ax1，y1]，

[Bx2，y2]，

聯立方程，得[y-n=k1x-12，x2-y216=1，]

所以[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = 0.

由[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 =[16-k12x-x1x-x2]，

令x =[12]，得[16-k12][x1-12x2-12]=[14][16-k12]+ [12k12-2k1n] -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = -12 - n2.

所以[x1-12x2-12]=[12+n2k12-16].

因为[TA]=[1+k12][x1-12]，[TB]=[1+k12][x2-12]，

所以[TATB=1+k12x1-12x2-12=n2+121+k12k12-16].

设直线PQ：y - n =k2[x-12]，

同理，可得[TPTQ]=[n2+121+k22k22-16].

因为[TATB]=[TPTQ]，

所以[1+k12k12-16=1+k22k22-16]，

即[1+17k12-16=1+17k22-16].

所以k12 - 16 = k22 - 16，即k12 = k22.

因为k1 ≠  k2，

所以k1 + k2 = 0.

该题第（2）小题的第一种解法运算量非常大，高考中顺利解出的学生很少；而第二种解法的运算量要小得多，学生较容易求解出答案. 第二种解法主要采用算两次的方法，利用二次函数一般式与两个根式之间存在的显而易见的关系将复杂的展开计算转化为简单的代入. 即设函数[fx]= ax2 + bx + c，x1，x2是方程[fx=0]的两个根，则有[fx=]ax2 + bx + c = a[x-x1][x-x2]，要求[x1-12x2-12]关于参数k的表达式，只要代入一般式求[f12]即可.

这里利用隐含结论极大地简化了运算，顺利地实现了解题目标. 师生对二次函数的两种表达式都很熟悉，但却往往忽略它们之间的内在联系，很少能联合使用这两种形式解决问题. 这两个知识点在同一个教学小单元，如果在平时的教学中教师注意引导学生探究知识之间的纵横联系，并引导学生学会利用这种内在联系去寻找问题的不同解决方法，对学生灵活运用知识形成关键能力，深度理解概念形成良好的认知结构都会起到促进作用.

2. 创新应用型隐含结论

创新应用型隐含结论是指依据试题的题设条件可以推导出的结论. 这些隐含结论有的可以简化运算过程，有的则是解决问题的必要步骤.

例3 （2022年全国新高考Ⅰ卷·16）已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，[C]的上顶点为[A]，两个焦点为[F1]，[F2]，离心率为[12]. 过[F1]且垂直于[AF2]的直线与[C]交于[D]，[E]两点，[DE=6]，则[△ADE]的周长是             .

简解：由椭圆[C]的离心率为[12]，可知a = 2c，所以F1F2 = AF1. 因为DF1⊥AF2，所以直线[DE]垂直平分[AF2]，故△ADE的周长等于△DEF2的周长. 再由椭圆定义，可知△ADE的周长等于4a，直线AF2的斜率为[-bc=-3]，所以直线DF1的斜率为[33]. 由此直线DE的方程可以确定. 再由DE = 6可求出a，得到△ADE的周长.

这一解法通过图形直观（图1），运用数形结合的方法得到直线DE垂直平分AF2及直线DE的方程这两个隐含结论，避开了一般解法中求点D，E，M的坐标这些烦琐运算，体现出较高的思维层次与数学核心素养. 利用这些隐含结论提高了试题的区分度，有利于选拔出有较高数学素养的学生.

[图1][F2][F1][M][D][A][E][O][x][y]

创新应用型隐含结论的发现需要有较好的数学核心素养与较强的数学关键能力. 这类试题具有良好的区分度，有利于落实创新性、应用性的考查要求.

二、应对策略

设置隐含结论是新高考命题的一种有效方式，高三复习阶段应该有针对性的应对策略. 总体上看，教师要注重学生数学关键能力的训练与数学核心素养的提升. 具体地，教师要针对两种类型的隐含结论，训练学生掌握一些发现隐含结论的有效途径与方法.

1. 拓展知识点之间的纵横联系

在高三复习阶段复习各单元基础知识时，比较常见的做法是简单地罗列知识点，再强调一些注意事项. 但是这样的复习方式难以加深学生对基础知识的理解，不利于优化学生的认知结构，也难以引导学生从容应对设置有知识结构型隐含结论的高考试题. 鉴于此，在各单元基础知识复习阶段，应该强化知识点之间的纵横联系，这样不仅可以增强学生复习基础知识的兴趣，还可以使学生获得对数学知识的深度理解，促进学生关键能力的提升.

结合教材中的例题、习题或主干知识引导学生展开探究，是复习课中拓宽学生视野，引导学生发现知识结构型隐含结论的重要途径. 例如，可以由平面向量单元的定比分点公式自然地提出一些问题，引导学生自主探究，得到若干有意义的结论.

向量形式的定比分点公式：设平面上O，A，B三点不共线，[AP=λPB]，则有[OP=11+λOA+λ1+λOB].

平面上三点共线的结论：设平面上O，A，B三点不共线，则平面上的点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得[OP=λOA+μOB]，且λ + μ = 1.

在这一基础上又提出问题：点P不在直线AB上与λ + μ ≠ 1是否等价？λ + μ何时大于1，何时小于1？点P在直线AB上方（直线AB在点O，P之间）时，λ + μ > 1吗？点P在直线AB下方（点P在点O和直线AB之间）时，λ + μ < 1吗？

更具体地还可以得到：（1）设平面上O，A，B三点不共线，[OP=λOA+μOB]（λ + μ = 1），若[OQ=][mOA+nOB]，m + n = k，则[OQOP]= k.（2）平面内一组基底[OA]，[OB]，向量[OP=λOA+μOB]，若点P在直线AB上或在平行于直线AB的直线上，则λ + μ = k为定值，反之亦然；当点P在直线AB上时，k = 1，反之亦然；当点P在点O和直线AB之间时，0 < k < 1，反之亦然；当直线AB在点O和平行线之间时，k > 1，反之亦然.

经过这样的探究，学生得到了强烈的成功体验，对问题的认识也愈发清晰. 而这一问题也正是本单元的基本问题——向量的线性表示的典型代表，有很多较难问题都是由这一基本图形演变而来.

这种探究贴近教材，贴近学生的认知结构，还贴近单元的基本问题，不仅可以激发学生浓厚的复习数学知识的兴趣，还能有效促进学生形成良好的认知结构，为学生关键能力的提升奠定良好的基础.

实际上，每个单元都可以设计出类似的问题供学生自主探究，这种做法可以明显提升高三学生复习基础知识的兴趣，使他们不仅可以发现一些重要结论，还能掌握探索有关结论的方法.

2. 运用合情推理等数学思想方法猜想

合情推理是根据已有的事实和正确的结论，以及个人的经验和直觉等采用观察、比较、归纳、类比、猜想等方法推测某些结果的推理过程. 合情推理是数学发现的重要工具，也是探索隐含结论的重要手段.

例4 （2022年全国新高考Ⅰ卷·22）已知函数[fx=][ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求[a]；

（2）證明：存在直线[y=b，] 其与两条曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

通过对函数性质的研究，画出函数[fx]和[gx]的图象，如图2所示. 可以发现，两个函数图象有唯一公共点[x0，b]，因此应该有[ex0-]x0 = x0 - ln x0 = b这一结论成立.

[图2]

进一步可得[ex0+]ln x0 = 2x0. 根据这一式子的结构，可以猜想ln x0，x0，[ex0]是三个交点的横坐标，以下只要论证这一猜想即可.

该题的解决，首先要运用数形结合的方法发现两个函数图象有唯一公共点[x0，b]，有[ex0-]x0 = x0 - ln x0 = b这一隐含结论，再由此结论进行合理猜想，进一步明确探索的方向.

3. 运用综合分析法推测

综合法是由因导果，分析法是执果索因，综合分析法是指从问题的条件和结论两个方向出发进行推理，把问题的结论当作条件与题设条件一起进行推导，即在问题结论成立的情况下，我们可以推出什么结论，而这样的结论往往就是试题的隐含结论.

例5 （2023年全国甲卷·理11）已知四棱锥[P-ABCD]的底面是边长为4的正方形，[PC=PD=3，][∠PCA=45°]，则△PBC的面积为（    ）.

（A）[22] （B）[32]

（C）[42] （D）[62]

答案：C.

如图3，从结论来看，由于要求△PBC的面积，而PC = 3，BC = 4，所以△PBC可解，PB应该可以求出；再由条件来看，在△PAC中可以求出PA，由PC = PD知点P在线段CD的垂直平分面上. 由于四边形ABCD为正方形，所以点P也在线段AB的垂直平分面上，从而PA = PB. 这样就得到了PA = PB这一隐含结论，由此，先解 △PAC 求出PA，再解 △PBC 即可.

[图3][B][A][O][O][C][D][P]

综合分析法实际上也是一种合情推理.

三、结语

试题结论作为解题目标对解题过程起着定向和调控的作用. 当解题过程的思维链较长时，这种调控作用就会减弱，为了确定合理的探索方向就需要寻找一个小目标，也就是中途点，隐含结论实际上是解题过程的一个中途点.

从以上例子可以看出，有的隐含结论是解题过程中的必经之路，有的则是实现解题最终目标的一条“近道”. 常规解法容易确定方向，但运算量会很大，难以顺利算出；而利用隐含结论的“近道”则会简洁得多，省时省力.

发现并利用设置在试题中的隐含结论需要有扎实的数学基础知识结构，以及灵活运用各种数学思想方法的关键能力、较高的数学核心素养，所以从命题角度来看，这样的试题既有利于高校选拔人才，又有利于引导中学数学教学.

让学生机械地记忆大量的所谓二级结论是难以应对这样的考查方式的. 在数学知识复习阶段，选择一些课题引导学生去自主探索，获得一些有意义的结论，使学生不仅了解到相关的结论，还能掌握发现结论的数学思想方法，在这一过程中学生的收获要远远超出结论本身. 在解决复杂问题时，要注意训练学生运用合情推理等方法探寻隐含结论，简化解题过程. 坚持这样的做法，可以使学生的数学核心素养和关键能力得到提升，进而实现为国家培养优秀人才的教育目标.

参考文献：

［1］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.  北京：人民教育出版社，2019.

［2］陶兆龙，徐海虎. 复习课教学应让学生学会怎样复习［J］. 中学数学教学参考（上旬），2017（12）：61-63.