指向深度教学的高三数学复习课例研析

梁颖志 庞新军

基金项目：广州市荔湾区教育科学“十四五”规划2022年度重点课题——基于深度教学的高三数学复习课微专题教学案例研究（ZD2022-6）.

作者简介：梁颖志（1989— ），男，一级教师，主要从事高中数学教育教学研究；

庞新军（1971— ），男，正高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.

摘  要：在高三复习课中实现数学育人、提升教学质量是值得探讨的问题. 以小组合作探究的形式开展深度教学，能够调动学生学习的积极性，帮助学生建构知识体系. U型模式包括下沉、潜行、上浮3个环节，强调学习过程的完整性和学习方式的多样性. 以“数列的通项公式”为例，对一类已知递推关系式求通项公式的问题进行题源深挖、变式探究、回归本质，并通过对教材例题、习题及高考试题的变式、类比、推广，阐述高三数学复习课的实践与反思.

关键词：深度教学；U型模式；高三数学；通项公式

一、对深度教学的理解

深度教学是指学生在教师的引导下，围绕具有挑战性的学习任务，积极参与、体验成功并实现发展的有意义的學习过程. 在学习过程中，学生对所学知识内在结构的认识逐层深化，深度投入和参与，激发和维持高阶思维. 深度教学以思维为核心，以自主为特征，通过问题意识，融入思维方法，体现思维品质. 教师给予学生充足的机会，引导学生体验知识学习的广度、深度和关联度，提升学生的数学学习能力，培养学生的数学核心素养.

随着新教材的使用、新高考的改革与实施和“双减”政策的全面落地，如何在高三复习课上实现高中数学的教育价值、提升数学教学质量是值得我们探讨的问题. 笔者认为，深度教学是体现数学学科本质、突出数学核心素养、提高数学教学质量的有效途径. 深度教学将认知、技能和情感与学生高阶思维和关键能力的发展相结合，是让学生进行深度思考的教学. 在教学方式上，可以通过U型教学模式来实现. U型教学模式是以核心素养为本的教学，强调学习过程的完整性和学习方式的多样性，包括下沉、潜行、上浮3个环节（如图1），符合知识产生和学生认知的基本规律. 下沉指学生通过问题情境激发，进入深度学习状态；潜行指学生参与知识的探究过程，体验知识发现的学科方法，经历深度学习过程；上浮指学生通过表达与运用知识，实现知识的意义与价值.

[下沉与还原][激活旧知][还原本质] [引发思考] [上浮与应用][反思评价][问题解决] [问题分析] [潜行与探究][深层理解→思维激发][图1  U型模式]

深度教学，是在教学过程中把主干知识灵活化、透彻化、深度化，将教材例题、习题及高考试题有机结合，通过变式、类比、改编、推广等方式激活这些经典题源，以激发学生探究性学习的兴趣. 一方面，可以让教材例题、习题更好地发挥其内在引导教学的作用，促使学生把握课程知识背后的多维属性，丰富教学资源；另一方面，对学生知识体系的建构、解决数学问题能力的提升等有一定的促进作用.

二、课例描述

本节课是一节“数列的通项公式”复习课，旨在引导学生回顾求数列通项的基本方法，提高学生解决递推数列相关问题的能力，探讨如何对教材例题、习题及新高考试题进行挖掘，开展深度教学活动.

1. 下沉——课前引入，创设问题情境

下沉是U型模式进入深度教学的切入点，是指教师创设问题情境，触发学生进入深度学习状态的过程.下沉的起点是创设问题情境，结合学生已有的学习体验，吸引学生的注意力. 因此，课前先让学生重做人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册（以下统称“人教A版教材”）中与数列通项公式有关的例题，温故知新，引起学生对学习内容的关注. 创造认知冲突是下沉的关键点，教师让学生以小组合作的方式挖掘例题的条件，以激发学生的求知欲望.

人教A版教材“4.3.2 等比数列的前 n 项和公式”中的例12：某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为[c1]，[c2]，[c3]，….

（1）写出一个递推公式，表示[cn+1]与[cn]之间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成[cn+1-k=rcn-k]的形式，其中[k，r]为常数；

（3）求[S10=c1+c2+c3+…+c10]的值（精确到1）.

分析：对于第（1）小题，可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立[cn+1]与[cn]的关系. 第（2）小题是待定系数法的应用，可以将它还原为第（1）小题中的递推公式的形式，通过比较系数得到方程组. 第（3）小题利用第（2）小题的结论可以得到答案.

解：（1）由题意，得[c1=1 200]，并且[cn+1=1.08cn-]

[100]. ①

（2）将[cn+1-k=rcn-k]化成[cn+1=rcn-rk+k]. ②

比较①②的系数，可得[r=1.08，k-rk=-100.]

解方程组，得[r=1.08，k=1 250.]

所以第（1）小题中的递推公式可以化为[cn+1-1 250=]

[1.08cn-1 250].

（3）由（2）可知，[cn-1 250]是以-50为首项、1.08为公比的等比数列，则[c1-1250+c2-1 250+]

[c3-1 250+…+c10-1 250=-50×1-1.08101-1.08≈ -724.3.]

所以[S10=c1 + c2 + c3+…+c10 ≈ 1 250×10-724.3=][11 775.7≈11 776].

该题实质上是一类形如[an+1=kan+b]（[k，b]为常数）的递推数列问题，求解这类问题时可以用待定系数法将[an+1=kan+b]转化为公比为[k]的等比数列后再求[an].

2. 潜行——变式改编，体验探究乐趣

潜行发生在U型模式的底部，是学生经历完整的探究历程，逐步追寻对数学知识的本质认识，获得对数学知识来龙去脉的认知过程. 潜行需要厘清思路，分层深入，对原题进行不同条件的改编与变式，让学生参与基本活动体验，获得探究的乐趣. 在这一过程中，学生经历多种复杂的学习活动，师生间互动讨论，生生间相互挑战，获得高阶思维能力和探究能力的发展. 下面，笔者用课堂实录的方式对课堂上进行深度教学的过程进行记录.

（1）追根溯源，回归本质.

教师先带领学生回顾数列中的两个基本工具——等差数列和等比数列，复习它们的定义和通项公式. 等差数列的定义是[an+1-an=d n≥1]，其通项公式是[an=a1+n-1d]；等比数列的定义是[an+1an=q n≥1]，其通项公式是[an=a1qn-1].

教师指出，定义式可以转化為[an+1=an+d n≥1]及[an+1=qan n≥1]，进而统一为一个式子[an+1=qan+][d n≥1]，上述例题即为这种类型. 特别地，当[q=1，d]为常数时，[an]为等差数列；当[d=0，q]为非零常数时，[an]为等比数列.

（2）公式变形，分层探究.

教师引导学生进行分组讨论，对统一式[an+1=][qan+d n≥1]进行变形处理，学生分组展示如下.

小组展示1：当[q=1，d]变形为函数[fn]时，即[an+1=an+fn n≥ 1]，用累加法求[an]，可得[an=a1+]

[a2-a1+a3-a2+…+an-an-1][n≥ 2].

小组展示2：当[d=0，q]变形为函数[fn]时，即[an+1an=fn n≥1]，可用累乘法求[an]，得到[an=a1 ? a2a1 ?]

[a3a2 ? … ? anan-1][n≥ 2].

教师对两个小组的展示表示肯定和鼓励，并提出：当[q≠1且q≠ 0，d]为常数时，通过刚才的例题可以知道，可用待定系数法求解；如果把[d]变形为函数[fn]，当[fn]是一次函数、二次函数、指数（型）函数等时，该如何处理？

教师让学生以四人为一个小组，再次讨论.

小组展示3：如果[fn]是一次函数，可以利用待定函数法求解. 设[an+1+kn+1+b=qan+kn+b]，通过比较系数求出系数[k，b]，构造新的等比数列，由定义求出通项公式.

小组展示4：如果[fn]是二次函数，可以利用待定函数法求解. 设[an+1+an+12+bn+1+c=qan+an2+]

[bn+c]，通过比较系数求出系数[a，b，c]，构造新的等比数列，由定义求出通项公式.

小组展示5：如果[fn]是指数（型）函数，即[an+1=qan+dn n≥ 1]，可以利用相除法求解，两边同时除以[qn+1]，可得[an+1qn+1=anqn+dnqn+1]. 当[dnqn+1]为常数时，构造新的等差数列，由定义求出通项公式；当[dnqn+1]为函数时，利用累加法可以求出通项公式.

（3）回归教材，深挖题源.

教师对小组展示进行及时评价和表扬，进一步激发了学生的探究热情. 随后，教师给出一道人教A版教材中的习题，让学生在最短的时间内完成，并请学生充当命题者，以四人为一个小组探讨如何改编原题.

教材习题节选：设数列[an]满足[a1=1，an+1=][2an+1]，求[an]的通项公式.

该题可以用待定系数法求解. 由[an+1=2an+1]，设[an+1+λ=2an+λ]，即[an+1=2an+λ]. 对比系数，可得[λ=1]. 所以[an+1+1=2an+1]. 故[an+1]是首项为2、公比为2的等比数列. 所以[an+1=2×2n-1]，即[an=2n-1].

小组展示6：原题改为“设数列[an]满足[a1=1，][an+1=2an+n-1]，求[an]的通项公式”. 由[an+1=2an+][n-1]，设[an+1+kn+1+b=2an+kn+b]，即[an+1=2an+]

[kn+b-k]. 对比系数，可得[k=1，b=0]. 所以[an+1+][n+1=2an+n]. 故[an+n]是首项为2、公比为2的等比数列. 所以[an+n=2×2n-1=2n]，即[an=2n-n].

小组展示7：原题改为“设数列[an]满足[a1=1，][an+1=2an-2n2]，求[an]的通项公式”. 由[an+1=2an-][2n2]，设[an+1-an+12-bn+1-c=2an-an2-bn-c]，

即[an+1=2an-an2+2a-bn+a+b-c]. 对比系数，可得[a=2，b=4，c=6]. 所以[an+1-2n+12-4n+1-6=]

[2an-2n2-4n-6]. 故[an-2n2-4n-6]是首项为-11、公比为2的等比数列. 所以[an-2n2-4n-6=-11×2n-1，]即[an=-11×2n-1+2n2+4n+6].

小组展示8：原题改为“设数列[an]满足[a1=1，][an+1=2an+2n]，求[an]的通项公式”. 经验算，该题不能沿用待定函数的思想进行求解. 但是可以将等式两边同时除以[2n+1]，得到[an+12n+1=2an2n+1+2n2n+1]，即[an+12n+1=an2n+]

[12]. 故[an2n]是首项为[12]、公差[12]为的等差数列. 所以[an2n=12+12n-1=n2]，即[an=n ? 2n-1].

小组展示9：原题改为“设数列[an]满足[a1=1，][an+1=2an+2n+1]，求[an]的通项公式”. 该题也可以通过相除法求解. 等式两边同时除以[2n+1]，得到[an+12n+1=2an2n+1+2n+12n+1]，即[an+12n+1-an2n=12n+1+12]. 将[an+12n+1-an2n]看作一个函数，可以用累加法求通项. 所以当[n≥ 2]时，

[an2n = a121 + a222-a121 + a323-a222+…+an2n-an-12n-1 = 12+]

[12+122+12+123+…+12+12n=n-12+121-12n1-12=]

[n+12-12n，当n=1时， a121=12 也满足上式.] 综上所述，[an=n+12n-1-1].

在高三数学专题复习中，教师应该引导学生观察、思考、类比、归纳、发现和解决问题，积累数学活动经验. 下一步，将引导学生反思和小结本节课的知识和方法.

3. 上浮——巩固与提升，对标高考导向

上浮是U型模式的出口，指知识的表达与运用，是知识外显，以及对所学知识进行检验和反思的过程. 高三的复习离不开对高考试题、模拟题的研究. 只有运用所学知识，并进行表达与交流，才能发现新的问题，进而查漏补缺，提升复习的效果. 下面提供四道题目，分别来源于高考试题、模拟题和人教A版教材课后练习题，让学生巩固与应用，从而训练和提升解决数学问题的能力.

练习1：设数列[an]满足[a1=3，an+1=3an-4n.] 计算[a2，a3]，猜想[an]的通项公式并加以证明.

练习2：已知数列[an]满足[a1=1，an+1=3an+1]. 证明[an+12]是等比数列，并求[an]的通项公式.

练习3：已知各项都为正数的数列[an]满足[an+2=][2an+1+3an]．

（1）证明：数列[an+an+1]为等比数列；

（2）若[a1=12，a2=32]，求[an]的通项公式．

练习4：已知数列[an]的首项[a1=35]，且满足[an+1=3an2an+1].

（1）求证：数列[1an-1]为等比数列；

（2）若[1a1+1a2+1a3+ … +1an<100]，求满足条件的最大整数[n].

分析发现，等差数列、等比数列的概念和通项公式是高考重点考查的知识点. 这些知识点是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对数列这部分内容的基本要求. 练习中均涉及证明新数列是等差数列或等比数列，考查学生从已知条件中提取数列公差或公比的关键信息的能力. 只要学生逻辑清晰就能证明，没有设置思维上的障碍，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，难度恰当，有利于增强学生的信心，突出对通性通法的考查. 对比教材习题可以发现，高考试题源于教材又高于教材，以考查通性通法为主. 因此，在高三数学复习课中，教师要重视对教材例题和习题的研究，进而开展深度教学.

三、课例分析

该课例是“数列的通项公式”高三数学复习课深度教学示范课，采用U型教学模式，引导学生经历下沉、潜行、上浮三个基本环节. 在下沉环节，课前先让学生重做人教A版教材上的例题，创设情境，温故知新，注重建立新知识与学生已有经验之间的联系，有利于激发学生的学习动机. 在潜行环节，通过变式探究、动手操作、小组合作、师生讨论、生生挑战等有效手段，培养学生的数学思维. 学生在课堂上分享探究成果，教师在疑难处进行有效点拨，充分调动学生的积极性. 在上浮环节，通过高考试题、模拟题、教材课后练习题培养学生对知识的表达与迁移运用的能力，实现知识的意义增值. 整节课以学生为主体、以教师为主导，让学生充分积累基本的活动经验. 该课例对深度教学的有效尝试主要体现在以下三个方面.

1. 深度挖掘教材和高考试题，让教师教研有深度

在高三数学复习教学中，有必要紧扣教材和高考试题，根据学生的认知特点与心理规律、数学基础与解题能力，综合研究高考试题，以及教材上的例题和习题. 有机整合教材上的例题和习题，并进行变式、类比、改编和推广，由此激活经典题源，整合复习材料. 由最初的知识立意，改编成突出能力立意和数学思想方法的研讨，让教师教研有深度.

2. 善用“引導式”提问，让学生思维有深度

波利亚曾说，数学教学的目的在于培养学生的思维能力和思维品质. 数学是思维的体操，而思考始于问题，教师在教学中发挥着主导作用. 当学生在课堂活动的思维碰撞中遇到难题或困惑时，教师抛出的“引导式”提问举足轻重.

良好的“引导式”提问，可以启发学生的思维，促进课堂深度探究，培养学生的数学思维品质. 研究高考试题可以发现，数列内容在高考数学解答题中主要以基础题或中档题的形式出现，通常第（1）小题会出现“引导式”提问（如先证明新数列是等差数列或等比数列，或者先观察数列求出前几项然后猜想并证明通项公式等），让问题有一定的梯度，也相当于给了提示，让学生能快速找到解题的突破口. 该课例中，教师通过小组合作探究的方式引导学生自己改编题目，并引导学生提出学习的困惑点或疑难点，带动学生深度思考.

3. 发散性多维度改编题目，让教学过程有深度

教师不仅是知识的传授者，还是学生学习的引导者、组织者和合作者. 该课例采用“基础回顾—例题重现—求解—改编—巩固”的教学模式，启发、引导学生对问题进行深度探究.

近几年出现了一种新题型——结构不良试题，我们可以把该课例的变式探究改编为这种题型. 例如，设数列[an]满足[a1=1]，            ，求[an]的通项公式. 横线上给出多个条件选项（如①[an+1=2an+1]，②[an+1=2an+n-1]，③[an+1=2an-2n2]，④[an+1=2an+2n]，⑤[an+1=][2an+2n+1]），让学生选一个条件作答，目的是培养学生的发散性思维，不同的条件难度级别不一样，让学生收获的不仅是知识，更是掌握获取更多知识的方法，让教学过程有深度.

仔细研究近几年的高考数学试题，不难发现，其对知识的考查更倾向于理解和应用. 在加强基础知识考查的同时，更突出能力立意. 因此，在高三数学复习过程中，应该打破数学内部的学科界限，加强对学生综合解题能力的训练. 例如，该课例的“上浮”部分就是结合学生在学习过程中可能遇到的难点和困惑设计典型数学问题，对学生的学习质量进行过程性监测，让学生深度参与课堂活动，获取成功的体验.

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