准确定位预备知识 科学设置学习活动

王占军 马庆歌

作者简介：王占军（1979— ），男，高级教师，主要从事中学数学课程、教材、学生和考试评价研究；

马庆歌（2001— ），女，硕士研究生，主要从事中学数学课程教学和教法研究.

摘  要：预备知识为学生顺利进行高中知识的学习提供了语言、方法、思想的工具，是学生后续学习的基础. 以“基本不等式”的教学分析与设计为例，分析公式教学的两条主要线索，阐述如何构建知识学习明线，如何渗透思想方法暗线，以及如何获得公式、证明公式、运用公式. 进一步说明准确定位预备知识课程价值的重要意义，帮助教师科学设置预备知识的学习活动，发展学生的数学核心素养.

关键词：预备知识；基本不等式；学习活动

一、问题的提出

由于初中和高中数学课程在教学内容的逻辑性、抽象性、概括性，以及学生学习方式方面存在明显差异，为帮助学生顺利完成从初中到高中数学学习的过渡，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）设置了“预备知识”模块. 预备知识是本轮课程标准修订的一大亮点，正确理解预备知识的课程定位，设置符合高一学生学情的教学活动，是教师使用新教材要解决的首要问题. 2022年12月，第十一届高中青年数学教师课例展示活动通过线上方式进行，组委会将“基本不等式”定为指定课题，提出具体的教学建议. 建议指出：“要注意在‘相等关系与不等关系的整体框架下进行基本不等式的教学设计，要注意选择恰当的学习素材，帮助学生掌握三种语言的表达与转换、基本不等式及其变式的证明，理解基本不等式模型的结构特征，并能进行简单应用.”认真分析上述建议，有助于教师准确理解教学内容本质，充分发挥预备知识的课程功能与价值，以“研究公式的基本套路”为指导，搭建基本不等式的研究路径. 促使学生通过基本不等式的学习进一步领悟研究数学对象的一般方法，积累数学探究的活动经验，为后续学习打好知识、方法和活动经验的基础.

二、预备知识的课程定位

预备知识以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程学习做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成由初中到高中数学学习的过渡. 这个定位高度概括了预备知识的课程功能及价值.

预备知识要进一步帮助学生做好学习心理、学习方式和知识技能方面的准备，这是预备知识教学的基本任务. 教师要以知识为载体，充分发挥数学的内在力量，引导学生形成积极、浓厚的学习兴趣与学习动机，养成良好的数学学习习惯，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；引导学生通过阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等多种方式学习数学，更重要的是要促使学生把握数学知识中蕴含的数学思想方法，积累研究数学对象的基本活动经验和基本套路.

预备知识要帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡，这是预备知识教学的根本目的. 学习兴趣的培养、学习方式的改变、学习方法的积累、学习套路的形成，最终是为了学生更高效地学习后续知识，完成初中和高中数学课程在知识、方法、思想等方面的顺利衔接.

以“基本不等式”为例，《标准》提出的要求是：掌握基本不等式[ab≤ a+b2 a，b≥ 0]，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 从预备知识的课程价值来看，本节课中学生不仅需要知道基本不等式的由来、内涵和特征，还要多角度理解和表征公式，运用多种方法进行证明，能在不同的情境问题中运用基本不等式解决简单的最值问题，领悟研究不等式的基本方法与路径. 需要强调的是，“掌握”是阶段性目标，学生需要逐步领悟、不断运用才能达到，教师在新授课时应该将重点放在引导学生探究基本不等式的由来、结构特征、多种方法证明及其简单运用上，不能一开始就进行大量的变形训练，使得学生对公式理解不透，停留在生搬硬套、机械模仿的技术层面.

三、预备知识的教学实践——以“基本不等式”为例

1. 构建学习路径，发现公式

问题1：我们在初中学习过平方差公式和完全平方公式. 以完全平方公式为例，你能回忆起与它相关的哪些知识？这些知识是怎样获得的？

教学活动：学生交流发言，教师在学生讨论、交流的基础上梳理完全平方公式的学习路径，如图1所示.

【设计意图】完全平方公式是关于等式的典型公式，基本不等式是关于不等式的典型公式，两个公式的学习路径具有高度的一致性. 通过梳理完全平方公式的学习过程，进一步明确研究对象，构建研究路径.

问题2：上一节课，我们利用完全平方公式获得了重要不等式：[?a，b∈R，有a2+b2≥ 2ab]，当且仅当[a=b]时，等号成立. 在代数研究中，通过对已知代数式变形可以获得新的数学公式，如果用[a， b]分别代替上式中的[a，b]，會得到怎样的不等式呢？

教学活动：教师引导学生通过代数运算发现基本不等式，即对任意[a>0，b>0]，[ab≤ a+b2]，当且仅当[a=b]时，等号成立.

【设计意图】通过代数变换，由重要不等式得到基本不等式，让学生感受代数运算在逻辑推理过程中的重要作用. 代数变换是今后数学学习中的重要数学方法.

问题3：我们通常将上式称为基本不等式，类比完全平方公式的学习路径，接下来我们要研究什么呢？

教学活动：学生交流后教师梳理研究路径（背景—表示—证明—运用）.

【设计意图】对比新旧知识的异同，获得新知识的研究路径，为进一步学习奠定方法基础.

2. 多种形式表达，证明公式

问题4：你能用自然语言描述上述公式吗？

教学活动：学生描述，教师总结. 通常称[ab≤][a+b2]为基本不等式，其中，[a+b2]叫做正数[a，b]的算术平均数，[ab]叫做正数[a，b]的几何平均数. 基本不等式可以描述为“两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数”.

【设计意图】通过分析基本不等式的代数结构特征得到基本不等式的代数解释，从符号语言、自然语言等不同角度加深学生对基本不等式的认识.

问题5：通过对[a2+b2≥ 2ab]进行代数变换，可以获得基本不等式. 你还能通过其他方法证明基本不等式吗？

追问：证明两个代数式大小关系的一般方法有哪些？可以用它证明基本不等式吗？

教学预设：教师恰当引导. 如果学生提出用“作差法”，教师引导学生说出具体过程；如果没有，教师提出追问，引导学生用“作差法”进行证明.

证明1：因为对任意[a>0，b>0]，[a+b2-ab=][12a+b-2ab=12a-b2≥ 0]，当且仅当[a=b]时等号成立. 所以对任意[a>0，b>0]，必有[a+b2≥ab]，当且仅当[a=b]时等号成立.

【设计意图】充分根据学生已有的认知基础，从两个实数大小关系的基本事实出发，用“作差法”证明基本不等式，体会新旧知识之间的联系.

问题6：从逻辑的角度来看，基本不等式成立的条件是什么？结论是什么？根据不等式的性质，你能从条件直接得到结论吗？从结论出发，你能获得怎样的结论？

【设计意图】基本不等式的条件是“如果[a>0，b>0]”，结论是“[a+b2≥ab]”. 条件与结论之间缺乏必然的联系，由条件较难直接得出结论. 此时，教师要引导学生从结论出发，利用不等式的性质，推导出一个显然成立的结论. 在此基础上，教师介绍分析法的适用条件，给出正确、规范的书写格式.

证明2：要证[a+b2≥ab]，只需证[a+b≥ 2ab]，只需证[a+b-2ab≥0]，只需证[a-b2≥0]. 该式显然成立，所以对任意[a≥ 0，b≥ 0]，都有[ab≤ a+b2]，当且仅当[a=b]时等号成立.

问题7：如图2，AB是圆的直径，点C是AB上一点，[AC=a，BC=b]. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能从中找到[ab和a+b2]所表示的线段吗？你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？

[图2][O][A][B][D][C][E]

教学活动：教师用几何画板软件进行演示，引导学生观察几何元素在变化中表现出的大小关系规律，利用圆的弦长不大于直径的几何事实，得到基本不等式的几何解释.

【设计意图】引导学生分析代数式的结构特征，尝试借助几何图形对基本不等式进行几何解释，体会数形结合的思想. 借助几何画板软件，引导学生体会基本不等式中蕴含的“变”与“不变”的内在联系.

3. 分析公式特征，运用公式

问题8：已知[x>0]，求[x+1x]的最小值.

追问1：从数学的角度来看，“求[x+1x]的最小值”的含义是什么？

教学活动：学生讨论交流后，教师总结. 求[x+1x]的最小值，就是要求出一个[y0y0=x0+1x0]，使对[?x>0]，都有[x+1x]≥[y0]. 这里的[y0]就是要求的最小值. 由题意，得[x+1x≥2]. 所以[x+1x]的最小值是2.

追问2：从代数式的结构特征分析，[x+1x]与基本不等式有怎样的联系？能直接运用基本不等式求[x+1x]的最小值吗？代数式满足什么特征时，能够运用基本不等式求最值？

教学活动：引导学生明确运用基本不等式求最值时[ab]与[a+b2]必须有一个为定值，且等号能够取到. 可以形象地总结为“一正、二定、三相等”.

【设计意图】通过分析代数式的结构特征判断其是否能用基本不等式求最值. 教师要特别强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.

问题9：已知[x，y]都是正数.

（1）若积[xy]等于定值[P]，你能求出和[x+y]的最小值吗？

（2）若和[x+y]等于定值[S]，你能求出积[xy]的最大值吗？

追问1：第（1）小题中，[xy]与[x+y]满足基本不等式的结构特征吗？能直接运用基本不等式求解吗？在运用时需要满足哪些条件？

追问2：第（2）小题与第（1）小题有怎样的区别与联系？由此，你认为运用基本不等式可以解决哪类求最值的问题？

【设计意图】让学生理解运用基本不等式求最值为什么要满足“一正、二定、三相等”的条件. 熟悉运用基本不等式的一般步骤，初步感受用基本不等式可以求解两类基本的最值问题——积定求和的最小值、和定求积的最大值，为后续解决实际问题奠定思想基础.

四、教学反思——预备知识如何教？

1. 发挥预备知识的课程价值，通过預备知识逐步引导学生掌握研究数学对象的方法与路径

学生在初中不仅学习了数学基础知识，而且积累了研究数学对象的基本活动经验. 在预备知识的教学中，教师应该充分挖掘学生已学知识中蕴含的思想方法，引导学生逐步梳理在初中阶段研究数学对象的一般方法与路径，着重指导学生在“如何想到，怎样探究”上下功夫，构建以“事实—概念—性质（关系）—结构（联系）—应用”为明线、以“事实—方法—方法论—数学学科本质观”为暗线的课堂教学进程，发挥预备知识的预备功能，促使学生在初中已有认知的基础上感受初中所学知识、方法、经验对高中数学学习的奠基作用，体会数学知识内容的整体性和学习方法的一致性.

以“基本不等式”为例，人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册在小节引言中指出：“我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.”这段话简洁、清楚地说明：基本不等式与初中所学乘法公式类似，有着相同的研究路径与重要作用，需要学生通过回忆乘法公式的学习过程构建不等式的研究路径.

学生在初中通过对多项式乘法法则进行代数变换，得到两类基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式. 从多项式乘法运算法则到乘法公式，遵循了从一般到特殊的认识规律，为了促进学生进一步直观地理解公式，需要对公式进行几何解释，使学生从符号语言、自然语言、图形语言三个角度全面理解公式，然后运用公式解决简单的整式运算问题. 这里蕴含了公式学习的一条明线，即教学应该遵循“背景—表达—证明—运用”的路径展开. 而这一路径同样适合不等式的学习与探究.

2. 渗透数学学习的一般观念，指导学生学会学习

一般观念是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论. 数学教学不应该是知识的堆叠，数学的魅力在于它有内在的逻辑结构和思想方法. 在预备知识的学习过程中，教师要逐步向学生渗透运用一般观念研究数学对象的学习意识. 要让学生在“代数性质指什么？如何研究代数性质？几何性质指什么？如何研究几何性质？”等研究数学对象的根本性问题上进行长时间的思考，进而获得公式学习的另一条线索——方法的暗线. 方法的暗线主要涉及：如何发现公式？如何证明公式？如何运用公式？下面以“基本不等式”为例进行具体分析，以帮助教师更好地把握预备知识的课程价值，理解教学内容的本质.

（1）如何发现公式？

发现基本不等式的方法有很多. 综合来看，大体分为两种. 一种是通过具体真实的问题情境发现基本不等式. 例如，通过比较“周长相等的矩形、正方形的面积及边长的大小”发现两数和与积的变化规律，并运用公式进行表征. 另一种是直接从重要不等式[a2+b2≥ 2ab]出发，通过代数运算进行逻辑推理获得公式. 两类方法各有侧重，从数学知识的整体性视角来看，第二种方法遵循了数学发展的逻辑顺序，从数学内部自然地提出问题，使得基本不等式与初中乘法公式的研究路径一脉相承，帮助学生将在初中阶段学习到的知识内容、思想方法与高中数学的学习进行有机衔接，体会研究对象在变、研究套路不变、思想方法不变，逐步掌握解决数学问题的“相似的方法”，进而形成数学的思维方式，使数学核心素养潜移默化、润物无声地得到落实.

（2）如何证明公式？

首先，对重要不等式[a2+b2≥ 2ab]进行代数变换，用[a， b]分别代替式中的[a，b]，是获得基本不等式的基本方法. 这种通过代数运算进行逻辑推理证明命题的方法是学生今后学习的重点.

其次，基本不等式是一种特殊的不等关系，应该在“相等关系与不等关系”的整体框架下，利用不等式的性质进行证明. 从学生的认知基础来看，学生最容易想到的是运用“作差法”，这是因为“作差法”是比较两个代数式大小的基本方法，具有很强的适用性和操作性. 教学的关键点在于如何让学生运用不等式的性质推导基本不等式. 基本不等式可以表述为“如果[a>0，b>0]，那么[ab≤ a+b2]”. 显然，从条件“如果[a>0，b>0]”出发，很难找到证明的方向. 反过来，如果从命题的结论出发，通过逻辑推理能够得到一个正确的、唯一的结论，那么命题就是正确的，因为推理过程的每一步都是上一步结论成立的充分条件. 这种“执果索因”的方法就是分析法，它可以帮助学生更好地探寻证明思路，发展逻辑推理素养. 在教学中，教师要引导学生感受分析法在寻求解题思路中的重要价值.

最后，对基本不等式的几何解释是对公式的一种直观证明，有利于学生更加直观形象地理解基本不等式. 这里需要强调的是，让学生独立探究基本不等式的几何解释相对比较困难，主要是因为学生缺乏用几何图形表征代数符号的数学经验，这是一个循序渐进、慢慢渗透的过程，不能一蹴而就. 从课堂的整体效益衡量，基本不等式的几何解释应该侧重于让学生看懂图形，将[ab和a+b2]与图形中的几何元素有機地建立联系，而不是独立构建图形，在如何用几何图形独立地表示[ab和a+b2]上花费过多的时间.

（3）如何运用公式？

运用公式的前提是理解公式. 具体地讲，要理解公式的结构特征、适用条件、操作程序. 单从公式本身来看，基本不等式的结构特征简洁、明确，但在具体解题时，学生往往想不到运用基本不等式求最值，不能将基本不等式与问题有机地联系在一起. 究其原因：一方面，学生习惯于用二次函数求最值，缺少用其他方法求最值的活动经验；另一方面，学生对基本不等式的结构特征、适用条件缺乏必要的分析与体验，没有形成运用基本不等式求最值的思考路径. 在证明基本不等式后，教师应该着力引导学生分析公式结构，探究运用公式的前提条件，分析待求最值的代数式与基本不等式间的联系，帮助学生逐步掌握运用基本不等式的操作程序.

总之，高中预备知识的学习不仅为学生提供了数学表达、逻辑推理的数学工具，而且为学生提供了学什么、怎样学习的方法路径. 高中数学教师要在熟悉初中数学教材体系的基础上，剖析学生已有的认知基础，找到初中和高中数学知识的融合点和衔接处，不断加强一般观念对学生学习的引导作用，促使学生真正学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界，使数学核心素养落地有道，实施有术，真正实现预备知识的课程功能和育人价值.

参考文献：

［1］章建跃. 强化思维教学  落实核心素养（一）：“第十一届高中青年数学教师课例展示活动”总结［J］. 中国数学教育（高中版），2023（4）：4-10，32.

［2］章建跃. 强化思维教学  落实核心素养（二）：“第十一届高中青年数学教师课例展示活动”指定课题的设计意图［J］. 中国数学教育（高中版），2023（5）：4-10.

［3］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.