谈谈课本上的两个三角函数公式

常自然

【摘要】正弦平方差公式是关于三角函数里的一个重要的二级结论，在解决三角函数问题时可以大大节约时间，起到事半功倍的作用，因而大受学生欢迎，又因其与平方差公式结构类似而得名.当三角函数条件中出现了关于两个角的一个类似关系时，我们可以直接代入正弦平方差公式求解对应关系.

【关键词】三角函数;初中数学;解题方法

sinα+βsinα-β=sin2α-sin2β .

上述公式在解决很多三角函数问题时，可以有效的减少运算难度，化繁为简，好记好用，大大节约解题时间，因此应用频繁，又因其结构与平方差公式非常相似，被称为正弦平方差公式，本文给出其证法：

证法1 由正弦的和（差）公式及万能公式，可得：

sinα+βsinα-β

=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ

=sin2αcos2β-cos2αsin2β

=sin2α1-sin2β-1-sin2αsin2β

=sin2α-sin2β

证法2 由平方差公式及和差化积公式，倍角公式，可得

sin2α-sin2β

=sinα+sinβsinα-sinβ

=2sinα+β2cosα-β2·2cosα+β2sinα-β2

=2sinα+β2cosα+β2·2sinα-β2cosα-β2

=sinα+βsinα-β

例1 函数fx=sin22x+π12-sin22x-π12是（）

（1）周期为π2的偶函数

（2）周期为π2的奇函数

（3）周期为π的偶函数

（4）周期为π的奇函数

解 由正弦平方差公式，可得

fx=sin2x+π12+2x-π12·

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x

故选（B）

练习 求sin2712π-sin2112π=

解 sin2712π-sin2112π

=sin112π+712π·sin712π-112π

=sin23π·sinπ2=32.

练习 已知sinπ6+αsinπ6-α=18，α∈π16，π8，求tan2α的值.

解 由正弦平方差公式得

sinπ6+αsinπ6-α=sin2π6-sin2α=18sin2α=18

所以，cos2α=78.由α∈π16，π8，

有2α∈π8，π4，

从而tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα2cos2α-1

=2×18×782×78-1=73

本知识点在三角函数的化简中有着广泛的应用

小练（1）已知sin2x+π12-sin2x-π12=12，x∈0，π4，求tan2x

解：原式化简为

sin22x+π12-sin22x-π12

=sin2x+π12+2x-π12

sin2x+π12-2x-π12

=sin4xsinπ6=12sin4x=12

可得，sin4x=1，又因為x∈0，π4，

所以4x=π2，x=π8，

所以tan2x=tanπ4=1.

小练（2）函数y=sin2x+π6+cos2x-π6的最大值为

解 由万能公式及正弦平方差公式，原式可化简为

y=sin2x+π6+cos2x-π6

=sin2x+π6+1-sin2x-π6

=sinx+π6+x-π6

sinx+π6-x-π6+1

=sin2x·sinπ3+1=32sin2x+1

所以，原式最大值为32+1.

例2 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围是（）

（A）0，π6.（B）π6，π .

（C）0，π3.（D）π3，π.（2011年四川卷）

解 由公式②知，题设即

sinA+BsinA-B≤sinCsinC-sinB

sinB≤sinA+B-sinA-B，

sinB≤2cosAsinB，

cosA≥12=cosπ3，

所以0<A≤π3，选（C）.

练习 a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，满足a2=bb+c，又已知A=100°，求C=（）

解 由正弦定理得，sin2A-sin2B=sinBsinC由正弦平方差公式及三角形内角和定理，原式可转化为：

sinA+BsinA-B=sinBsinC得：

sinA-B=sinB>0其中A-B，B∈0，π

可得A-B=BA=2B或A-B+B=π（舍）.所以，B=50°，C=30°.

例3 在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c.若a2+2abcosC=3b2，则

tanAtanBtanC+6tanA的最小值是.

解 由题设及余弦定理，得a2+（a2+b2-c2）=3b2，2（a2-b2）=c2.

再由正弦定理，得2sin2A-sin2B=sin2C

又由公式②，得

2sinA+BsinA-B=sin2C，

2sinA-B=sinC=sinA+B，

2sinAcosB-2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

sinAcosB=3cosAsinBcosAcosB≠0.

tanA=3tanB>0.

可设tanB=x（ x>0 ） .得tanA=3x.

由A+B+C=π，得tanC=-tanA+B=tanA+tanBtanAtanB-1=4x3x2-1，

所以 tanAtanBtanC+6tanA =3xx·4x3x2-1+63x=149x+5x ≥14·29x·5x=325 .

当且仅当9x=5x（x>0），即x=53，也即tanA=5，tanB=53，tanC=25时，等号成立.

练习 设a，b，c是三角形ABC的角A，B，C的对边，已知c2=3a2-b2，且tanB=12，

求A的值.

解 由正弦定理，正弦平方差公式及三角形内角和定理，原式可化为

sin2C=3sin2A-sin2B

即sin2C=3sinA+B·sinA-B

整理得sinA+B=3sinA-BsinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB

即2sinAcosB=4cosAsinB

可得tanA=2tanB，又tanB=12，

所以tanA=1，A=π4.

例4 已知函数fx=x3-3x-1

（1）求证：函数fx的零点个数是3;

（2）设函数fx的三个零点从小到大依次是x1，x2，x3，求证：x23-x22=x3-x1.

证明 （1）由恒等式cos3θ=4cos2θ-3cosθ可以验证：-2cos40°，-2cos80°，2cos20°

均是函数fx的零点.而三次函數fx的零点个数至多是3，所以所证结论成立.

（2）由（1）的解答，可得x1=-2cos400

=-2sin500，x2=-2cos80°=-2sin10°，

x3=2cos20°=2sin70°，

所以即证 2sin70°2--2sin10°2

=2sin70°+2sin50°

sin270°-sin210°=12sin70°+sin50°，

由公式②及和差化积公式，可得

sin270°-sin210°=sin70°+10°sin70°-10°

=32sin80°=sin60°cos10°

=12sin70°+sin50°.

所以所证结论成立.

例5 △ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，求A的大小.（2020年全国卷）

解 由正弦平方差公式sin2α-sin2β=sinα+βsinα-β及题设，可得

sinA+BsinA-B-sin2C=sinBsinC，sinA-B-sinA+B=sinB，

-2cosAsinB=sinB（sinB>0）cosA=-12（0<A<π），A=2π3.

例6在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c.已知A=π4，

bsinπ4+C-csinπ4+B=a

求证：B-C=π2.（2021年江西卷）

证明 由题设及正弦定理，得

sinBsinA+C-sinCsinA+B=sinA，sin2B-sin2C=sinA.

再由公式②，得sinB+CsinB-C=sinA=sinB+C，sinB-C=1

又B-C∈-π，π，所以B-C=π2.

例7 求函数y=2cosx+π4cosx-π4+3sin2x的值域.

解 y=2sinπ2+x+π4sinπ2-x-π4+3sin2x

=2sin3π4+xsin3π4-x+3sin2x

=2sin23π4-sin2x+3sin2x

=1-2sin2x+3sin2x

=3sin2x+cos2x

=2sin2x+π6.

所以，函数的值域为-2，2.

综上所述可知，正弦平方差公式在三角函数问题中有着广泛的应用，题型主要以利用正弦定理实现边化角后结合三角形内角和定理应用的居多，因其可以大大的降低运算难度，节约解题时间，受到学生们的青睐，因此当三角函数条件中出现了关于两个角的一个类似关系时，我们可以直接代入正弦平方差公式求解对应关系.同时，要根据不同的题型灵活的正用或逆用，达到最好的解题效果.