初中数学解题中相似三角形的巧妙运用

刘贤华

【摘要】在初中数学教学中平面几何是学生学习的重难点.学生们经常需要解决一些计算线段长度、角度、比例以及角相等、边相等或成比例的问题.这些问题的求解过程中，学生可以使用多种多样的解题方法，其中借助相似三角形的方法能够帮助学生快速解题.因此，本文从“求解线段长度问题”、“求解角的度数问题”、“求解线段比例问题”、“证明线段相等问题”四个方面谈一谈如何利用相似三角形的性质解决相关问题.

【关键词】相似三角形;初中数学;解题思路

1 求解线段长度问题中利用相似三角形

在有关求解线段长度的问题中，学生们经常会使用代数的方法对线段的长度进行求解.在这个过程中，不仅需要进行复杂的计算，还要求学生们能够运用对应的定理，这对学生具有很大的挑战.因此，为了能够让学生在面对这类问题时，能够快速具有解题思路，且准确运用特定的解题方法，教师们就需要引导学生掌握相似三角形的特性，促使学生们能够在解决线段长度问题时能够借助相似三角形进行快速解题.

例1 如图1所示，将三角形ABC纸片进行折叠，使得点B落在AC上为点D，其折痕为EF.已知△ABC中AB=AC=3，且BC=4.假如以点D、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求解线段BF的长度.

解析 在该例题中，已经给出了以点D、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，但是题中并没有说明顶点的对应关系，所以在解决这一问题的过程中，不能简单认为△DFC∽△ABC.在这一问题中，教师们需要引导学生全面思考这两个三角形之间所有相似的情况.已知，该图形通过折叠可以得到BF=DF，因此，假如△DFC∽△ABC，那么可以得到DFAB=CFBC，进而得到BF3=4-BF4，即BF=127;假如△FDC∽△ABC，那么就可以得到DFAB=FCAC，从而得到BF3=4-BF3，即BF=2.因此，可以说例1的答案为BF的长度是2或127.

2 求解角的度数问题中利用相似三角形

除去求解线段长度的问题，平面几何的内容中让学生经常求解的内容包括角的度数等问题.对于一些简单的角的度数求解问题中，学生们可以通过代数的方法进行求解.但是对于一些复杂的求解问题，教师们就可以引导学生利用相似三角形的特性对角的度数进行求解.在例2这一经典例题的求解中就很好地运用了相似三角形的特性.

例2 如图2所示，是三个并列的且边长相等的正方形，请试着说明图形中∠1+∠2+∠3=90°.

解析 已知图2中是三个相等的正方形并列而成的长方形，通过正方形的性质可以知道∠1=45°，因此，在这个问题中需要学生们对∠2+∠3这儿的角度进行求解.只要能够证明∠2+∠3=45°，那么∠1+∠2+∠3=90°就成立.因为∠1为EBC的外角，所以可以得到∠2+∠4=45°，因此需要证明∠3=∠4就可以将问题求证.要想证明∠3=∠4就需要证明△BCE∽△BED.在这个过程中，学生们可以借助代数的方法对问题进行求解.

假设正方形的边长为1，那么就可以得到BC=1，BD=2，

根据勾股定理可以得到EB= 2.

因为BEBC= 21= 2，BDBE=2 2= 2，因此可以得到BEBC=BDBE.

又因为∠EBC=∠DBE，所以可以证明△BED∽△BCE，从而得到∠3=∠4.

因此，由于四边形ABFE为正方形，

所以可以得到∠2+∠3=∠2+∠4=45°=∠1=45°，

即∠1+∠2+∠3=90°得证.

3 求解线段比例问题中利用相似三角形

在初中数学解题教学中，教师们需要重视学生解题思路的培养.相似三角形的特性在平面几何的问题中有着较高的应用效率，对于求解线段比例的问题也同样可以利用相似三角形的特性对其进行求解.在例3这一例题中就很巧妙地利用相似三角形对线段成比例的问题进行了解答.

例3 如图3所示，在△ABC中AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，且DF⊥AC于点F，请试着说明AE·AB=AF·AC.

解析 图形中符合直角三角形斜边上的高的基本图形有两个，因此，教师们需要引导学生们能够联想到利用直角三角形的相似判定对问题进行解答.

从题目已知AD⊥BC，因此可以直接得到∠ADB=90°，

又因为DE⊥AB，所以可以得到△ADE∽△ABD，

进一步得到AEAD=ADAB，即AE·AB=AD2.

同理，通过证明可以得到AFAD=ADAC，即AF·AC=AD2.

因此，可以得到AF·AC=AD2=AE·AB，

使得AE·AB=AF·AC得證.

4 证明线段相等问题中利用相似三角形

线段长度问题可以借助相似三角形的方法进行求解，那么同样的对线段相等的证明题中，也可以利用相似三角形进行求证.相似三角形的特性对于线段长度、比例、相等的求解具有重要作用.

例4 如图4所示，点F为菱形ABCD的边AB延长的一点，连接CF、DF，已知E为DF与BC的交点，且EG∥CD交CF于点G.试证明EG与EB相等.

解析 在这一例题的求解过程中，教师们首先需要引导学生对题目中所给出的已知条件进行分析，从而根据题目中给出的线段平行关系进行分析，从而找出图中存在的相似三角形.在这一问题中，如果直接寻找全等三角形的方式是无法将题目进行求证的.

因为四边形ABCD是一个菱形，所以可以得到EB∥AD，

所以可以得到△FBE∽△FAD，

因此通过相似三角形可以得到EBAD=FEFD.

由题意已知EG∥CD交CF于点G，

所以可以得到△FGE∽△FCD，

所以EGCD=FEFD，EBAD=EGCD.

又因为AD=CD，

所以EB=EG.

总而言之，在初中数学解题过程中，教师们需要重点关注学生解题思路的培养.学生解题思路的培养对其解题能力的提高具有重要作用.因此，在初中数学平面几何的解题过程中，教师们可以让学生养成借助相似三角形特性思路，对题目进行解答.