含有参数的一元二次不等式恒成立问题

张小华

【摘要】含有参数的一元二次不等式恒成立问题是高中数学的一类重点问题，这类题型经常与函数、方程，图象等相关知识综合.在此，我结合以下实例，谈谈解决含有参数的一元二次不等式恒成立问题的几种方法.

【关键词】子集法;值域法;降次法

含有参数的一元二次不等式的恒成立问题把“三个二次”有机地结合起来，在解决这类问题的过程中，我们经常会让一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式相互转化，转化过程中又要涉及到一元二次函数图象，一次函数图象，二元二次方程的图象等问题.本文就探讨这类问题的几种求解方法.

1 二次函数图象法

含有参数的一元二次不等式在R上的恒成立问题，可以转化为一元二次函数图象与横轴没有交点的问题来求解.这个方法我们可称之为二次函数图象法.

（1）ax2+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要条件是a>0，Δ=b2-4ac<0.

（1）ax2+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要条件是a<0，Δ=b2-4ac<0.

例1 若不等式（a-3）x2+2（a-3）x-5<0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

解析 当a-3=0即a=3时，不等式为-5<0对一切x∈R恒成立.

当a≠3时，y=（a-3）x2+2（a-3）x-5的图象开口向下，且与x轴没有交点

則a-3<0Δ=4（a-3）2+20（a-3）<0

即a<3-2

所以 实数a的取值范围是（-2，3]

现在我们利用二次函数图象来解决一个不等式在实数集上的恒成立问题

对于任意实数x，不等式mx2+mx+1>0恒成立，求实数m的取值范围

解析 当m=0时，不等式为1>0对一切x∈R恒成立.

当m≠0时，y=mx2+mx+1的图象开口向上，且与x轴没有交点

由m>0Δ=m2-4m<0，解得0

综上，m的取值范围是[0，4）

2 分类讨论求二次函数最值

一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，由于含有参数，不等式对应的二次函数图象的对称轴往往不固定，这个时候我们可以分类讨论，利用函数最值求参数的取值范围.

其一般类型是f（x）=ax2+bx+c（a>0）

f（x）≥m（m为具体实数）恒成立f（x）min≥m

例2 g（x）=x2+2ax+12，当x∈[-2，3]时，g（x）≥a恒成立，求实数a的取值范

解析 对于任意x∈[-2，3]，g（x）≥a恒成立.

即x2+2ax+12-a≥0对任意x∈[-2，3]恒成立，

令f（x）=x2+2ax+12-a.f（x）图象的对称轴是x=-a

则问题转化为当x∈[-2，3]，f（x）min≥0

则有①-a≤-2f（x）min=f（-2）=16-5a≥0

或②-2<-a<3f（x）min=f（-a）=-a2-a+12≥0

或③-a≥3f（x）min=f（3）=5a+21≥0

解①得2≤a≤165

解② 得-3

解③ 得-215≤a≤-3

综上可知，实数a的取值范围是[-215，165]

现在我们用分类讨论求二次函数最值的方法来解决一个给定区间上的恒成立问题

若x∈[-3，2]时，不等式x2+ax+8≥a恒成立，求参数a的取值范围

解析 令f（x）=x2+ax+8-a， f（x）图象的对称轴是x=-a2

则问题转化为当x∈[-3，2]时，f（x）min≥0

则有

①-a2≤-3f（x）min=f（-3）=17-4a≥0

或②

-3<-a2<2f（x）min=f（-a2）=-a24-a+8≥0

或③

-a2≥2f（x）min=f（2）=a+12≥0

解① 得a不存在

解② 得-4

解③ 得-12≤a≤-4

综上可知，实数a的取值范围是[-12，4]

3 子集法

f（x）=ax2+bx+c（a>0），若f（x）<0在给定区间（m，n）上恒成立，则区间（m，n）是不等式 f（x）<0的解集的子集，则有f（m）<0f（n）<0，这个方法我们可称之为子集法.

例3 若对任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a为常数），求实数a的取值范围.

解析 令f（x）=x2-3x+a，则由题意得，

f（-2）=（-2）2-3×（-2）+a≤0f（6）=62-3×6+a≤0，

解得a≤-18

现在我们用子集法来解决一个给定区间上的恒成立问题

已知函数f（x）=x2-3ax-2+a，a∈R.对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a恒成立，试求实数a的取值范围.

解析 因为f（x）-a=x2-3ax-2，则x∈[0，2]，f（x）≤a成立，

只要x2-3ax-2≤0在[0，2]上恒成立

令g（x）=x2-3ax-2，则只要g（x）≤0在[0，2]上恒成立即可.

所以g（0）≤0，g（2）≤0，即0-0-2≤0，4-6a-2≤0，

解得a≥13.

则实数a的取值范围是[13，+∞）.

4 值域法

所给的不等式能通过恒等变形使参数与不含参数的二次函数分离于不等式两端，问题转化为求二次函数的值域，然后求出参数范围，这个方法可称之为值域法.

一般地有：①a>f（x）（a为参数）恒成立a>f（x）max

② a

例4 已知函數f（x）=lg（x+ax-3），若对任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0，试确定实数a的取值范围.

解析 f（x）>0即f（x）=lg（x+ax-3）>lg1，则x+ax-3>1，

对任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0可等价转化为x+ax-3>1在x∈[3，+∞）上恒成立，

即 a>-x2+4x在x∈[3，+∞）上恒成立，

设g（x）=-x2+4x，则g（x）=-（x-2）2+4，

当x=3时，g（x）max=3，所以a>3

现在我们用值域法求解例3中的参数取值范围.

若对任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a为常数），求实数a的取值范围.

解析 当x∈[-2，6]时，不等式x2-3x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+3x恒成立，则由题意得a≤（-x2+3x）min（x∈[-2，6]）.而-x2+3x=-（x-32）2+94，则当x=6时，

（-x2+3x）min=-18，所以a≤-18

5 降次法

当不等式是关于a，x的二次不等式，所求的变量x在给出的不等式中最高次数也是二次，变量a在给出的不等式中最高次数是一次且其范围已知，此时可以把不等式当作关于a的一次不等式，使问题降次，转化为一次不等式在给定区间上的恒成立问题.一次不等式恒成立问题又可转化为一次函数与一次函数图象的问题.这个方法可称之为降次法.

关于a的一次函数f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）>0的充要条件为f（m）>0f（n）>0

关于a的一次函数f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）<0的充要条件为f（m）<0f（n）<0

例5 对任意a∈[-1，1]，不等式x2+（a-5）x+5-3a>0，求x的取值范围.

分析 题中的不等式是关于x的一元二次不等式，问题可转化为关于a的一次不等式（x-3）a+x2-5x+5>0在a∈[-1，1]上恒成立的问题.

解析 令f（a）=（x-3）a+x2-5x+5，则原问题转化为f（a）>0恒成立（a∈[-1，1]）.

当x=3时，可得f（a）<0，不合题意.

当x≠3时，应有f（1）>0f（-1）>0

解之得x<2-2或x>4

所以x的取值范围为（-∞，2-2）∪（4，+∞）

现在我们用降次法求解一元二次不等式的恒成立问题.

若不等式5x-2>a（3x2-1）对满足a≤2的所有a都成立，求x的取值范围.

解析 原不等式可转化为a（3x2-1）-（5x-2）<0

令f（a）=a（3x2-1）-（5x-2），对满足a≤2的a，f（a）<0恒成立，

当x=-33时，可得f（a）>0 不合题意.

当x=33时，可得f（a）<0 合题意.

当x≠±33应有 f（-2）<0f（2）<0

所以-2（3x2-1）-（5x-2）<02（3x2-1）-（5x-2）<0

解得12

综上 x的取值范围是（12，56）

6 函数图象位置关系法

有的时候给出的不等式带有二次根号，被开方式是一个关于x的二次式，用代数方法解决这类恒成立问题行不通，这个时候我们可以考虑不等式相关联的两个函数，通过函数图象之间的位置关系得出参数的取值范围.用得较多的位置关系是直线与半圆的位置关系.

直线与半圆相切圆心到直线的距离d=r

直线与半圆相离圆心到直线的距离d>r

例6 关于x的不等式-x2-4x≤512x+1-a恒成立，求实数a的取值范围.

解析 令 f（x）=-x2-4x，g（x）=512x+1-a，则问题转化为f（x）≤g（x）恒成立

结合函数图象，如图1所示，

f（x）的图象是半圆（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的图象是直线5x-12y+12-12a=0，

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离

d=5×（-2）+12-12a52+（-12）2=2，

解得a=-2或a=73

因为f（x）≤g（x）恒成立，所以直线在半圆的上方或直线与半圆相切，所以a≤-2，

即实数a的取值范围是（-∞，-2]

现在我们用函数图象位置关系法来解决一个与二次不等式有关的恒成立问题.

关于x的不等式4-x2<3x+b恒成立，求实数b的取值范围

解析 令 f（x）=4-x2，g（x）=3x+b

结合函数图象，如图2所示，

f（x）的图象是半圆x2+y2=4（y≥0）

g（x）的图象是直线3x-y+b=0

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d=b32+（-1）2=2 解得b=±210.

因为g（x）>f（x）恒成立，所以直线在半圆的上方，所以b>210，

即实数b的取值范围是（210，+∞）

总之，含有参数的一元二次不等式恒成立问题涉及不等式，方程，函数，以及函数图象等知识点，解决方法因题而异，各种方法之间有一个共同的特点，那就是将原不等式等价转化，使含参数的不等式问题明朗化，进而得到解决.