初中数学二次函数题型探究

李庆中

【摘要】函数是数学当中非常重要的内容，也是数学中难度最大的知识点之一，很多学生在遇到函数类型的题型时，都会产生一种紧张感，从而导致学生在思考时出现失误，进而影响到了学生的学习质量.在初中阶段，主要是对二次函数进行研究，二次函数也可以延伸出一元二次方程的解、实际问题与二次函数等题型，这种类型的题目具有较高的抽象性，教师在教学时要结合具体的例题去教学，并对问题的解析进行探究.

【关键词】二次函数;做题能力;初中数学

1 一元二次方程的解法

一元二次方程的难度一般都较低，学生在这种例题的计算中有着三种做题的方法，分别是：配方法、公式法、因式分解法.公式法具有固定的做题套路，利用求根公式就可解出最终答案，求根公式为：x=-b± b2-4ac2a，将所对应的系数代入即可.而配方法和因式分解法在运用时则需要进行必要的推导，但是计算的难度会相应地降低.这三种方法学生要根据问题进行分析，使用恰当的方法进行解题.[1]

例1试用三种方法求解一元二次方程的根：x2+6x+8=0.

分析 一元二次方程的求解方法一共有三种，分别是配方法、公式法和因式分解法，在应用时这几种方法都可以正确的求出答案，在课堂练习时，要尽可能地锻炼自身计算能力，所以，引导学生依次使用三种方法进行计算.

解 ①配方法：原式转换为：x2+6x=-8，

两边同时加9，得x2+6x+9=-8+9，

等号左边化简（x+3）2=1，

开方得x+3=±1，

解一元一次方程得x1=-2，x2=-4.

②公式法：利用求根公式

x=-b± b2-4ac2a，

将系数代入得：x=-b± b2-4ac2a=

-6± 62-4×1×82×1=-6±22，

从而得到x1=-2，x2=-4.

③因式分解法：根据十字相乘，原式可变为：

（x+2）（x+4）=0，

即x+2=0或x+4=0，

从而得到x1=-2，x2=-4.

2 实际问题与一元二次方程

实际生活与数学之间存在着密不可分的联系，对于一元二次方程来说，它可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，在做题中通过列出适当的方程去进行求解，做题的思路是先对未知数进行假设，然后根据题意去列出一个等式，进而去求出最终答案.在教学时教师同样需要借助实际例题进行分析.

例2 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，问：每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析 这种问题一般都需要设未知数，然后根据题目内容去列出一个等式，最后再求解即可.在本题中，首先需要设每轮平均一个人传染了x个人，然后根据题意可以发现一共有两轮传染，第一个人传染了x个人，第二轮就是这（x+1）个人传染其他人，最终感染人数为121人，因此就存在一个等式，从而进行计算和求解.

解 根据题意：设每轮平均一个人传染x人，

第一轮：第一个人传染了x人，共有（x+1）人，

第二轮：一共有（x+1）人，所以第二轮会传染（x+1）x人，

因此可以列出等式为：1+x+（x+1）x=121，

化简得x2+2x-120=0，

根据因式分解法，原式转化为（x-10）（x+12）=0，

从而求解出x1=10x2=-12，又因为x这个未知量代表人的数量，

所以x>0，即x2=-12舍去.

综上所述，平均一个人传染10个人.

3 列二次函数解析式题型

二次函数在出题时难度并不统一，像本专题中列出二次函数解析式的题型来说，一般情况下这一类型的题型难度较低，学生只需要去考虑题干内容的条件，再根据问题与题干当中的联系性，结合二次函数的知识点进行思考即可.因此，在教学时，教师就可以在实际例题的引入下进行教学，帮助学生逐渐地拥有这类题型的思考过程.

例3 如图1，直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD，其中AB，AD是已有的墙，∠BAD=135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x米，梯形的面积为y平方米，则y与x 的关系式为.

分析 这道题就是单纯求解析式，所以，学生只需将自变量和因变量找到，再借助图象中的条件进行综合性分析即可.本题中是以梯形面积为因变量，因此，学生只需要根据梯形面积计算公式进行列式即可，再进行适当的化简和转化，最终得到二次函数的解析式.

解 作AE⊥CD于点E，则有因为∠BAD=135°，则∠ADC=45°，

所以BC=AE=ED.

又因为BC+CE+ED=30，则AB=30-2x，CD=30-x，

故y=12（AB+CD）·BC=12[（30-2x）+（30-x）]·x.

所以y=-32x2+30x（0

4 實际问题与二次函数

二次函数与实际问题这一类的题型，出题时因为具有一些变化，所以要考虑的问题就比较多，这也就增加了知识点的抽象性，从而使学生在思考时遇到了问题.因此，在教学时，教师需要对分析问题的过程、列二次函数的思路进行统一的整理，能够带领学生逐渐地培养这类题型的做题思维，从而逐渐地攻克学习难关，促进学习质量的提高，促进学生的核心素养的培养.

例4 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：在此基础上，每涨价一元，每星期要少卖出10件，每降价一元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析 对于二次函数的实际问题来说，首先就需要将自变量和因变量找到，本题中可以得到自变量为涨价和降价，因变量是商品的利润，所以根据题意就可以列出一个二次函数解析式.接下来就是对涨价和降价进行分开讨论，最后进行对比即可.

解 ①设涨价x元，利润为y，

则根据题意可列出函数解析式为：y=（60-40+x）（300-10x），

化简得y=（60-40+x）（300-10x）

=-10x2+100x+6000

=-10（x-5）2+6250.

因此，根据二次函数的几何性质，得：

当x=5时，y有最大值6250.

所以定价为60+5=65元时，利润最大.

②设每件降价a元，总利润为w，

则可列出函数解析式为：

w=（60-40-a）（300+20a），

化简得w=（60-40-a）（300+20a）

=-20a2+100a+6000

=-20（a-2.5）2+6125.

因此，根据二次函数的几何性质，得：

当a=2.5时，w有最大值6125，

所以定价为57.5元时，利润最大.

综上所述，每件定价65元时，利润达到最大.

总之，数学相对于其他学科的难度较大，在知识点的理解和学习上都会有困难，而做题则是数学学习中必不可少的过程，在教学时，教师要尽可能的结合实际数学问题，带领学生逐一分析思考，对例题的做题思路进行讨论，帮助学生去明确做题的思考方向，从而培养学生高效的做题能力.对于二次函数的解题探究来说，本文就一元二次方程的解法、列二次函数解析式、实际问题等题型进行综合性的分析.