求解反比例函数解析式的方法例析

陶千春

【摘要】初中数学知识中，求解反比例函数的解析式是教学中的重点知识之一，求解反比例函数解析式的题目经常出现在填空题和选择题中，因为反比例函数的定义与其他函数相比更加具有抽象性，导致很多学生在解答相关题目时容易摸不清求解它的解析式的思路，针对这个问题，本文将会对求解反比例函数的解析式的方法进行归纳总结，以期帮助学生尽快理清求解反比例函数的解析式的思路.

【关键词】反比例函数;函数解析式;数学思想

1 运用反比例函数的定义

在某些求解反比例函数的解析式的题目中，我们可以运用反比例函数的定义进行解答.反比例函数是指当变量x、y之间有y=kx[k∈（-∞，0）∪（0，+∞），x≠0]关系成立，那么y就是x的反比例函数.当我们运用反比例函数的定义解题的过程中，首先将反比例函数的定义式y=kx=kx-1与题目中已知的反比例函数表达式相结合，以y=m+nxm2+nn为任意常数为例，即可得出m2+n=-1，进而解出m2的值，然后运用反比例函数的定义，分析当x<0或者x>0时，对应的y的值的变化情况，借此来判断m的具体值，最后将m的值代入到y=m+nxm2+n中，即可得到所需求解的反比例函数解析式.

例题1 存在一个反比例函数，它的表达式为：y=m+1xm2-2，如果x<0时，y随着x的增大而减小，请求出这个反比例函数的解析式：.

分析 根据题目信息可知，y=m+1xm2-2是一个反比例函数，

已知反比例函数为y=kx=kx-1，

因此就有m2-2=-1，即m2=1，也就是m=±1，

又因为已知x<0时，y随着x的增大而减小，

所以可以推得：m+1>0，即m>-1，

因此m=1，将其代入y=m+1xm2-2中，可得：y=2x，

所以，这个反比例函数的解析式为：y=2x.

2 运用面积

在某些求解反比例函数的解析式的题目中，我们可以运用已知图形中的面积进行解答.当我们运用已知图形的面积解题的过程中，首先将题目中已知图形在图象上的某一点的坐标表示出来，设为x1，y1，然后将这个点代入反比例函数的定义式，即y=kx=kx-1中表示出x1，y1的关系为x1y1=k，再结合题目的条件和图象，用x1，y1求出对应的图形的面积，进而得出k的值，最后将k值代入到y=kx中，即可得到所需要求解的反比例函数解析式.

例题2 如图1所示，已知函数y=kx（k>0，x>0）的图象上有一点A，且AB⊥x轴，AC⊥y轴，B、C分别为垂足，已知图中矩形OBAC的面积等于4，试求出该反比例函数的解析式.

分析 根据题意可得，我们假设A点坐标为x1，y1，

又因为A点在反比例函数的图象上，所以就有：y1=kx1，

也就是：x1y1=k，

又因为图中矩形OBAC的面积等于4，

所以有：S=x1×y1=4，即k=4，

又因为根据图象可知，它只分布在第一象限，

k>0，x>0，

所以 k=4，

所以 这个反比例函数的解析式为：

y=4xx>0.

3 运用图象的对称性

在某些求解反比例函数的解析式的题目中，我们可以运用图象的对称性进行解答.当我们运用图象的对称性解题的过程中，首先将题目中已知的函数的解析式的图象找出，然后在满足题目要求的情况下，利用图象的对称性将该函数图象关于x轴或者y轴对称圖象画出来（究竟选择关于哪一条坐标轴对称的图象取决于题目的要求），最后利用对称的图象和函数的性质进行求解，即可得到所需要求解的反比例函数解析式.

例题3 如图2所示，为反比例函数y=2x（x>0）时的图象，当这个图象关于x轴对称时，得到的对称的图象的函数解析式是：.

分析 根据题目信息可知，需要求解的是关于x轴对称式的图象的解析式，

那么在图象中将关于x轴对称的图象画出，如图所示，

因此就可得它的解析式为：y=-2x（x>0）.

4 利用待定系数法求解

在某些求解反比例函数的形式的题目中，我们可以运用待定系数法进行解答，当我们运用待定系数法解题的过程中，首先设出反比例函数关系式为

y= kxk≠0，然后把图象经过的点m，n代入y=kx中，就可以解出k，最后得k值代入到y=kx中，即可得到所需要求解的反比例函数解析式.

例题4 已知反比例函数的图象经过点（12，-2），则此函数关系式是.

分析 设出此反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出系数即可.

设此函数关系式是y=kxk≠0因为反比例函数的图象经过点（12，-2），

所以-2=k12，解得k=-1，所以此函数关系式是y=-1x.

待定系数法在确定函数关系式时经常要用到，同学们一定要通过具体例子体会.

通过上述四种求解反比例函数例题方法的介绍和分析，不仅能够帮助学生掌握求解反比例函数解析式的技巧和方法，而且对于学生的观察能力和思维能力等都有培养的作用，还有利于学生更深入地掌握和运用数形结合的数学思想.每一个教师都需要提高自己的专业素质，从多个角度出发，帮助学生更好地对问题进行探究，让学生可以利用等量关系，图象性质和函数定义等多种方法，更好地对反比例函数进行深度的解析，从而更好地提高课堂的教学活力，帮助学生从多个角度开展现有的教学课堂.