巧用“特殊点”求三角函数中ω的取值范围

单尧

【摘要】整體代换思想和数形结合思想是我们处理三角函数有关问题的常用思想方法.整体代换思想可以把复杂的问题转化为较为简单的问题，但是有时候运算量大，不易理解.数形结合思想，可以把难理解的问题可视化，简单化，不过学生需要有较强的构图能力和抽象概括能力.灵活运用数形结合思想解题可以大大简化我们的运算，使我们抓住问题的本质.所以，在解决三角函数有关问题时我们应该将两种思想结合使用，尤其是多尝试从函数的图象上寻找问题的答案.

【关键词】整体代换思想;数形结合思想;函数的图象

1 φ与5个关键点的位置关系

1.1 三角函数中的5个关键点

对于函数f（x）=sin（ωx+φ）而言，如果分别令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π，可得

A1（-φω，0），A2（π2-φω，1），A3（π-φω，0），A4（3π2-φω，-1），A5（2π-φω，0）这5个关键点.

1.2 φ的大小与5个关键点的位置关系

（1）当φ∈（0，π2）

（2）当φ∈（π2，π）

（3）当φ∈（-π2，0）

（4）当φ∈（-π，-π2）

2 利用特殊点法求参数ω的范围几种题型

2.1 与函数单调性相关问题

例1 若函数f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）在（π2，π）上单调，且在（0，π3）上存在极值点，则ω的取值范围为（ ）

（A） （0，2]（B） （1，2]

（C） [23，43]（D） （1，43]

解答 因为φ=π6，函数的图象如图一所示.设Ai的横坐标为xi，i∈{1，2，3，4，5}（下同）.因为函数（0，π3）上存在极值点所以必有：x2<π3.令ωx2+π6=π2，即x2=π3ω<π3得ω>1.

又因为函数在（π2，π）上单调，所以由π-π2≤T2=πω，得ω≤2.

当1<ω≤2时

x2=π3ω∈[π6，π3），x4=4π3ω∈[2π3，4π3）

即x2<π2

π3ω≤π24π3ω≥π1<ω≤2得ω∈（1，43]

答案 D.

例2 已知f（x）=sinωx+3cosωx（ω>0）在区间[π6，π4]上单调递增，则ω的取值范围是（）

（A）（0，23]

（B） （0，23]∪[7，263]

（C） [7，263]∪[503，19]

（D） （0，23]∪[503，19]

解答 原函数可化为f（x）=2sin（ωx+π3）（ω>0），则函数图象如图5所示

因为函数在[π6，π4]上单调，

所以由π4-π6≤T2=πω，

得0<ω≤12.

又因为x2=π6ω≥π72，x8=19π6ω≥19π72>π4

所以要保证函数在[π6，π4]上是单调递增，由上图可知只需：

[π6，π4][0，x2]或者[π6，π4][x4，x6]

即π4≤x2=π6ω或者π4≤x6=13π6ω且π6≥x4=7π6ω.解不等式得ω∈（0，23]∪[7，263]

答案 B.

2.2 与函数零点相关问题

例3 设函数f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：

①在（0，2π）有且仅有3个极大值点

②在（0，2π）有且仅有2个极小值点

③在（0，π10）单调递增

④ω的取值范围是[125，2910）

其中正确的结论是（）