数形结合思想在初中数学教学中的渗透路径

许洪国

【摘要】作为数学中重要的思想方法，数形结合思想推动着数学的发展进程.本文首先概述了现代数学视角下的“数形结合”，其次概述数形结合思想在初中数学教学中的渗透路径，最后给出数形结合思想的教学建议及教学设计.本文的研究致力于对初中数学中数形结合思想的应用问题研究，可以帮助初中生更好地理解数形结合思想，并能够灵活运用数形结合思想解决数学问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.

【关键词】数形结合思想;解题思路;渗透路径

近几年，中高考中非常重视对数形结合思想方法的考查，在考查基础知识以及基本技能的基础上，更加看重培养学生应用与创新能力.本文介绍现代数学视角下的数形结合思想，在前人研究的基础上对初中数学中运用数形结合思想解决各类数学问题的方法进行研究与归纳总结，进而帮助学生更好地运用数形结合思想解决数学问题.

1 现代数学视角下的“数形结合”

1.1 “数形结合”思想概念界定

“数形结合”是通过把数的抽象性和图的直观性结合起来的方法，使得复杂问题简单化、抽象问题具体化的一种思维方式.“数形结合”可以分为两个方面：“以形助数”和“以数辅形”.“以形助数”是指利用几何直观寻找解题思路，促进代数得到进一步发展.如借助于数轴了解绝对值的意义，探索如何比较有理数.而“以数解形”是指借助数的思想实现图形的精确表达.如利用点到圆心的距离来与半径做比较，判断点和圆的位置关系.

1.2 新课程标准下的“数形结合”

新课程标准下“数与代数”中有关“数形结合”的内容发生了很大的改变，主要体现在它更加重视建立学生的数形转换思想，并以此加深学生对“数与代数”的理解与认识.例如，运用几何图形帮助学生理解和推导完全平方公式等都可以培养学生的数形结合思想.挖掘教材和生活中的素材，引导学生透过“形”的外表，探寻形与数之间的本质联系.例如在笔者教学实践中发现“统计与概率”中的内容不易被学生理解和掌握，结合新课程标准，运用条形统计图、折线统计图、扇形统计图等来统计和分析数据，达到化难为易的效果，这也为训练数形结合思想提供了很好的机会.

2 数形结合思想在初中数学教学中的渗透路径

数学作为数理科目学习和研究的基础载体，在教学过程中通过数形结合的运用，能够将抽象的代数或者复杂的几何事物转变为具体的内容，方便学生理解和掌握数学知识，可见数形结合思想教学是培养学生数形结合认知的重要途径.针对部分学生数形结合能力弱、部分教师对数形结合思想方法掌握水平不高、教学缺乏等问题，提出以下策略：

2.1 数形结合教学内容选择策略

数学教师不应只把数形结合作为数学解题的辅助工具，对于实际的数形结合教学内容，和数学思想的培养作用，教师应具有清晰的认识.学生数形结合思想方法的学习效率的优劣，主要看数学教师对教学内容选择的恰当程度.因此教师需要明确数形结合能力培养对学生数学学习的重要性，并体现在数学教学目标之中;以培养学生数形结合能力为目标设计具体的教学计划，促使数学教师在数学教学中加强学生数形结合思想的培养.

这些年，国内很多初中都致力于对数形结合教学方法的推广，如襄阳四中，华师一附中等，对于数形结合思想方法用于数学教学运用广泛，并且得到了很大的成效，特别是数学成绩的提升尤为凸显.可见，学生数学成绩的优劣和数学逻辑的认知，离不开对数形结合思想的培养.例如教师在讲授函数问题时，就可以使用图象解题，利用具体的图象研究函数的变化.值得注意的是数形结合的教学应该是系统的，循序渐进的，根据学生对于数形结合能力，适当调整.数学教师的数形结合的教学内容，也要和学生所学密切相关.尽量避免零散使用，导致学生丧失对数形结合思想的重视程度.

2.2 学生学法教学、教师教法策略

针对学生数形结合运用能力较为薄弱的问题，需要引导学生树立对数学学习的科学观念，注重数学思想的探究，提升数形结合探究的积极性，找到适合自己的数形结合的学习方法，灵活处理较为复杂的数学问题，使学生热爱数学学习，树立数形结合概念，提高数形结合能力.针对部分教师对数形结合不足的问题，学校应该重视对老师数形结合运用相关的培训，师范类院校也应加强数学思想的教学理念的传授，重视数形结合思想的培养作用.

现如今，有很多学生认为数学学习较困难，不愿意进行学习，因此就需要数学教师改变教学策略，在讲课时要达到生动有趣，建议多运用数形结合的方式解题和进行教学.注重数学师范生数学思想的教学和在职教师的技能培训.各师范类院校应加强对数学学科师范生的数学思想的教学，让数学师范生在入职前掌握的数学思想的掌握足以支撑进行初中的数学学科的授课.同时主张初中时期强化对数学学科老师的数学思想方法的训练，使在职教师在教学中运用数形结合思想方法更加得心应手.

2.3 数形结合能力评价策略

当今教育界对于数形结合思想方法的理论作用和解题作用都是十分肯定的，但是，大部分教师对思想的实际意义认知却是不足的，其根本原因是因为没有完善的具体的数学教学的评价机制.这是由于我国现存的应试教育的现状导致的，评价的重要标准始终是成绩的高低，而新课改是我们不得不去重视，数学思想的培养，使之更适应新课改的要求，更符合学生的发展，更满足社会的需要.

3 数形结合思想的教学建议及教学设计

3.1 教学建议

对于初中生而言，依靠教材只能形成基本的理解，想要形成对数形结合思想的深刻认识，教师的作用不可缺少，在教学工作的各个基本环节都要设计渗透方案.例如在初中数学教材中的不等式章节，在许多方面都體现了数形结合的思想，并且在编排上符合初中生的认知规律.

3.1.1 在备课时融入数形结合思想

备课环节是教学工作的初始，是上好一节课的前提条件.教师在备课时要仔细钻研教材，深刻研究在课程标准、教科书以及参考资料中蕴含的数形结合思想;要了解学生的知识掌握情况，预设学生的不解之处，并针对这些困难给出相应的解决策略;要针对本节课的内容合理地设计教学过程，同时要认真设计数形结合思想的有效渗透途径，使学生更好地参与到教学活动中.

3.1.2 在课堂教学中渗透数形结合思想

上课环节是教学工作的中心，是上好一节课的直接体现.在上课时，要制定明确的目标，符合学生的认知规律，确保教学内容的准确性，不能出现知识上的错误，选取适当的教学方法，将数形结合思想融入其中，以取得更好的教学效果，要确保课堂结构紧凑，注意课程内容的详略得当，衔接好课上的各个环节，要深入各个知识点背后蕴含的数学文化，让学生体会到其中数与形的融合.

此外，在上课时要体现学生的主体性，让学生经历自主探究的过程.例如，在探究不等式的解法中引入函数图象时，可以让学生先动手画图，观察图象的性质，得出相应的结论，教师再加以点拨，这样，学生就能更好地领悟数形结合思想.

3.1.3 在布置课外作业时体现数形结合思想

课外作业环节是对课堂的补充.通过此环节，学生能够提升技巧，培养自主学习的意识.因此，把握好布置作业的环节，有助于学生巩固课上所接触的数形结合思想.例如，在不等式章节布置课后作业时，可以设计题目，让学生经历如下过程：

不等式的提炼  运用图形解不等式  用不等式解决生活实际问题

此外，还可以推荐学生阅读一些有关于该思想的书籍，启发学生的创造性思维，丰富学生的课外生活.

3.1.4 在课外辅导环节总结数形结合思想

课外辅导是教师在课堂教学之外对学生的指导.在此环节，要注意因材施教，设定符合学生个性的辅导策略.因此，在此环节，教师应该以提问和启发为主，带领学生总结和回顾先前所渗透的数形结合思想，对于学生有疑问和疏漏的部分针对性答疑解惑.

3.1.5 在学业评价时内化数形结合思想

在评价学业成绩时，要注意从多维度进行评价，关注学生的创造性思维.在此环节，可以以口头提问的方式，考查学生在不等式章节中对于数形结合思想的掌握程度.长此以往，学生能形成自觉性，将数学思想内化于心，并能够合理运用.

3.2 以不等式进行教学设计分析

教学设计的高质量完成对于课堂教学能够取得好的效果至关重要，同时也是在课堂上渗透数形结合思想的基础保障.

笔者以《二次函数与一元二次方程、不等式》的教学设计为例，给出了应用数形结合思想进行课堂教学的渗透途径.数形结合思想的应用主要有下述几类：一是“以形助数”，即利用图形的直观性、简洁性，阐述数量间的某种关系，将数量转化为图形来求解;二是“以数解形”，即借助数量的准确性、抽象性，阐述图形的某些属性，将图形转化为数量来解决;三是“形数互变”，即通过数和形相互转化，使繁杂的问题简易化，抽象的问题直观化，使解题的过程更加容易实现.由于不等式体现的主要是两个量之间的大于小于关系，即数量关系.

授课过程中，笔者在解不等式时，采用的是“以形助数”的方式，将数量问题转化成图形问题;在用不等式表示几何图形中的数量关系时，采用的是“以数解形”的方式，抽象出其中的数量关系，将图形中的线段长度与长短关系提炼成为不等式;在解决复杂的综合问题时，采用的是 “形数互变”的方式，从已知的条件和结论同时出发，认真分析内在的数形关系，来解决复杂的不等式问题.

在本节课的教学设计中，教师在授课时能够充分与学生互动，课堂提问、小组讨论等环节充分调动了学生的积极性，体现了学生在课堂中的主体地位.对于不等式解法的推导过程，以提问的形式，引导学生积极思考，自主发现，并与同学进行讨论，共同学习，培养学生的探索精神、合作精神.

课后反思中发现本节课的缺点是对于课上各个环节之间的衔接不够恰当，没有做到自然过渡，对于例题的讲解较少，应该多一些对于解题过程的示范.在总体上，本节课给出了数形结合思想在不等式教学中的渗透途径，并给予学生此方面的启示，有效提升了学生的数学学科素养.

4 结语

综上所述，将数形结合思想渗透到初中数学的教学中可以降低课程的难度，增强学生的学习效率，强化学生的应用意识与创新思维，是初中数学教学中的一个强大的助力，其教育价值值得深刻地挖掘.数形结合思想在初中数学教材中不等式章节的每一部分当中都有所体现，在解不等式、证明不等式时，主要体现的是“以形助数”;在应用不等式表示存在于几何图形中的数量关系之时，主要体现的是“以数解形”;在涉及复杂的不等式综合应用问题时，主要体现的是“形数互变”.

当然，数形结合思想的渗透过程是一个循序渐进的过程，需要教师做好备课、上课、课外作业、课外辅导以及学业评价等环节的工作，并通过日积月累的坚持，培养学生应用数形结合思想的能力，只有这样才能真正地提高学生的思想境界，对学生未来的发展产生深刻的影响.

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