辅助线在解答初中平面几何问题中的运用

袁桂春

【摘要】在解答平面几何问题时，作辅助线是经常使用的方法，但是由于辅助线的使用过于复杂，导致学生在解题过程中往往无法正确使用，使得学生即花费了时间，又没有好的效果.为了让学生正确的认识到辅助线的使用方法，本文结合实际情况，对辅助线的使用进行系统性的分析.

【关键词】辅助线;平面几何;解题效率

1 在三角形中的运用

三角形的图象题目中，当题目中出现角平分线、平行线、垂直平分线及线段之间的关系等诸多信息点时，学生在解答问题时，则往往需要借助辅助线.根据题目中给出的内容及最终的问题，通过辅助线构造全等三角形、相似三角形、相等线段等诸多策略，以此解答问题.

例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD，BC=3，AC边上是否存在一点H，使BH+EH值最小，并求出最小值.

分析 根据题意，直接进行求解是十分困难的，此时则需要作出相应的辅助线帮助分析题目.首先，点B，E在AC左侧，同侧的两点并不能确定二者之间的最短距离，此时，则需要找到B，E其中一个的对称点，进而解答问题.

解 作E关于直线AC的对称点E′，连接BE′交AC于点H，如图2所示.

此时则有AE=AE′，HE=HE′，

所以BH+EH=BH+E′H=BE′，

因为∠BAC=30°，

所以∠BAE′=60°.

因为AE=AE′，

所以△AEE′为等边三角形.

因为E是AB中点，∠ACB=90°，∠BAC=30°，

所以，EE′=12AB=BC=3.

可得∠AE′B=90°.

根据AE′=EE′=3，∠AE′B=90°，∠BAE′=60°，则可以得到BE′=33，

即BH+EH的最小值为33.

2 辅助线在四边形中的应用

在面对四边形的相关问题时，学生则需要进一步分析总结辅助线的使用技巧.如当题目中出现平行四边形、梯形、长方形及其它特殊图象时，而又无法直接解答问题时，此时学生就需要考虑根据各种图形的基本性质以及题目中给出的信息与图象之间的关系进行分析，画出相应的辅助线，帮助解答问题.

例2 如图3所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC=∠DEC，若AB=6，求CD的长度.

分析 分析题目可以发现，解答本题不能直接进行计算，而是需要作出相应的辅助线，找出AB与CD的数量关系，最后得到CD的长度.

解 延长BC，AD交于F，

因为∠BEC=∠DEC，CE⊥BC，CE=CE，

所以，△ECF≌△ECB，

进一步可得FC=BC，

又因为AB∥CD，根据其定理得到AD=FD，

所以CD是△FAB的中位线，

则可得CD=12AB=3.

3 在圆形中的应用

与圆相关的平面图形问题是中招考试中的一个重点题型，同时其计算比较复杂，需要学生同时兼顾圆的基本性质与其结合图象的性质，所以，辅助线的使用更加的多变.

当题目中出现关于弦的问题时，学生就可以作弦心距及弦半径的辅助线.当出现计算弦长及半径、直径的问题时，学生就可以作过圆心垂直于切线的辅助线.

圆与其它图象相结合的题目中，则需要学生利用二者之间的关系作出适当的辅助线.

例3 如图5所示，AB为圆Ο的直径，弦CD交AB垂足为P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，求CD的长度.

分析 通过分析可以得到，首先需要根据直径求弦的長度，而后作垂直于弦的线段，从而求出结果.

解 作OH⊥CD于点H，连接OC，如图6所示.

因为AP=2，BP=6，

所以可得圆的半径r=4，进一步可得OP=2，

因为∠APC=30°，

所以∠HPO=30°.

因为△HPO是直角三角形，

所以，OH=12OP=1，

在Rt△HCO中，OH=1，OC=4，

所以CH=OC2-OH2=15，

所以CD=2CH=215.

4 结语

辅助线作为解答平面问题的重要方法，需要学生在日常学习中，多进行习题练习，积极进行总结归纳，如此才能在考试中取得好的成绩.