例讲二次函数与一元二次方程习题

2022-05-30张舒

数理天地(初中版) 2022年16期

关键词：二次函数一元二次方程初中数学

张舒

【摘要】二次函数与一元二次方程是初中数学的重点与难点.为使学习者清晰地认识两者之间的关系，掌握解答相关习题的思路与方法，促进其解题能力有效地提升，习题教学中应做好相关习题的筛选与讲解，并做好解题的点评，使学习者更好地把握解题细节.

【关键词】初中数学;二次函数;一元二次方程

众所周知，二次函数与一元二次方程在一定程度上可以互化[1].为更好地解答二次函数一元二次方程习题，通过例题的讲解为学习者展示两者之间互化的具体过程，把握互化的注意事项，促进其解题能力的有效提升.

例1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解为.

解析由抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，4），B（2，4）可得，ax2+bx+c=4时x=-1或x=2.由a（x-3）2-4=3b-bx-c，可得a（x-3）2+（x-3）b+c=4.则y=a（x-3）2+（x-3）b+c图象可看做由y=ax2+bx+c图象向右平移三个单位得到，对应的x=-1+3=2或x=2+3=5，即，关于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解为x=2或x=5.

点评该题较为抽象，技巧性较强，间接地考查二次函数图象的平移问题.解题时需要认真观察，巧妙的变形构建已知与要求解问题之间的联系.抛物线表达式中含有三个参数，因此，将两个点的坐标代入并不能求出其具体的值.解题时需要另辟蹊径，运用二次函数与一元二次方程之间的关系，借助图象平移进行巧妙解答.

例2 关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0，有一个根是-1.若二次函数y=ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b，则t的取值范围是（）

（A）-1

（C）-12≤t<12. （D）12

解析由一元二次方程ax2+bx+12=0，有一个根是-1，将其代入得到：a-b+12=0，即，b=a+12，由t=2a+b，可得a=2t-16①，b=2t+26②;

又由二次函数y=ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，可得-b2a>0，12-b24a>0;

将①②分别代入解得-1

点评解答该题需要充分运用已知条件进行等价转化，寻找相关参数之间的不等关系.该题难度不大，解题的关键在于能够理解题意，构建参数之间的内在联系.但是该题运算量较大，运算时应认真，细心.

例3 已知关于x的一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0（m

（A）m

（C）a

解析根据题意将一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0，拆分成y=x2-（m+n）x+mn和y=-3;对于y=x2-（m+n）x+mn，令其值为0，则由根与系数的关系可知，其两根分别为m、n.

由函数图象可知，a、b为y=x2-（m+n）x+mn和y=-3图象交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系中画出其图象，如图1所示：

由图可直观地看到m、n、a、b的大小关系为m

点评该题考查学习者对二次函数以及一元二次方程关系的理解深度，难度中等.解答该题需要具备灵活的思维，结合函数图象加以巧妙地分析.该题给出的已知条件虽然较为简单，但是解题难度较大.如没有正确思路，很难得出正确答案.解题的关键在于将方程拆分成两个函数，而后联系二次函数与一元二次方程之间的关系，运用数形结合思想进行作答.

例4 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t为实数），在1

（A）0≤t<8或t=-1. （B）t≥0.

（C）0

解析該题需要先根据已知条件求出b的值，而后将问题转化为方程对应的二次函数和x轴在1

由抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2，可得x=-b2=2，则b=-4，则关于x的一元二次方程为x2-4x+3-t=0.

根据题意可知该抛物线的对称轴为直线x=2.

当该抛物线和x轴只有一个交点，此时满足题意，即，Δ=16-4（3-t）=0，解得t=-1.

当该抛物线和x轴只有两个交点，即，Δ=16-4（3-t）>0，解得t>-1.

由抛物线的对称性可知，要想满足题意，当x=1时，x2+bx+3-t≤0且x=5时，x2+bx+3-t>0，解得0≤t<8，

即，此时t的取值范围为0≤t<8;综上可知t的取值范围为0≤t<8或t=-1，选择A项.

点评该题难度较大，很多学习者并不能从已知条件以及函数图象抽象、概括出对应的不等关系.究其原因在于其不能正确运用二次函数图象的对称性，因此，实践中可借助多媒体技术为学习者动态的展示函数图象，以帮助学习者更好地理解，真正地吃透与掌握该种习题的解题思路[2].

综上所述，二次函数与一元二次方程联系紧密.为提高学习者解答相关习题的能力，应做好基础知识讲解[3].同时，还应在课堂上与学习者一起剖析相关习题解题思路，暴露出学习者学习不足的同时更好地拓展其视野，启发其在课下多进行总结与反思，自觉堵住知识漏洞，积累解答不同习题的经验与技巧.