分散难点，解决二次函数最值问题

秦虹柳

【摘要】在实际教学中，笔者发现“二次函数的应用”问题对于学生来说是个很难跨越的障碍，有很多学生只要碰到这类问题就表现出严重的畏难情绪，还有一些学生在面对即使是很基础的问题时，也无从下笔.尤其是“二次函数中最值”的问题，更是学生难以突破的屏障.

【关键词】二次函数;最值问题;数学解题

在教学中，老师们都会重点强调二次函数的最值问题与顶点之间的联系，如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=-b2a时，函数取最值y=4ac-b24a.但是，对于一个二次函数限定不同定义域时的最值问题，才是学生们的学习难点，这应该引起教师的关注，我们可以通过如下的教学设计来帮助学生充分理解二次函数的最值问题.

例如 “当x满足如下条件时，x为何值时，函数 y=x2-2x+3取最值，最值是几？”

（1）x取全体实数;（2）2≤x≤3;

（3）22;

（5）x≥2;（6）x≤3;

（7）x<3;（8）0≤x≤3;

（9）-2≤x≤3;（10）0

（11）0≤x<3;（12）0

（13）x>0;（14）x≥0.

在二次函數最值问题的教学中，应该特别强调“数形结合”的思想，通过图象帮助学生理解最值问题，y=x2-2x+3的图象如图1，易求：该函数顶点坐标为（1，2），根据不同定义域，结合具体函数图象，引导学生分析结果如下：

（1）当x取全体实数时，如图1，当x=1时，函数最小值y=2，函数无最大值;

（2）当2≤x≤3时，如图2，当x=2时，函数最小值y=3;当x=3时，函数最大值y=6;

（3）当2

（4）当x>2时，函数无最小值，也无最大值;

（5）当x≥2，当x=2时，函数最小值y=3，无最大值;

（6）当x≤3时，如图3，当x=1时，函数取最小值y=2，无最大值;

（7）当x<3时，当x=1时，函数取最小值y=2，无最大值;

（8）当0≤x≤3时，如图4，当x=1时，函数取最小值y=2;当x=3时，函数取最大值y=6;

（9）当-2≤x≤3时，如图5，当x=1时，函数最小值为y=2;当x=-2时，函数最大值为y=11;

（10）当0≤x<3时，当x=1时，函数取最小值y=2，函数无最大值;

（11）0

（12）当0

（13）当x>0时，当x=1时，函数取最小值y=2，函数无最大值;

（14）当x≥0时，如图6，当x=1时，函数取最小值y=2，函数无最大值.

教师不仅要引导学生运用数形结合的思想解决问题，更重要的是通过如下的设计来帮助学生解决思维上的“矛盾冲突”，教学中进行如下对比：

①对比（2）和（3），当定义域中不包含端点的值时，函数没有相应最值;

②对比（6）和（7），定义域端点的值是否在定义域中，对函数最值的结果并无影响，与“①”中猜想产生冲突;

③=3＼*GB3对比（2）和（6），只有定义域中的端点处为图象“最高”或“最低”点的情况，端点的值是否在定义域中，才对最值的情况产生影响;

④对比（8）和（9），如果二次函数的定义域是一个两端封闭的范围，并且定义域中包含顶点横坐标，那么除了顶点外还有最值点，根据对称性，当x取到顶点横坐标距离更远的定义域端点的值时，相应的函数值是最值;

⑤对比（10）和（11），函数的最小值出现在顶点处，而从这两个定义域来看，函数的最大值只与x=3有关，定义域中包含x=3，函数有最大值，不包含x=3，函数就没有最大值，与x=0没有关系;

⑥对比（12）和（13），无论定义域是哪一种情况，x=0时函数值都不是最值.

结合以上的教学环节，教师还应该引导学生对二次函数最值问题进行梳理和总结，得出以下结论：

1.讨论二次函数“最值问题”必须先确定其定义域;

2.将二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在x1≤x≤x2上的最值问题分为如下三种：

（1）如果x1≥-b2a，如图7，图象分布在对称轴右侧，y随x的增大而增大，那么二次函数在x=x1处取最小值，在x=x2处取最大值;

（2）如果x1≤-b2a≤x2，如图8，函数图象分布在对称轴的两侧，左侧图象y随x的增大而减小，右侧图象y随x的增大而增大，那么二次函数在x=-b2a处取最小值，在x=x1或x=x2对应的函数值中的较大值为二次函数的最大值;

（3）如果x2≤-b2a，如图9，函数图象分布在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，那么二次函数在x=x2处取最小值，在x=x1处取最大值.y=ax2+bx+c（a<0）时最值的性质类似，这里不进行详细总结.

总之，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值只能在其自变量的取值范围x1≤x≤x2的端点，或者x=-b2a处取得.

3.在解决二次函数最值问题时，应该运用“数形结合思想”借助图象进行分析.

对于较复杂的知识，教师要通过在教学中多观察、多思考，把复杂问题简单化，将教学难点进行分散设计，对知识中的易错点、易混点进行重点教学，打消学生的“模糊概念”，帮助学生在遇到“难题”时找到解决问题的办法.

参考文献：

[1]皮连生.《教学设计》，高等教育出版社[D].2000（6）：50―123.