初中二次函数应用题的解题方式

2022-05-30叶葱葱

数理天地(初中版) 2022年16期

叶葱葱

【摘要】二次函数作为近年来中考数学常见题型，这一必考知识点，还在初中函数教学中占据重要地位.二次函数有多元化表现形式，包括等式等代数形式或抛物线等几何形式，这要求学生可以具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力.在数学考试中应用题需要结合案例，应用学生所学的数学知识点，所以对学生的结合问题背景建立抽象数学模型的能力提出较高要求，可以运用科学求解方法.本文将对初中二次函数应用题的解题方式进行一一阐述，旨在可以为师生在初中二次函数应用题解题的教与学提供参考作用.

【关键词】二次函数;应用题;数学解题

1 待定系数法型

此类二次函数应用题通常会在题设中，为学生明确已给两个变量值存在二次函数关系，以及具体存在几对变量值，求解函数关系式简单应用，关键在于可以对待定系数法熟练使用，准确求解函数关系式.

例1 某一超市所售价台灯为20元/台，调查后发现每天这款台灯可以销售w（台），每台的销售单价是（x）元，已知w满足w=-2x+80，假设每天此款台灯可以销售利润达到y（元）.

求解（1）x、y二者之间函数关系式.

（2）在定价每台销售单价是多少，每天可以获得多少利润？最大利润可以达到多少？

（3）确保销售量尽可能大的前提下，如果此超市每天销售台灯利润想要达到150元，需要定价每台销售单价为？

分析求解第一个问题时，通过利用台灯的每台销售利润与销售量相乘即可获得每天利润，根据y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

求解第二个问题时，根据上一问题求解所获二次函数，运用二次函数性质最终求解最大利润值与销售单价.因为y=-2x2+120x-1600，可得y=-2（x-30）2+200，所以在单价x为30元时能够得到最大利润y为200元.

求解第三个问题时，在函数内代入y=150，求解对应x值，并根据w和x关系将与题意不合的值舍去.根据本题已知条件假设y为150，那么-2（x-30）2+200=150，可以求解得出x1为25，x2为35.又因销售量w满足w=-2x+80这一条件，会随着台灯的销售单价增大而随之减小，所以最终确定x为25时，不仅可以保证达到最大销售量，还可以确保每日销售利润达到150元.

点评这一题型考点为应用二次函数，第一个问题主要是要求学生可以根据题意成功获得二次函数;第二个问题是考察学生是否可以根据二次函数性质求解最大值;第三个问题是根据二次函数值，求解x获得最终答案.

2 分析数量关系型

此类题型通过在题目中与学生在生活中的实际情况相结合，创设题目情境给出一定数、量关系，要求在分析基礎上写出函数关系式进行应用，学生在解题过程中需要对题意认真分析，正确写出数量关系式.

例2 在建设“五个重庆”中，为了充分改当地居民的宜居环境，在某区域规划修建（如图1所示）的文化广场，此广场ABCD作为四边形矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，假若整个广场的周长为628m，假设矩形AB边长度为y米，BC边长度为x米，（注：π取值3.14）.

求解（1）尝试用含有x的代数式表示y;

（2）根据现有计划对于ABCD矩形区域内，种植花草铺设鹅卵石等，每平方米造价均值428元，四个半圆区域内分别种植花草，并铺设花岗岩，每平方米平均造价均值为400元.

①假设工程共计花费W元，求解关于x的函数关系式，

②假若当地政府对此工程投入1000万元预期成本，这项工程是否可以达到建设目标，如果可以请列举设计方案，如果不能请说明理由.

③如果当地政府对这项工程投入1000万元基础上，在社会间多方集资募捐64.82万元，可是要求工程区域的矩形BC边，长度要小于AB边长度的23，还要求施工单位刚好用完全部资金.问是否可以完成这一工程任务，如果可以列举可能性方案，如果不能说明理由.

分析（1）通过分割本道题目图形进行拼凑，运用圆周长计算公式整理解答即可.

根据题干给出已知条件πy+πx=628，

因为3.14y+3.14x=628，

又已知x+y=200，所以y=200-x.

（2）求解第一个问题，通过结合图形特点，求解种植花草与鹅卵石的具体铺设面积，获得此工程的总造价解答.

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24

+400×3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

求解第二个问题，可以运用配方法即可求解最小值，对此结果验证最终得到结论：如果仅仅利用政府投入此工程的1000万元并不达到建设目标，这时因为根据第一个问题已经可以得到W=200（x-100）2+1.056×107>107，所以假设不成立.

求解第三个问题，通过构建不等式和一元二次方程，即可联系实际求解答案最终成功解决这道题目.

根据这道题目的题意，获得已知条件x≤23y，也就是x≤23（200-x），所以可以求解x≤80.

由于0≤x≤80，根据题意给出条件W=200（x-100）2+1.056×107=107+6.482×105，对此方程式整理后可得（x-100）2=441，即可获得x1为79，x2为121，因此得到把本次工程的设计方案，应该保证矩形AB边的长度为121米，BC边的长度为79米，分别将各边作为直径向外半圆.

点评这一题型主要考察学生是否可以在工程问题中应用二次函数，通过根据基本数量关系与组合图形面积，成功列举二次函数，并运用配方法求解极值，之后可以与不等式、一元二次方程式相结合，求解实际问题.

3 构建模型法

在完成二次函数应用题解题中，学生可以自主构建二次函数模型，通过运用二次函数图象、性质来解决实际问题.但是在应用此种方法时对建模要求较高，有一定难度.

例3 （如图2所示）抛物线m：y=ax2+b（a<0，b>0），和x轴于A、B两点，（A在B的左侧），相交于y轴，C点为交点.将抛物线m围绕B旋转180°，可以获得新的抛物线n，C1为顶点，交x轴另一交点A1.

求解（1）在a为-1，b为1的情况下，列出抛物线n解析式;

（2）四边形AC1A1C属于哪类特殊四边形，请写出结果并说明理由;

（3）假若四边形AC1A1C为矩形，求解a、b满足条件的关系式.

分析求解第一个问题时，通过在题干中已给出a为-1，b为1条件下，列出抛物线m解析式，并运用C、C1有关B点呈中心对称性，可以得到二次函数顶点坐标.

根据题干已知a为-1，b为1情况下，建立抛物线m解析式为y=-x2+1，

令x=0情况下，可以得出y=1.

由于C（0，1），令y为0，得x=±1，

所以A（-1，0），B（1，0）.