关于圆中函数关系问题构建的策略

吴俊

【摘要】圆中函数关系问题在中考和模拟考中十分常见，该类问题以几何圆为背景，探索函数关系，充分将几何与函数相串联，是数形结合思想的体现.该类问题突破的关键是实现几何特性向函数关系的转化，故充分应用定理，掌握转化策略十分重要，下面举例探究.

【关键词】圆中函数关系;数形结合;转化策略

1 三角函数关系构建

方法解读 三角函数知识在初中数学中较为特殊，在直角三角形中构建三边长与角度关系，也是形与数相综合的重要体现.实际应用时有两种思路：一是直接在直角三角形中，利用三角函数值求解线段长，构建线段的函数关系;二是利用等角的三角函数值相等，间接构建线段的函数关系.

例1 如图1所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，AB=4，点P是射线BC上的一个动点.现以点P为圆心，BP长为半径作⊙P，与射线BC的交点设为Q，连接BD、AQ，设交点为G，⊙P与线段BD，AQ的交点分别为E和F.

（1）若BE=FQ，试求⊙P的半径;

（2）设BP=x，FQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

解析 （1）通过角度推导，可得∠EBP=∠FQP，因为AD∥BC，所以∠ADB=∠EBP，则∠FQP=∠ADB，所以tan∠FQP=tan∠ADB=43.设⊙P的半径为r，在△ABQ中使用三角函数，可得tan∠FQP=ABBQ=42r=43，可解得r=32，所以⊙P的半径为32.

（2）求y关于x的函数关系式，实则是构建线段的函数关系.

过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图2所示.因为PM⊥FQ，PF=PQ，所以FQ=2QM.

在Rt△ABQ中，cos∠AQB=BQAQ

=2BP （2BP）2+AB2=x x2+4x2+4;

在Rt△PQM中，

QM=PQcos∠AQB=x x2+4x2+4.

由于FQ=2QM，

所以y=2x x2+4x2+4.

当圆与D相交时，x取得最大值，作DH⊥BC于H，如图3所示，可推知PD=PB=x，PH=BP-BH=x-3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x-3）2=x2，可解得x=256，所以x的取值范围为0

2 勾股定理直角构建

方法解读 勾股定理直角构建，即在直角三角形中，借助勾股定理对三角形三边关系的串联，将线段长度转化为函数关系.该方法较为简单直接，通常所涉线段均可以转移到同一直角三角形中.

例2 如图4所示，已知线段AB=10，点C在线段AB上，AC和BC分别为⊙A、⊙B的半径，点D是⊙B上的一点，AD与⊙A于E，EC的延长线交⊙B于F.

（1）求证BF∥AD;

（2）如果BD⊥AD，设AC=x，DF=y，试求y与x的函数关系，并写出对应的定义域.

解析 （1）因为点E和C均在⊙A上，点F和C在⊙B上，所以AE=AC，BC=BF，则有∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC，进而可得∠AEC=∠BFC，所以BF∥AD.

（2）该问求线段之间的函数关系，因为BD⊥AD ，BF∥AD，所以∠ADB=∠DBF=90°.可推得BO=10-x，所以BD=BF=BO=10-x.

已知△BDF为等腰直角三角形，由勾股定理可得DF2=BD2+BF2，所以y2=2（10-x）2，整理可得，y= 2（10-x），其中0

3 面积模型综合构建

方法解读 面积模型综合构建，即构建面积模型，结合面积公式、相关线段转换策略来构建一种方式，该种策略主要适用于与面积相关的函数关系问题中.对于常规的图形，可直接利用面积公式来构建，不易求或不规则的图形面积则可以先转化分割，再构建的方法.

例3 如图5所示，扇形AOB的半径为2，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与A和B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D和E.

（1）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？若存在，请指出并求长度;若不存在，请说明理由.

（2）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出对应的定义域.

解析 （1）简答，DE的长度保持不变，且长度为2.

（2）连接OC，过点D作OE的垂线，设垂足为点F，如图6所示.

根據已知可推得∠BOD=∠COD，∠EOC=∠EOA，由角度代换可得∠DOE=∠EOC+∠DOC=45°.在Rt△DOB中，由勾股定理可得DO=OB2+BD2=4-x2.因为DF⊥OE，∠DOE=45°，则DF=OF=224-x2，

所以EF=DE2+DF2=22x.

△DOE的面积可视为△ODF和△OEF的面积之和，

则y=12（OF+EF）·DF

=12224-x2+22x·224-x2，

整理可得y=4-x2+x4-x24（0

总之，圆中的函数关系问题总体上可分为线段和面积两类，对于前者可利用三角函数关系、直角勾股定理、平行相似比例策略来构建，面积类问题则可以立足面积公式，利用面积模型综合构建.探究学习中需深刻理解构建策略的原理所在，掌握构建思路，立足问题探索方法，积累解题经验.