“两边夹法则”在解题中的使用
2022-05-30王静林
王静林
【摘要】通常情况下,在解决各种数学问题的时候,会用到各种数学方法、数学思想和数学法则等.作为数学解题工具的“两边夹法则”,将其应用在实际的数学题目中,不仅能够给解题带来很大的便利,还能够从中探究出数学题目解答的规律,从而帮助学生更好的掌握和学习数学知识.本文从“两边夹法则”在各种数学题目中的解题应用出发,对数学解题方法进行深入的揭示.
【关键词】两边夹法则;解题应用;数学解题
“两边夹法则”的性质是“若a≤x≤a,那么x=a”,根据两边夹法则的这一性质能够解决很多数学方面的问题.将“两边夹法则”在数学解题当中应用的时候,必须要先理解数学问题的题目意思,由此建立起相关的不等式关系,然后借助两边夹法则确定下来其中的参数值,最终完成不等向相等、变量到常量、运动到静止状况的转变[1].用具体的数学实例来进行具体的说明,具体内容如下:
1 利用“两边夹法则”解方程
例1 是否存在一个常数c,能够使不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤ xx+2y+y2x+y对于任意正数x,y成立.
解 令2x+y=a,x+2y=b(a>0,b>0),
则不等式可以转化为x2x+y+yx+2y = 2a-b3a +2b-a3b=43 -13(ba + ab)
≤43 -23 = 23,
当且仅当ba = ab ,即x=y的时候取“=”.
因为x2x+y+yx+2y≤c对于任意正数的x,y成立,
所以(x2x+y+yx+2y)max≤c,
此时c≥23. ……①
同理,xx+2y+y2x+y=23(ba + ab)-23
≥23×2 —23 = 23,
当且仅当ba = ab ,即x=y的时候取“=”.
因为c≤xx+2y+y2x+y对于任意正数的x,y成立,
所以c≤(xx+2y+y2x+y)min
此时c≤23.……②
由①和②综合可得c=23.
2 利用“两边夹法则”求解函数解析式
例2 已知二次函数fx=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)这个点,并且x≤fx≤12x2+12恒成立,求二次函数fx的函数解析式.
解 由二次函数fx=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)这个点,
得a-b+c=0, ……①
又x≤fx≤12x2+12恒成立,
则可得1≤f1≤1,
即f1=a+b+c=1, ……②
结合①和②可得a+c=12,b=12,
所以fx=ax2+12x+12 - a对于x∈R都成立,
由此x≤ax2+12x+12 - a≤x2+12对于x∈R都成立,
即ax2+12x+12-a≥x,ax2+12x+12-a≤x2+12对于x∈R都成立,
所以ax2-12x+12-a≥0,1-2ax2-x+2a≥0对于x∈R都成立,
所以Δ1=14-4a(12-a),a>0,Δ2=1-8a1-2a≤0,1-2a>0,
解得a=14,
所以c=12-14=14.
由此可得出二次函数的解析式为fx=14x2+12x+14.
3 利用“两边夹法则”求角的大小
例3 已知在三角形ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c满足sinA(sinA+2 3sinBsinC=3sin2B+3sin2C,则C的大小为.
分析 两边夹法则有两个层面[2]:
(1)如果同时有不等式fx≤fx+γ(γ≠0)成立,
则利用两边夹法則可以得出:f(x+γ)= f(x).
(2)如果同时有不等式fx≥a,fx≤b(a
利用两边夹定理可得a≤fx≤b.
结合题目相关的条件和性质以两边夹定理进行分析和求解.
通常情况下,两边夹法则的应用是在题目条件不足的状况下[3].
解 根据正弦定理可知,
sinA(sinA+2 3sinBsinC)=3sin2B+3sin2C
a2+2 3absinC=3b2+3c2 ……①
在△ABC当中根据余弦定理可得
c2=a2+b2-2abcosC ……②
根据①和②可知,
a2+2 3absinC=3b2+3a2+3b2-6abcosC
又 3absinC+3abcosc=a2+3b2
即可得 3sinC+3cosC=ab+3ba
又2 3sin(C+π3)=ab + 3ba
又2 3sin(C+π3)≤2 3,ab + 3ba ≥2 3
所以sin(C+π3)=1
C=π6
4 结语
在应用两边夹法则解题的时候,不仅可以解方程、求函数解析式和求三角形中角的大小,还能够用于比较大小、求参数的值以及探究问题等数学问题当中,学生要能够灵活运用两边夹法则,保证数学问题得到解决.
参考文献:
[1]刘一鸣.利用两边夹法则解竞赛题[J].数理天地(初中版),2021,(09):31+33.
[2]张滨.例说“两边夹法则”在解题中的应用[J].初中数学教与学,2021,(15):37-38.
[3]虞懿.应用“两边夹”法则求解竞赛题[J].数学通讯,2018,(23):51-53.