指向思维发展的初中数学复习课教学设计与反思

何永福

[摘  要] 二次函数是初中数学的重要内容，以 “二次函数”复习课为例，尝试进行指向思维发展的初中数学复习课教学设计，通过教学实践证明，激发了学生的学习兴趣，渗透了数学思想，发展了学生的思维.

[关键词] 二次函数;复习课;数学思想;思维

二次函数是初中数学最重要的核心知识，其内容比较多，思想方法也比较多. 作为复习课，需要教师打开思路，设计开放性的问题，激发学生的兴趣，渗透数学思想，发展学生的思维.

教学过程设计与说明

1. 谈话导入，初建知识结构

师：函数的表示方法有几种形式？分别有何优缺点？

生：函数有三种表示方法，一是解析法，自变量与因变量之间的数量关系很明确;二是列表法，由自变量的值可以很快地找到因变量的值;三是图像法，能很形象地表示函数的变化趋势.

生：三种形式可以相互转化.

师：本章我们学习了二次函数，关于二次函数，我们学习了哪些内容？是如何学习的？

生：我们学习了二次函数的定义，一般形式，二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数的应用等. 学习二次函数时，先从生活实例抽象二次函数的概念，由二次函数的解析式画二次函数的图像，再由二次函数的图像研究二次函数的性质，最后利用二次函数的性质解决实际问题.

设计说明  结合函数研究经验，整体把握全章内容，从函数的三種表现形式入手，让学生初步回顾本章学习的主要内容，及其相互关系. 通过回顾本章的学习思路，让学生体会数形结合思想、转化思想等.

2. 数形结合，构建知识结构

问题1：图1是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，图像过点A（-5，0），对称轴为x=-2.

师：你能从图1中获得什么信息？

生：抛物线的开口向下，所以a<0. 因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0. 因为抛物线的对称轴与x轴交于负半轴，所以-<0，又a<0，所以b<0.

师：实际上，题中还有已知条件，即图像过点A（-5，0），对称轴为x=-2，那么由这些条件，你又能获得哪些信息呢？

生：由对称轴为x=-2，可得 -=-2，所以b=4a. 因为A（-5，0）是抛物线与x轴的交点，又抛物线的对称轴是x=-2，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是（1，0）.在对称轴的左侧，即当x<-2时，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，即当x>-2时，y随x的增大而减小.

师：由抛物线与x轴交于（-5，0），（1，0）两点，我们还能得到什么结论？

生：可得一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=-5，x=1. 由图像知，当-50，所以当-50;同理，当x<-5或x>1时，ax2+bx+c<0.

师：很好！这位同学以联系的眼光看待函数图像，由函数图像与x轴的交点坐标想到方程的解，由函数图像在坐标系的位置，想到一元二次不等式的解集. 实际上我们还可将上述信息进一步综合，得到更多的其他结论.

生：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac>0. 因为a<0，b<0，c>0，所以abc>0. 由函数图像还可以看出，当x=-2时，y>0，即4a-2b+c>0，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，当x=2时，y<0，即4a+2b+c<0.

师：根据已知条件能确定二次函数解析式吗？

生：不能确定，如果设二次函数解析式为一般式，则题中只有两个点，少一个点的坐标;如果设二次函数解析式为顶点式，没有顶点的纵坐标;如果设二次函数的解析式为两点式，则少一个曲线上的坐标.

师：请同学们任意添加一个条件，然后用较简单的方法求函数表达式.

设计说明  这是一道全开放试题，面向全体学生，培养了学生的发散性思维[1]. 对于这个问题的探究，教师应注意以下三点：（1）探究二次函数性质时，不能要求学生一次性把所有的性质都找全，要让不同的学生都有收获;（2）确定函数解析式，给学生一定的自主空间;（3）在探究过程中，先理清研究什么，再构建本章的知识结构图，体会数形结合的数学思想，奠定思维发展的基础.

3. 数形结合，突出数形关联

问题2：（1）一个二次函数图像可能经过哪些象限？（2）二次函数y=2x2+x+m+5的图像经过哪些象限呢？（3）函数y=（k-2）x2-3x+k-3的图像经过四个象限，求m的取值范围.

生：对于第（1）小题，二次函数的图像至少经过两个象限，最多经过四个象限，不可能只经过一个象限.

生：第（2）小题需要讨论，因为a=2>0，所以抛物线开口向上，因为对称轴x= -<0，所以抛物线一定经过第一、二象限. 当12-8（m+5）>0且m+5≥0时，抛物线经过第一、二、三象限;当12-8（m+5）≤0时，抛物线经过第一、二象限;当12-8（m+5）>0且m+5<0时，抛物线经过第一、二、三、四象限.

生：第（3）小题需要分情况讨论. 当k-2>0，即k>2时，抛物线开口向上，因为对称轴x=>0，抛物线对称轴经过x轴正半轴，要使抛物线经过四个象限，必须使常数项k-3<0，即k<3，所以20，即k>3，因为k<2，不等式组无解，所以此时抛物线不可能经过四个象限.

設计说明  此题的三个小题层层递进，相互关联，渗透了分类思想、数形结合思想，培养了学生用数探究形的意识，让学生体会问题中的变与不变. 变化的量需要进行讨论，第一小题从两个象限、三个象限、四个象限进行分类讨论;第二小题从常数项大于0、小于0两个方面进行讨论;第三小题从抛物线开口向下与开口向上两个方面进行讨论，凸显了以形助数，以数解形的思想，使学生的思维不断向深处漫溯.

4. 数形结合，应用巩固

在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如下表：

[x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … ]

师：我们已经从数与形两个角度研究过二次函数了，此题以表格的形式呈现一个二次函数，从中你们能得到什么结论？

问题3：有多少种形式可以获得二次函数解析式？请用不同的方法确定二次函数解析式.

问题4：求出函数的对称轴及顶点坐标，并说说函数的增减性.

设计说明  表格也是表达函数的形式之一，它可以获得自变量与因变量的对应值. 上面的问题要求学生确定函数表达式，并利用抛物线的对称性解决问题，学生从中可以体会到将表格转化为表达式或函数图像的必要性，再次体验思想方法，这能促进学生的思维进一步发展.

教学反思

1. 立足研究，奠定基础

复习课上，必须让学生整体把握全章内容，明确研究什么？教学中，笔者围绕二次函数的三种形式设计问题，凸显了研究的内容是二次函数表达式、表格特征与图像性质，以及三种形式之间相互转化. 其中的四个环节环环相扣，通过对问题的解决明确了二次函数的表达形式、表格特征、函数图像的性质以及三者之间的转化. 如由抛物线的对称轴得到抛物线的对称性、增减性及最值;由函数与x轴的交点坐标获得二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系等，为学生的思维发展奠定了基础.

2. 建构知识，理清脉络

建构知识体系有利于发现知识点之间的联系，从而形成整体的知识网络，有利于学生对记忆、迁移与应用. 教学中，笔者首先通过谈话导入的形式，让学生初步建立了知识结构，然后通过开放性问题的解决，帮助学生形成了简明的知识体系，整个解决问题的过程，并非笔者的直接告知，而是学生的自主探究与建构，凸显了知识的关联性，促进了学生的思维的发展，提高了课堂教学的实效.

3. 设计问题，拓宽思维

开放性问题，可以从条件、结论或解法三个方面去开放. 开放性问题有利于面向全体学生，让不同的学生都有发展，有利于拓宽学生的思维维度，有利于高效课堂的构建[2]. 以开放性问题为载体的复习课堂，全体学生共同参与，学生的思维是多向的，在互动中经历了再认识的过程，巩固了所学，提升了智慧.

4. 思想立意，提升思维

数学思想属于隐性思维，也是数学的核心理论，有利于学生高屋建瓴解决数学问题. 教学中，问题的设计以数学思想立意，以提升学生思维为目的，通过对问题的解决，向学生不断渗透转化思想、数形结合思想等，促进了学生思维的进一步发展.

参考文献：

[1]徐强.开放设计，渐次展开，发展学生的多元思维——以直角三角形复习为例[J]. 数学教学通讯，2021（14）：12-14.

[2]何平. 精心架构课堂教学  促进学生思维发展——记一节“一次函数的应用”中考复习课的教学实践与思考[J]. 中学数学，2018（12）：41-44.