同循合数

何鸿猷

循合数除1以外的所有因数可以表示成1+nr；质数除2，3外都可以表示成(1+6r)和(5+6r)，因此同循合数中的因数又可以表示成（1+gr）和（m+gr），以利分解.

【关键词】同循合数；全1数オ

什么是同循合数？以不含因数2，5的合数为分母的真分数化为循环小数为纯循环小数.不含因数2，5的合数可分为：

(1)同因合数：如3瑀(r大于1)，（设j为循环节位数5个字，n为循环节数字，即j=n，以下同）1[]3瑀，j=3﹔-2.设P为除2,3,5以外的所有质数，再设1[]p,j=np瑀（r大于1)为同因合数，1[]p瑀，j=p﹔-1×n.

（2)纯异因合数：如3×11×37×7×13=111111.73×137=10001.

(3)混异因合数：如3×3×37×333667=111111111.7×7×11×11=5929.

11×11×23×4093×8779=100000000001.

将混异因合数中的同因合数视为一个因数，纯异因合数与混异因合数又通称异因合数.以异因合数为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数是其中各因数循环节位数的最小公倍数.如：3×11×37×7×13=111111，1[]3=0.3·,猨=1.1[]11=0.0·9·，j=2.1[]37=0.0·27·，j=3.1[]7=0.1·42857·，﹋=6.1[]13=0.0·76923·，j=6.1,2,3,6,6的最小公倍数是6.1[]111111=0.0·00009·,猨=6.再如：7×7×11×11=1[]72×1[]112=5929，1[]72，﹋=72-1×6=42.

1[]112，j=112-1×2=22.42和22的最小公倍数是42×11=462，1[]5929，j=462.

在纯异因合数中，有这样一种合数，除因数1外，其他所有因数、质因数分别为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数都完全相等，具有这一特点的合数简称同循合数.如11111=41×271,1[]11111=0.0·0009·,1[]41=0.0·2439·,1[]271=0.0·0369·.11111是同循合数.

同循合数还可以作如下理解：即每一个自然数都有质数为分母的真分数化为循环小数，循环节位数与之对应，有唯一一个的，也有两个或两个以上的，凡两个以上与某个自然数对应的所有质数的积就是同循合数.

1[]3 j=1，1[]11 j=2，1[]37 j=3，1[]101 j=4，1[]333667 j=9，1[]9091 j=10，1[]9901 j=12，1[]909091 j=14.以上对应例子质数为分母都是唯一的，如再有第二个，它一定是合数.

11111=41×271，1[]41 j=5，1[]271 j=5,91=7×13，1[]7，﹋=6,1[]13,j=6.

1111111111111=53×79×265371653，1[]53 j=13，1[]79 j=13，1[]265371653 j=13.

826446281=23×4093×8779，1[]23 j=22，1[]4093 j=22，1[]8779 j=22.

10000000000000001=353×449×641×1409×69857，1[]353 j=32,1[]449 j=32，1[]641 j=32，1[]1409 j=32，1[]69857 ﹋=32，以上对应例子质数为分母都是两个或两个以上，11111，91，1111111111111，826446281，10000000000000001等都是同循合数，对应质数在三个以上的部分质数的积，可称为部分同循合数以示区别.

同循合数寓于n位全1数中，（为叙述方便特称大于1位各位都是数码1的数为n位全1数.为书写方便特引入记号《n》表示n位全1数，如：《21》表示21位全1数）《n》不含因数2，5，以《n》为分母的真分数化为循环小数，为纯循环小数，且循环节的位数等于n位.下面来推导它：

1[]7=0.1·42857·.

1[]7×142857=1[]999999=0.0·00001·.

1[]111111=0.0·00009·，j=6.

以合数为分母的真分数化为循环小数，其循环节位数是其中各因数循环节位数的最小公倍数，所以在《n》中，必有至少一个甚至多个质数以它们为分母的真分数化为循环小数，j=n.这也可以从另一个角度证明质数有无穷多.

全1数可分为质数位全1数与合数位全1数，质数位全1数自身如不是质数，除《3》外，它便是同循合数；合数位全1数，约去其中小于n位的全1数因数（约去其中循环节小于n位的因数）后，如果不是质数便也是同循合数.在约分时要注意既不能重约也不能少约.如《42》有全1数因数《21》、《2》、《3》、《14》、《6》、《7》，若先约去《21》，同时也就约去了《7》和《3》，如再约《14》时，必须先从《14》中约去《7》；《14》÷《7》=10000001；10000001=11×909091，最后再约《6》时必须从111111÷111÷11=91，如此可以避免重约，但还要注意少约，因为《42》是混异因合数，其中有因数72，1[]72，j=72-1×6=42,约去了91，91=7×13，只约去了一个7，还要再约去一个7，这一点要特别注意.全1数中有混异因合数，如：《9r》、《22r》、《42r》、《78r》……

《42》÷《21》÷1000001÷91÷7=156985855573.

156985855573=127×2689×459691.

1[]127 j=42，1[]2689 j=42，1[]459691 j=42.

从n位全1数中得到的同循合数，循环节的位数是已知数，这样同循合数中的因数除1外，其他因数质因数都可以表示成1+nr(n是循环节位数，r为自然数).质数除2,3外又都可以表示成6r+1或6r-1(1+6r或5+6r)，因此同循合数中的6r+1数，就可以表示成1+gr(g为n和6的最小公倍数)，同循合数中的6r-1数就可以表示成m+gr(m为m÷n……1,

m÷6……5中最小的数）.m可根据下列公式来求：若n=6r+1，m=4n+1.n=6r+2，m=2n+1.n=6r+4，m=n+1.n=6r+5,m=2n+1.n=3r,凡n=3r因数都是1+6r数.这样求出的m和g是最基本的，根据需要，只要不超过质数本身(m+gr)+gx，(1+gr)+gy都不会影响因数的数值,g实际是同循合数与它的两个因数之间共同因数的最小公倍数，如能判断出三者还另有共同因数，则g就可以扩大.如《11》是6r-1数，n=11，m=23，g=66.(23+66x)(1+66y)=《11》.如判断出两个因数的尾数是9,那么(23+66)=89，(1+66×3)=199.这样g又可以扩大5倍，66×5=330,（89+330x）（199+330y）=《11》.下面来征明质数除2,3外都可表示成6r+1或6r-1.将自然数依下表排列：

【1】[]【2】[]【3】[]【4】[]【5】[]【6】

1，2，3，4，5[]6[]7[]8[]9[]10

11[]12[]13[]14[]15[]16

[BH]17[]18[]19[]20[]21[]22

……[]……[]……[]……[]……[]……

（6r-1）[]6r[](6r+1)[](6r+2)[](6r+3)[](6r+4)

(6r-1)[]6r[](6r+1)[]2(3r+1)[]3(2r+1)[]2(3r+2)

【1】列和【3】列提不出公因数，【2】,【4】,【5】,【6】等列明显是合数.所以质数除2,3外，均在【1】列和【3】列中，这就证明了质数除2,3外都可以表示成6r+1或6r-1.而且（6r+1）(6r+1)，积仍可以表示成6r+1；（6r-1)(6r-1)，积可以表示成6r+1；(6r+1)(6r-1),积可以表示成6r-1.【1】和【3】相互的积，仍在【1】和【3】数列之中.

质因数分6r+1数和6r-1数且尾数分别是1,3,7,9.﹋=5r的质因数有两种情况，即：1+gr和m+gr且尾数都是1.j=3r的，它的因数都是6r+1数，且尾数可能是1,3,7,9.循环节的位数是3和5的最小公倍数即15的倍数时，只有一种情况，即：尾数是1的6r+1数.其他的则可能出现八种情况，即：6r+1数和6r-1数的尾数分别都可能是1,3,7,9.除j=5r外，其他的前一部分只要尾数确定了g就可以扩大5倍.已知循环节的位数，欲求对应的质数，就去分解对应的全1数.