专题复习课：让复习更“专”——以“圆周角与圆心角的关系”专题复习新授课为例

⦿湖北省武汉市六中位育中学 鲁志松

近日，在一次市级专题复习课教学研讨活动中，有幸聆听到“圆周角与圆心角的关系”专题复习新授课，受益匪浅.本文中简单呈现执教教师的教学设计，并就新授专题复习课给出个人的初步思考，不当之处，敬请指正.

1 教学设计

1.1 做一做，画一画

(1)画一个⊙O；

(2)在⊙O内作一个圆心角∠AOB；

(3)在⊙O内作一个圆周角∠ACB.

1.2 圆周角定理及其推论

定理：圆周角的度数等于上的圆心角度数的一半.

推论1：圆周角的度数等于的度数的一半.

推论2：所对的圆周角相等.

推论3：直径所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.

1.3 圆周角与圆心角相结合

设计意图：一是复习巩固圆心角、圆周角和弧之间的关系，二是提醒学生注意弦所对的圆心角的度数是一个，但是所对的圆周角的度数有两个.

图1 图2

设计意图：学生在做圆的题目时，总是会忘记半径都相等的条件，例2提醒学生注意与等腰三角形相结合.

变式如图2所示，点A，B，C在⊙O上，若∠C=40°，则∠OBA的度数为.

1.4 圆周角、圆心角与垂径定理相结合

垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.

推论：平分弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.

例3(2018·襄阳)如图3所示，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为.

设计意图：通过垂径定理得到弧相等，从而和圆心角、圆周角联系起来.

图3

1.5 圆周角、圆心角与平行相结合

图4

图5

设计意图：例4由课本中的随堂练习引出，运用两种不同的证明方法，复习了垂径定理和圆周角定理.也得出了“两平行弦所夹的弧相等”这个常用结论，让学生建立起平行与弧相等的联系.

变式1如图5，已知点A，B，C，D，E都在⊙O上，且AC=DE，DE∥BA，求证：AD平分∠BAC.

变式2如图5，已知A，B，C，D，E都在⊙O上，且AD平分∠BAC，AC=DE，求证：DE∥BA.

1.6 圆周角、圆心角与相似相结合

相似三角形的判定：

的两个三角形相似；

的两个三角形相似；

的两个三角形相似.

例5如图6所示，点A，B，C，D在⊙O上，且AB=AC，AD交BC于点E.

图6

(1)你能在图中找出一对相似三角形吗？并说明理由.

(2)若AE=2，ED=4，求AB的长.

设计意图：通过例5建立起圆中相似的基本图形，让学生能够快速地找到相似图形.如碰到圆中求线段长度的问题，就可以与相似联系起来.

2 几点思考

2.1 学生主体与教师主导

数学课堂教学中突出学生的主体地位，放手让学生讨论、自主思考，有利于发挥学生的主体能动性.但是，笔者认为，作为数学教师，应该把握好课堂教学中“学生主体”和“教师主导”的平衡点，实现课堂教学的“双主体”，进而达到“双赢”.

对于学生能够自主解决的简单问题，教师应该放手给学生，让学生独立解决，可以让学生走上讲台，讲解个人的解题思路，提出个人的初步见解；对于稍有难度的问题，教师应该为学生搭建好“脚手架”，让学生“跳一跳，摘桃子”，让学生在“兵教兵”的氛围中解决问题，实现知识认知的升华；对于难度很大的问题，这个时候必须充分发挥教师的主导作用，凸显教师的地位和作用，在教师讲解之后，引导学生课下梳理和回顾，在下节课中再让学生走上讲台，分享问题整理过程中的感悟和体会，实现问题解决的再提升.

2.2 一题多变与一题多解

一题多解是数学习题课、复习课教学中经常采用的一种方式.上述课例中，执教教师针对同一个问题，引导学生从不同的角度思考，对同一个问题给出了不同的解法.难能可贵的是，执教教师能够在给出不同的解法后引导学生体会不同解法之间的区别和联系，不同解法之间的难易，哪种解法更适合自己，等等，将学生的思维引向深处，实现课堂教学的有效性.

一题多变是在实现一题多解后对习题课、复习课教学的进一步要求.比如，上述课例中，执教教师通过强化条件、弱化条件、交换条件和结论、改变图形等多种方式实现对同一个问题的不同变式，使学生的视野更加开阔，架起不同问题之间的桥梁，加深学生的认识，实现多角度、多层次看待问题，进而实现学生解题素养的提升.

2.3 以题带点与以点聚题

复习课教学中，针对知识复习的常见方法有以题带点和以点聚题两种.

以题带点是指在复习课的教学中通过相关题目的复习，总结出解题过程中所用的知识点，实现对知识的复习和总结；以点聚题则是先复习相关知识点，然后出示典型练习引导学生进行巩固和梳理，进而实现对知识的复习和总结.

上述课例中，执教教师选择了以点聚题的方式，首先回顾每个考点对应的知识点，然后针对每个知识点给出典型的练习，最后引导学生进行回顾和梳理，在专题复习新授课中收到了良好的效果.但是，笔者认为，以点聚题多见于专题复习新授课，而以题带点则更多地见于中考复习课，可见两种复习方式针对的是两种不同的复习课的课型，应该引起一线教师的思考.

2.4 基本题型与基本图形

数学教学离不开解题，在教学中，教师应该引导学生对基本题型进行归纳和总结，上述课例中，执教教师以考点的形式进行呈现；几何教学离不开基本图形的“抽离”和总结，比如，上述课例中出现的“垂径定理”的基本图形等，教师应该引导学生发现和梳理，进而提高解题效率，体现解题教学的高效.