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如何灵活应用垂径定理及其推论

2014-10-29杭静

初中生世界·九年级 2014年10期
关键词:过点圆心勾股定理

杭静

垂径定理及其推论,主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系,其内容虽然简单,但要灵活应用却非易事.现举例说明.

1. 利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆心(周)角

例1 (2013·广西梧州)如图1,AB是☉O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC=70°,则∠ABD=( ).

A. 20° B. 46°

C. 55° D. 70°

【解析】连接OD,∵AB垂直于弦CD,∴=,∠BOD=∠BOC=70°;∵OB=OD,∴∠ABD=×(180°-70°)=55°,故选C.

【点评】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换,怎么转换需要根据题目的要求来确定.

2. 利用垂径垂直平分弦,构成等线段

例2 (2013·湖北黄石)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为( ).

A. B.

C. D.

【解析】过点C作CF⊥AD,垂足为点F,因为∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则AB=5;因为AC×BC=AB×CF,所以CF=;因为AC=3,在Rt△ACF中,利用勾股定理可求得:AF=,因为AF=FD,所以AD=,故选择C.

【点评】在有关圆的计算问题中,当求圆的一条弦的长时,常常要考虑垂径定理的应用.本题考查了垂径定理的应用、面积法、勾股定理等知识,能正确地作出辅助线是解决此题的关键.

3. 利用垂径垂直弦,构造特殊四边形

例3 (2013·四川自贡)如图3,在平面直角坐标系中,☉A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B、C两点,已知B(8,0),C(0,6),则☉A的半径为( ).

A. 3 B. 4

C. 5 D. 8

【解析】过点A作AD⊥x轴、AE⊥y轴,垂足分别为D、E. ∵B(8,0),C(0,6),∴OB=8,OC=6,∴OD=4,OE=3,∵∠BOC=∠ADO=∠AEO=90°,∴四边形ADOE是矩形,∴AD=OE=3,∴AO===5. 故选C.

【点评】本题考查平面直角坐标系、垂径定理、矩形的判定等知识.找出直径或半径是解答本题的关键.

4. 利用垂径垂直弦,构造特殊三角形

例4 ( 2013·黑龙江牡丹江)在半径为13的☉O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为( ).

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

【解析】连接OA,OC. 过O作直线EF⊥CD于E,交AB于F,则EF⊥AB. ∵OF⊥AB,OE⊥CD,∴AF=AB=12,CE=CD. 在 Rt△AOF中,根据勾股定理,得OF==5. ①当AB和CD在圆心的两侧时,如图4,则OE=EF-OF=2,在Rt△COE中,据勾股定理,得CE==,CD=2;②当AB和CD在圆心的同侧时,如图5,则OE=EF+OF=12,在Rt△COE中,据勾股定理,得CE==5,CD=10. 则CD的长为10或2. 选D.

【点评】本题考查垂径定理和勾股定理,作辅助线构造应用垂径定理和勾股定理的基本图形是关键. 由于本题没有画出图形,所以两弦的位置有两种可能:两弦在圆心的同侧或两弦在圆心的两侧.

小试身手

1. AB是☉O的弦,OC⊥AB于C,若AB=2 cm,OC=1 cm,则☉O的半径长为______ cm.

2. 圆的半径为13 cm,两弦AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则两弦AB,CD的距离是( ).

A. 7 cm B. 17 cm

C. 12 cm D. 7 cm或17 cm

(作者单位:江苏省兴化市第一中学)

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