培养解题思维 解决数学难题

苏兴震

[摘  要] 解题教学在任何一门学科教学中都是关键一环，既可以检测学生对知识的掌握与运用情况，还能够为后续教学指明改进的方向，帮助他们进一步巩固知识. 在初中数学教学中，随着知识难度与深度的提升，相应地学生遇到的难题也是越来越多. 面对这一现状，教师需着重培养他们的解题思维，使其主动探究解题思路，不断提升自身的解题技巧与思维水平.

[关键词] 解题思维;数学难题;批判思维;逆向思维

为了培养学生的数学解题思维，更好地解决数学难题，文章从以下五个方面进行阐述.

借助一题多解优势，培养学生灵活思维

现阶段，初中数学试题的设计思路越来越注重对学生灵活性思维的考查，题目较为新颖，难度也较大，可以通过多种不同的方法来解题. 学生只有透彻掌握知识，才能灵活运用知识来解题. 初中数学教师可以借助一题多解的优势展开解题训练，鼓励学生尽量想出更多的解题方法，使其体会到数学知识的灵活性，通过培养他们的灵活思维顺利解决数学难题.

例1  如图1，在△ABC中，点D位于边AC上，且CD的长度是AD的2倍，E为BD的中点，将AE延长同BC交于点F，求BF ∶ FC的值. 本道题具有多种解答方法，教师可要求学生探讨出多种不同的解题方法，如：（1）使用三角形中平行线段成比例的特性解题，过点D作DN∥AF，N为BC上的一点，如图2所示，由于点E是BD的中点，依据三角形中位线定理判断出点F是BN的中点，結合平行线的特性得出CN ∶ NF=CD ∶ DA=2 ∶ 1，则CN=2FN=2FB，推出BF ∶ FC=1 ∶ 3;（2）利用相似三角形的特性解题，过点A作BC的平行线，同BD的延长线相交于点M，如图3，得到两组相似三角形，即△ADM∽△CDB，△AME∽△FBE，则AM ∶ BC=AD ∶ DC=DM ∶ BD=1 ∶ 2，AM ∶ BF=ME ∶ BE=2 ∶ 1，2AM=CB，据此推出BF ∶ CB=1 ∶ 4，BF ∶ FC=1 ∶ 3.

针对上述案例，在求解三角形题目中线段长度的比值时，通常从平行线和相似三角形两个方面切入，通过一题多解培养学生的灵活性解题思维，促使他们不再惧怕数学难题.

精心设计一题多变，培养学生批判思维

一题多变是指转变题目形式，利用一道常规试题衍生出更多同类型的题目，本质内容没有发生变化. 在初中数学解题训练中，面对一些难度较大的题目，学生往往会因思维能力不强、缺乏敏捷度等因素，运用机械不变的解题步骤，这样很难求出正确答案. 教师可精心设计一题多变类题目，使学生深入思考与分析，找到问题的本质，培养他们的批判性思维.

例2  已知一次函数y=（3-a）x-2a+18，求a的取值范围. 分析：虽然本题中一次项系数和常数均是一个带a的未知式，但是难度一般，学生可根据一次函数的定义判断出x前面的系数不能是0，也就是3-a≠0，a≠3. 之后，教师可以设计变式训练，适当提升题目的难度系数，如：假如该一次函数的图像经过原点，那么a的值是什么？学生通过分析知道，此时需满足x=0时y=0的条件，代入原函数表达式能够求出a=9. 或者进行以下变换：假如函数图像在y轴上的交点位于x轴的下方，试求出a的取值范围. 目的是考查学生对函数图像的想象能力及对函数定义的理解情况，本质上是-2a+18<0，求得a>9. 随后教师还可以继续变换：当x增大时，y在减小，a的取值范围是什么？由此继续培养他们的思维.

如此，通过一题多变逐步提升训练难度，有助于学生掌握函数本质，使其对函数系数、斜率与图像等由浅及深地进行理解，推动他们批判性解题思维的发展，使思维变得更为灵敏.

善于运用一题多思，培养学生缜密思维

数学解题一般对学生的逻辑思维能力与推理能力要求较高，在初中数学解题教学中同样如此，特别是难度较大的题目，学生仅靠现有的解题思维很难应对. 初中数学教师在解题教学中可使用同步解题或者对比解题等方式，引领学生在解题中多加思考，使其深入发掘题目中的隐性条件，归纳做题规律，由此提高解题速度与准确度，培养他们的缜密性思维.

例3  （1）过点A（0，1）作出二次函数y=x2图像的切线，求出切线的函数方程;（2）已知抛物线y=x2和y=kx+1的图像是相切的，求k的值;（3）已知直线l和抛物线y=x2有一个公共点，而且点A（0，1）是位于直线l上的一点，求直线l的函数表达式. 解析：这几道题均是对二次函数图像——抛物线的切线相关知识的考查，教师可以引领学生先思考前两道题目，这两道题难度一般，通过分析与对比找出共同点，再分析第三道题，使其能够从不同视角思考与探究，帮助他们形成逻辑性的解题思维. 之后，教师组织学生共同对题目的解题思路进行分析，使其通过自主探究发现自己在解题过程中容易出现的失误与不足，提高他们分析与解决问题的能力，同时初步掌握解答抛物线切线类难题的规律.

在上述案例中，教师提醒学生在解题过程中要多思考、勤于思考，不仅思考单道题目的解题方法与步骤，还要思考题目之间的内在联系，促使他们在解题中思维变得越来越缜密.

摆脱常规解题模式，培养学生逆向思维

在初中数学解题教学中，不少难题运用常规解题方法很难处理，即使能够解答，过程也较为烦琐，极易出现错误. 此时，初中数学教师应该鼓励学生摆脱常规解题模式的束缚与局限性，使其从问题的结论或反方向展开思考，即运用逆向思维重新分析题目，让学生突破固有的思维定式，最终培养与提升他们的逆向思维能力，让他们能够准确、高效地解答难题.

例4  试证明无论k取什么值，关于x的方程x2+（k+2）x+2k-1=0有两个不相等的实数根均成立. 分析：这样的题目对于初中生来说难度较大，如果直接推导求解更是难以处理，教师可以启迪他们思考，尝试运用逆向思维思考与分析，使其结合反证法从题干的反方向切入，回归已知条件中，由此能得到判别式“k2-4k+8”，通过配方法的应用进而推导出（k-2）2+4，所以k的取值对判别式的正负号没有影响，即无论k取什么值，关于x的方程x2+（k+2）x+2k-1=0都有两个不相等的实数根. 再如：解答一元二次方程x2+4x=5时，学生使用正向思维求出两个解分别是x1=1，x2=-5，随后教师引领学生采用逆向思维对方程的解进行反推，即依据逆向思维反推x1=1，x2=-5的一元二次方程.

对于上述案例，教师指导学生从题目的反向角度展开思考，使其摆脱原有解题模式的局限性，通过逆向推理找到更为简便的解题思路与方法，同时培养他们的逆向解题思维能力.

深入研究题目内容，活化学生解题思维

在初中数学解题训练中，不少学生认为处理数量关系问题时，一定要通过数量计算获得结果，而处理图形类题目时，则只需研究图形就行，以至于他们的思维较为僵硬，极易陷入困境当中. 对此，初中数学教师需鼓励学生深入研究题目内容，明确已知条件、未知条件，及条件之间的关系，进一步活化他们的解题思维，使其找到更为简便且准确的解题方法.

例5  现有一个△ABC，其中∠B是∠C的2倍，∠BAC的角平分线和BC相交于点D，请证明AB+BD=AC. 解析：当遇到此类数学证明题时，虽然题干长度一般，但蕴含的信息却不少，为更好地理清解题思路，学生第一步要做的就是把题目中所有可以利用的条件与信息找出来加以整理与分析，增强自身的思维活力，如：题目中提到三角形的角平分线，由此联想到等腰三角形的相关内容，根据等腰三角形的有关性质解题，证明线段相等，解决题目中的问题. 具体解答方法如下：学生可以延长CB至点F，使得BF与AB相等，再把AF连接起来，如图4所示，从而得到△BAF是一个等腰三角形，再证明△AFC也是等腰三角形，最后证明△FAD同样是一个等腰三角形，最终顺利推导出题目中要证明的结论.

上述案例中，学生在正式解题之前，认真分析题目中的各个条件与信息，理清彼此间的关系，激活个人解题思维，并根据整理、加工的信息确定解题思路，从而加快解题速度.

在初中数学解题教学活动中，教师需充分意识到培养学生解题思维的重要性与必要性，结合数学知识的特色与规律制定解题教学计划，并通过科学训练培养他们思维的灵活性、批判性、缜密性和逆向性，使其掌握更多解题技巧，逐步提高解题水平.