妙用“问题串”破难点 巧借“情境”提素养

张洁 刘毅

[摘  要] 数学教学不能脱离问题，提出问题需要抽丝剥茧.以相似图形为例，研究情境+问题串的教学模式，呈现给学生新颖的数学信息，用问题串突破教学难点.学生学以致用，举一反三，借助延伸式问题情境提升其数学素养.

[关键词] 学习难点;问题串;情境;核心素养

设计思路

情境+问题串的教学模式是以情境与问题串为主线，通过数学课堂给出的数学信息，引导学生观察、操作、类比、运用、交流.数学思想是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括.教师在教学活动中把自己当作学生活动的参与者，在活动中借助延伸式问题串提升学生的数学思想，层层突破数学学习的难点.例如，“相似多边形”的验证，借助网格中的三角形、四边形突破证明的难点，举一反三，提升学生的直观想象与数学抽象素养.

初中生有比较强烈的自我发展的意识，对“有挑战性”的任务很感兴趣.以情境+问题串的教学模式开展教学，教师应当设计指向学生数学核心素养的课堂教学设计.例如：在活动中设问“相似图形有什么特征？”“怎样验证两个多边形是相似多边形呢？”学生在操作活动中互相交流，开阔视野，循序渐进，进而发现相似图形与相似多边形的本质特征.

内容解读

1. 学情分析

九年级学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，如平移、轴对称、旋转等，全等是图形间的一种关系，相似也是图形间的一种关系.一方面，研究相似变换的性质与判定比全等更具有一般性，相似是全等变换基础上的拓展;另一方面，又为学习“相似三角形、高中阶段的图形与空间”等知识奠定了基础，是进一步研究几何图形的工具性内容.本课例尝试从实际生活到直观想象，再从直观想象到数学抽象，进而提升学生的数学抽象能力，并对学生后续学习几何问题起到了较强的借鉴作用.

2. 学习目标

（1）通过具体实例，认识图形的相似，了解形状相同的图形是相似的图形，经历探索相似多边形特征的过程.

（2）体会了数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般的辩证关系，提高了观察、操作、交流、类比、归纳等方面的能力.

3. 学习重点

九年级学生已经具备了一定的逻辑思维能力，但数学思想方法还不够熟练.在与他人合作和探索过程中，学会在具体的情境中从数学的角度发现问题，并能针对提出的问题进行反思，勇于质疑，突破难点.

教学流程

笔者从实际问题出发，创设有深度的数学课堂教学，结合“相似图形”课例，谈谈自己的实践认识.

1. 观察：以图激趣，引入新课

环节1：建构图形概念

教学设计时，笔者以激发学生学习兴趣为起点，让学生对图片有了初步的感知，并设计延伸式问题串激发学生的数学抽象思维.新课伊始，师生共同观察三幅动画，三组图片播放前大小完全相同.分三次播放三幅图片，图1和图2中右图画面经过缩小变化;图3中右图画面经过放大变化.通过观察，让学生对新鲜事物产生好奇，由此激发起挑战欲望.此时，教师出示放大与缩小后的所有图片.

问题1：下列各组图形有什么共同的特征？

抛开图片的内容，教师带领学生研究图形的大小关系发现，三组图中一幅是把另一幅图形按比例放大或者缩小得到的.

教学分析：生活中的图片对激发学生的学习兴趣起到了重要的作用.这里在创设情境时，引导学生从熟悉的图片中找出共同的特征，通过观察类比得出图片中的共同特征.学生对图片中反映的信息做出归纳总结，进而引出相似形的概念.

2. 操作：依托网格，直观想象

笔者根据学生所得出的初步结论，出示本节课相似形的概念：形状相同的图形叫相似形.通过相似形的概念，笔者从生活中的图片过渡到数学中的相似形：相似多边形.从相似形的问题延伸出相似多边形，相似多边形中含有多种多边形，笔者从特殊的三角形、特殊的正方形两个并列的问题出发，得出延伸式问题串，如图4所示.

环节2：网格之形延伸

问题2：在数学中，两个多边形具有怎样的特征才能说它们是“形状相同”，称为相似多边形？

笔者根据相似形的概念提出相似多边形的问题，并从两个正三角形入手，延伸得出问题3中的边和角的数量关系.

问题3：如图5，两个正三角形“形状相同”，它们的边和角有怎样的数量关系？

从正三角形出发，学生异口同声地回答出正三角形的各边成比例，各角相等的结论.

那么对于普通的三角形是否也具有类似的结论呢？笔者在黑板上展示提前准备好的两个一般三角形（这两个三角形并不相似），此时，提问：这两个三角形相似吗？几位学生立即给出了相似的结论，理由是这两个三角形观察得出各角相等，各边成比例.

此时，笔者请一位学生上台验证他所观察到的结论，正如预设，学生将两个三角形各角重叠一起，很惊讶地发现各角不相等！笔者引导学生发现，两个三角形相似不能由观察直接得出结论，必须要有严密的验证过程.

问题4：如图6，两个三角形“形状相同”吗？它们的边和角有怎样的数量关系？

除了动手操作，教师出示问题串引导学生学会用科学的眼光看问题，证明观察的现象准确无误.学生通过小组活动，很快得出两个三角形各边成比例，各角相等，它们是相似三角形.

教学分析：延伸式问题串的设计，学生从正三角形出发，仔细观察，并结合问题4的证明，验证了正三角形及一般三角形的相似關系.整个过程中，学生不仅学到新知识，更重要的是还学会用科学、求真的眼光看待问题.

3. 延伸：数学抽象，逻辑推理

教师根据相似三角形的概念延伸出相似四边形的问题，并从两个正方形入手，得出问题5中的边和角的数量关系.

问题5：如图7，两个正方形“形状相同”，它们的边和角有怎样的数量关系？

问题6：如图8，两个四边形“形状相同”，它们的边和角有怎样的数量关系？

本问题串类比于相似三角形，从正方形出发，学生得出正方形的各边成比例、各角相等的结论.对于普通的四边形，通过学生的小组讨论操作，也得出类似的结论：这两个四边形各角相等，各边成比例.

此时，在延伸式问题串的引导下，教师给出相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们形状相同，称为相似多边形.两个三角形相似，记作△ABC∽△A′B′C′.对于相似多边形的知识点，学生通过教师所提出的问题串引导，类比相似三角形的概念，验证推导相似四边形、相似多边形的概念.

教学分析：通过类比验证，小组合作活动，学生思考的积极性不断增加，学生在课堂上生成的问题越来越多，这正是学生积极参与的结果.教师利用刚才总结的概念引导学生不断深入学习相似图形，为学生数学抽象核心素养的发展创造条件.

4. 运用：学以致用，举一反三

本节课设计新颖的信息，引导学生不断深入学习相似图形，在探究相似多边形的定义之后，笔者设计如下应用环节.

环节3：培养高阶思维

问题7：以下图形是相似四边形吗？为什么？

学生比较容易利用相似多边形的定义辨别两组图是否为相似四边形.通过观察、思考，有学生提出，可以根据相似多边形的定义，两组图都不是相似四边形，（1）中各边不成比例，（2）中各角不相等.

问题8：如图11，△ABC，D，E分别是AB，AC的中点.（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？（2）取BC的中点F，连接DF，EF，求证：△DEF∽△ABC.

延伸式学习是在知识的生成、思维上下功夫.教师通过数学课堂给出的数学信息引导学生自主观察，引发学生二次思考.学生根据问题7和问题8的展现，很快得出问题8的证明方法，这体现了学生的数学抽象素养不断提升.

教学分析：通过此延伸式问题串的形式，激发学生二次思考.根据相似多边形的猜想—验证，学以致用，举一反三.学生的知识积累和认识由量变到质变，教师在适当的时候提出恰当的问题串，突破教学重难点.

5. 交流：探究本质，提升素养

环节4：提升核心素养

学生学会了举一反三，探究了相似多边形的本质，教师借机提问，以提升学生的数学抽象能力与素养.

问题9：你能画出相似三角形、相似四边形、相似五边形吗？

学生通过独立思考，回顾本节课所学的新知识点，学以致用，画出相似多边形，笔者再次给出学生所出现的典型错误，如图12.对于此问题的出现，学生分析其错误的原因，并给出正确的结论，如图13.

教學分析：教师在适当的时机提出问题，学生在探究中顿悟，不断探究，认真思考，得出结论.学生始终处于主动地位，通过独立思考和小组合作等学习方式完成学习任务，不断成长.

教学感悟

1. 不愤不启，不悱不发

教师在相似图形的课例中，以学生为中心，让学生在学习过程中自始至终处于主动地位，自主提出问题、思考问题，让学生主动去发现、去探索，教师只是在于指导促进.恰当运用问题串引导学生循序渐进地学习相似图形以及相似图形的验证过程，符合学生的认知规律.同时本课例也说明知识的积累和认识由量变到质变的飞跃，须教师恰到好处的点拨.本课例教学过程，教师展示图形关系示意图（如图14），让学生学以致用，举一隅而三隅反.

2. 学而不厌，诲人不倦

孔子言：“默而识之，学而不厌，诲人不倦，何有于我哉！”即“把所学的知识默默地记下来，不断学习而不厌烦，教导别人而不感到疲倦，对我来说，还有什么遗憾呢？”作为教育者而言，在教授知识的同时，自己也在不断学习，不断完善提高.教师是学生学习的促进者、组织者和指导者，教的本质在于引导.教师的主导作用在于启迪学生思维，引导思路，发展智力.教师在教学设计时，应当给出恰当的情境与问题串，不断启迪学生思维能力.在教学中应当根据学生每节课的学习情况进行自我反思，不断完善自我教学能力.

3. 学以致用，举一反三

“君子知至学之难易，而知其美恶，然后能博喻”，教师要凭着过硬的能力和良好的素养科学引导学生进入积极主动的思维，激发学生探究问题意识，激起学生强烈学习兴趣，到达愿学、乐学、急于学的“愤、悱”阶段，教师再“开其意、达其辞”，进行适时适度引导，使学生在探究中顿悟，在顿悟中获取知识、锻炼思维、增长能力、解决难题、愉悦心情、不断成长.本课例即在学生探究中提出恰当的问题串，激发学生深入探究问题，达成学习目标.通过延伸式问题串类比得出相似多边形的概念，学生学以致用，举一隅而三隅反，提升数学核心素养.