问题驱动 经历过程 生成素养

陈成慈

[摘  要] 文章以北师大版九年级数学下册第一章“锐角三角函数”第2课为例，坚持以生为本，关注学生的全程学习经历，以其为准绳尝试进行教学设计与实践，以让学生感受知识的产生、发展过程及应用的过程，进而提升学生的核心素养.

[关键词] 锐角;三角函数;问题;过程;核心素养

教学内容及解析

本节课是北师大版九年级数学下册第一章“锐角三角函数”第2课时的内容. 在此之前学生已学习了直角三角形的相关内容，包括两锐角互余、勾股定理、斜边中线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，学习直角三角形的锐角三角函数，主要研究直角三角形边、角之间的关系，是对直角三角形性质的进一步深化，也是解直角三角形及高中任意角三角函数的基础. 本节课的重点是探究并了解锐角正弦的概念.

教学目标及解析

教学目标：（1）利用相似三角形知识探索正弦的概念;（2）能够根据直角三角形的两边长求任一锐角的正弦值.

目标解析：在正弦概念形成的过程中，让学生经历从特殊到一般的过程，提升学生发现问题、提出问题、分析问题以及解决问题的能力，培养学生的学科核心素养，包括直观想象、数学建模、数学抽象等.

教学问题诊断分析

经过三年的初中数学学习，学生具有一定的探究能力，接受知识的能力比较强，且具有一定的数学应用意识，但要求学生在直角三角形中建立锐角与边比值之间的相互对应关系，还是有一定的困难，因此，本节课的难点在于探索、理解锐角正弦的概念.

教学过程设计

1. 以实际情境引入新知

利用课件展示意大利比萨斜塔的图片，如图1所示，然后以视频的形式让学生了解比萨斜塔历史：比萨斜塔建成于1350年，塔身AB的长为54.5米，我们把塔身中心线与铅垂线AC的夹角，称为倾斜角，当倾斜角为2.2°时，塔顶中心点到铅垂线之间的距离BC为2.1米，几百年过去了，倾斜角增大到5.5°，但是经修复后，倾斜角减少到5°.

问题1：当比萨斜塔的倾斜角为5°时，塔顶中心点到铅垂线之间的距离，即BC的长是多少米？

问题2：将上述问题转化为数学问题：在直角三角形ABC中，已知哪些条件？可以求什么元素？如图2，直角三角形中，已知∠A的度数，如何求出BC的长呢？

设计目的：数学源于生活，基于生活中的实例，抽象出一个数学问题，是数学建模思想的具体体现，其引导学生从特殊出发，探索一般结论，激发了学生发现问题与提出问题的意识[1].

2. 在小组合作交流中探究新知

（1）说一说.

问题1：如图2所示，在直角三角形ABC中，∠C是直角，锐角∠A为30°，斜边AB的长为54.5米，那么直角边BC的长为多少？

问题2：在图2中，如果∠C是直角，锐角∠A为30°，这些条件不变，只将直角三角形ABC的大小变化，那么∠A所对直角边与斜边的比值会发生变化吗？这又说明了什么问题？

设计目的：通过含30°角的直角三角形的性质，说明在直角三角形中，当锐角∠A的大小不变时，它的对边与斜边的比值是一个定值，这样的设计帮助学生在已学知识的基础上建立了新的数学模型，培养了学生的数学语言表达能力与逻辑推理能力.

（2）做一做.

请同学们按下列活动方案，把计算结果填写在表1里.

如图3所示，在射线OA上任取一点C，然后过这一点向OB作垂线，垂足为D，①当∠AOB为45°时，在直角三角形COD中，计算∠COD所对直角边与斜边的比值;②当∠AOB为60°时，在直角三角形COD中，计算∠COD所对直角边与斜边的比值.

问题：同学所画的直角三角形COD大小一样吗？结果一样吗？这说明了什么问题？

设计目的：通过学生的动手操作，利用前面学习的数学知识解决问题，然后引导学生总结，学生会惊奇地发现，当∠COD为45°时，它的对边与斜边的比是一个固定值，当∠COD为60°时，它的对边与斜边的比也是一个固定值，结果与直角三角形COD的大小没有关系.

（3）猜一猜.

教师：由以上三种特殊角的结果，你会做出怎样的猜想呢？

学生：在直角三角形中，当一个锐角的大小固定时，它的形状就固定，它的对边与斜边的比值就固定.

（4）证一证.

①利用数学软件GeoGebra对学生的猜想进行验证;

②如图4所示，△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，∠C和∠C′都是直角，且∠A=∠A′，试说明=.

设计目的：通过数学软件GeoGebra的直观演示，学生可以直观地看到，在直角三角形中，当锐角∠A不变时，它的对边与斜边的比永远不变，以此培养学生直观想象的核心素养. 第②小题证明=，也就是在说明对边与斜边的比值是一个固定值.

3. 总结属性明确定概念

概念：如图5所示，在直角三角形ABC中，∠C为直角，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，用数学符号记作sinA，也就是说sinA==.

问题1：如图6所示，在直角三角形ABC中，∠C为直角，那么sinB等于哪两条边的比？根据图中数据，请计算sinB的结果.

问题2：如图7所示，在三角形ABC中，sinA=正确吗？试添加一个合适的条件，使这个结论成立.

设计目的：通过上述两个问题，让学生进一步明确正弦的概念，其成立的前提条件是在直角三角形中，一个角的正弦就是这个角的对边与斜边的比.

问题3：观察表2，我们发现当∠A为30°，45°，60°时，sinA都有唯一的值与之对应，那么当∠A是其他锐角时，sinA的值是否也是唯一的呢？教师利用数学软件GeoGebra进行演示.

问题4：sinA的值是否随角度的变化而变化呢？在上述问题中，自变量和因变量分别是什么？它们的取值范围呢？

设计目的：用列表及数学软件Geo-Gebra演示的方法，让学生明白锐角∠A与它的正弦值是一一对应的，也就是一种函数关系，进一步提升了学生数学建模的能力与意识;对于自变量与因变量取值范围的确定，加深了学生对正弦实际意义的理解.

4. 典例剖析，变式训练

例题：如图8所示，在直角三角形ABC中，∠C为直角，求∠A、∠B的正弦值.

變式：如图9所示，在直角三角形ABC中，∠C为直角，已知sinA=0.7，AB的长为15，那么直角三角形其他两边长分别是多少？

设计目的：例题体现了数形结合的数学思想，要求学生能运用正弦定义解决问题. 变式要求学生灵活运用正弦定义解决问题，为后面学生的编题自练打下了基础[2].

编题环节：第一步，学生独立编题并解题;第二步，小组内讨论，选出本组内比较有思维含量的试题;第三步，每个小组派代表把好的试题展示在黑板上，由其他同学评价;第四步，同学们任选一题进行训练.

5. 当堂训练，巩固新知

此处略.

设计反思

本节课是锐角三角函数正弦概念课，在进行教学设计时，笔者始终坚持以生为本的原则，关注学生的全程学习经历，即发现问题、提出问题、探究问题、合作交流、猜想验证、证明应用等过程，学生感受了知识的产生、发展、应用的过程，教学实践也证明，教学效果良好.

参考文献：

[1]潘云钊. 关于锐角三角函数数学建模的教学建议[J]. 中学数学教学参考，2020（09）.

[2]邢皓. 变式教学在数学课堂中的应用探究[D]. 上海师范大学，2018.