做中学，折出让学生深度学习的数学课

陈庆来

[摘  要] 文章通过折纸活动引导学生发现A4纸中的长、宽之比，通过“折一折”“想一想”“说一说”“试一试”等活动让学生感悟等腰三角形性质和判定的综合应用，在活动中发展学生的实践操作能力和数学思考能力，丰富学生的数学活动经验，培养学生的应用意识和创新意识，进一步提升学生适应现代生活的数学学科核心素养.

[关键词] 折纸;深度学习;等腰三角形

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中指出：数学教学应根据具体的教学内容，使学生在获得间接经验的同时也能获得直接经验. 折纸活动是与学生生活和数学学习密切联系的一种操作活动，很多学生都有过折纸的生活经验. “用A4纸折等腰三角形”是学完苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第 2章“轴对称图形”后设计的数学实践课，目的是以折纸活动为载体，引导学生在折A4纸等活动中通过实践操作，自主发现A4纸长、宽之间蕴含的数量关系，激发学生的学习动机，让他们经历操作、观察、思考等活动，以促进学生理解所学的与等腰三角形相关的数学知识;借助现代信息技术，深入思考折纸操作的缘由，发展学生的数学推理能力和创新能力，以及适应未来社会发展的终身学习力.

教学流程与设计意图

1. 情境创设，激发兴趣

小明的周末作业中有这样一道题：请用A4纸制作手抄报一份. 你能说一说它为什么叫A4纸吗？

设计意图  通过学生熟悉的A4纸的名称引入课题，能让学生感受到数学与生活之间的联系. 让学生带着问题去学习，更能充分调动学生学习的积极性和主动性，从而激发他们的學习动机.

2. 折纸操作，知识再现

【活动1：目测A4纸长、宽之比，并测量A4纸的长和宽】

师（展示A4纸）：你们知道这种纸的长、宽之比吗？请用直尺测量一下你手中A4纸的长和宽的长度. 如图1，你能计算出的值吗？

生1：AD=29.5 cm，AB=21 cm，所以≈1.405.

生2：AD=29.7 cm，AB=21 cm，所以≈1.414.

设计意图  目测的值，不同的人有不同的答案，为证明自己答案的正确性，学生积极主动地通过“量一量”来证明自己的“眼光”是准确的. 学生测量后发现的值非常接近，期望用另一种方法来验证自己的发现，从而对折纸活动充满期待.

师：A4纸的尺寸，国际上的标准是长297 mm、宽210 mm. 你们通过测量发现≈1.414，这是一个非常接近的数，下面我们通过折纸来探究.

【活动2：用折纸探究A4纸长、宽之比】

步骤1：如图2，过点B 折一个正方形，使点A落在边BC上.

师：你能发现哪些线段相等，哪些角相等？有没有特殊的三角形？

生3：AB=AF=EF=BE，△ABF和△BEF 都是等腰直角三角形.

生4：∠ABF=∠AFB=45°，∠A=∠BEF=90°等.

设计意图  正确的折纸方法、等腰三角形的性质与判定是本节课的知识生长点. “步骤1”能让更多学生熟悉折纸操作，能引导学生学习正确的折叠方法. 特别地，折痕和对应点要用笔描出，做到折过有痕，积累活动实践操作经验. 同时，引导学生用数学语言描述所发现的特殊边、角之间的关系，提升学生的观察推理能力，从而为后续折叠特殊的等腰三角形搭好“脚手架”.

步骤2：在图2的基础上沿∠FBC的平分线BG折叠△BCG，如图3，你们有何发现？

生5：折叠后，我发现BF和BC重合. 如图4，可以得出BF=BC.

师：你们现在能求出的值了吗？

生6：=. 因为△ABF为等腰直角三角形，所以=. 又BF=BC，所以=.

师：将所折的纸展开，连接CF，设BG与EF交于点H，如图5，你能找出哪些等腰三角形？

生7：△ABF、△BEF和△DFG都是等腰直角三角形.

生8：△BFC是等腰三角形，顶角为45°，一个底角为67.5°.

生9：△FGC和△FGH都是等腰三角形.

设计意图  学生通过折叠的方法发现A4纸的长、宽之比为 ∶ 1之后，教师引导他们继续从边、角出发，寻找等腰三角形. 上述教学过程通过发现等腰三角形并说明理由的活动，进一步丰富了学生的数学活动经验.

步骤3：我们把纸张展平，折叠，使AB与DC重合（如图6，其中EF为折痕）. 观察折叠后的图形，你有何发现？

生10：我发现长方形ABEF和长方形DCEF重合，它们的面积都等于A4纸面积的一半.

师：与四边形ABEF一样大的纸张我们称为A5纸. 你能求出图7中的值吗？

生11：因为AB ∶ AD=1 ∶ ，所以AB=AD. 又AF=AD，所以AF∶AB=1 ∶ .

师：你能找出A4纸和A5纸之间的联系和不同吗？

生12：A4纸与A5纸的宽与长之比都为1 ∶ ，但A5纸的面积是A4纸的一半.

师：同学们学习中经常用到的试卷、辅导书等所用纸张的标准是由国际标准化组织的ISO216定义的，主要有A0，A1，A2，A3，A4，A5等种类，每种纸张的长、宽的比值均为，它们还具备的特点是大一级的长是小一级纸的宽度的2倍，两张小一级的纸张并排起来能拼成一张大一级的纸，比如两张A5纸能拼成一张A4纸.

设计意图  了解打印纸的分类标准，并能利用长宽之间、面积之间的数量关系解决图形问题;渗透从特殊到一般的数学思想.

【活动3：小组合作，用手中的A4纸拼成A3，A2，A1，A0大小的纸】

师：我看到有的同学用A4纸拼A3纸的时候，拼成了如图8的图形. 大家认为拼成的图形是A3纸吗？

生13：虽然它的面积是A4纸的2倍，但是这种图形的长和宽之比为2 ∶ 1，所以它不是A3纸，与AD边重合的那种才是A3纸.

设计意图  加深学生对打印纸类型的理解，目的是让学生利用纸张的分类标准和所学知识正确识别纸张所属类别.

3. 总结归纳，学以致用

师：请用如图9的A4纸的一半折顶角为45°的等腰三角形.

生14：因为等腰直角三角形的两个底角均为45°，所以如图10，分别取线段AD，MN的中点E，F，以EG为折痕折叠DE，使点D落在MN上的点D′处，则DE=D′E=AM=EF. 于是∠ED′F=45°. 由AD∥MN，可得∠DEG=∠EGD′，由折叠可得∠DEG=∠D′EG，所以∠D′EG=∠D′GE. 所以D′E=D′G. 所以△D′EG是顶角为45°的等腰三角形.

生15：如图11，将AM沿AG折叠，使点M落在AD上的点M′处，则∠GAM′=45°. 再将AG沿EG折叠，使点A落在GN上的点A′处，则△EA′G是顶角为45°的等腰三角形.

生16：我们小组参考之前A4纸的折叠，如图12，把纸张沿两边中点构成的线段EF折叠，得到两张A6纸. 然后将AM沿MJ折叠，使点A落在MF上的点A′处，连接FJ，则△MJF是顶角为45°的等腰三角形.

生17：我们小组还有一个方法，如图13，先将AM折叠到A′M的位置，再将MJ折叠至与MF重合，展开后便可以得到折痕MO和MP，且MO=MP，∠OMP=45°. 所以△MOP是顶角为45°的等腰三角形.

设计意图  引导学生小组合作，利用所学知识从不同的角度分析问题、解决问题，经历折叠、画图、证明等解决几何问题的一般方法，体验数学学习的自我效能感，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力.

4. 课堂小结

师：这节课你有什么收获？你还有哪些没有解决的问题？

生18：我知道了A型打印纸的分类标准，我感觉数学与生活联系得很密切，我很想知道A型打印纸最大的有多大.

生19：我学到了用折纸、画图等研究等腰三角形的方法. 我从同学们交流的過程中学到了很多不同的折叠方法，我认为折纸不仅有趣，还是打开几何问题的一把钥匙.

生20：今天我们主要是利用折纸活动学习等腰三角形的相关性质，后继是不是要学习等边三角形？

师：本节课同学们的表现非常积极. 大家通过折纸操作、合作交流、自主思考等方式解决了与A4纸折叠有关的问题和等腰三角形的相关问题，课后我们要根据所学知识尝试用A4纸的一半折等边三角形.

设计意图  通过回顾、反思本节课所学的知识，能让学生总结和归纳所学的间接经验与直接经验，完善知识体系，感悟数学思想，进一步提升学生分析问题、解决问题的能力.

教后感悟

本节课以折纸系列活动为主线，引导学生经历了“量一量”“折一折”“想一想”“说一说”“试一试”等活动，这些活动能让学生亲身经历知识产生的过程，体验问题解决方法的多样性，能丰富学生的基本数学活动经验. 基于折纸活动对数学课堂教学的重要作用，在教学中我们应做好以下几点.

1. 折纸活动要找准切入点

良好的开端是成功的一半. 一个好的切入点，能让学生积极参与操作、思考. 对于折纸活动的切入点，我们要根据教材内容和学生已有的知识水平来合理构建，如本课中的“活动1”通过让学生目测A4纸长、宽之比来切入，学生在“说一说”中发现自己的目测结果和别人的结果不同，于是自然地就用“量一量”来证明自己的结论是正确的. 当计算后发现“量一量”的结果接近时，对“活动2”的“折一折”活动就充满了期待，于是积极地参与折纸活动.

2. 折纸活动要找准着力点

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标. 数学活动经验包括实践的经验和思维的经验. 在折纸活动中，我们不仅要注重指导学生的操作，更要注重学生的数学表征能力和数学思想方法的渗透. 我们既要让学生通过“看一看”“折一折”等活动直观观察折痕所形成的边角关系，又要引导学生用数学语言描述操作原理，阐述自己的发现，并能用图形、文字、符号等对知识进行表征. 如本课“活动2”中的等腰三角形的三边之比为1 ∶ 1 ∶ 的原因，折叠后折痕和边长所形成的三角形是等腰三角形的判断依据等，均是这个活动的着力点. 学生能够类比折叠A4纸构建等腰三角形，能把A4纸的一半转变为A6纸，迁移应用新学的知识技能解决问题，对于这些，教师应给予学生积极的评价和肯定，应增强学生的自我效能感，提升他们的探索创新能力，从而提升他们的数学学科素养.

3. 折纸活动要找准借力点

数学折纸活动能让学生在操作过程中体验图形的变化，体悟图形变化过程中点、线、面之间的对应关系. 在折纸活动中，我们发现学生经常会出现这样的困境——他们会忘记图形原来的位置和数量关系，为了更好地帮助学生整体认识变化前后图形之间的关系，我们可以借助几何画板将变化前后的图形呈现给学生，利用多媒体设备对操作过程进行录制，以动画或者视频的形式予以展示. 折纸活动中合理借助现代化设备进行辅助教学，不仅有利于学生理解所学知识，而且对学生熟练掌握数学软件和信息技术的应用有极大的帮助，能进一步提升学生适应未来生活的学习能力和解决问题的能力.