一题一课 生长思维

戴承惠

[摘  要] 选好初始问题，借助“一题一课”的形式逐次展开内容，整体设计优化学生的认知结构，注重变式拓展强化知识关联，建构解决一类问题的方法体系;问题呈现上从封闭到开放，提升学生发现问题、解决问题的能力，帮助学生积累基本活动经验，撬动深度学习，使核心素养的培养落地生根.

[关键词] 一题一课;最值问题;转化思想;深度学习

学情分析

最短路径问题是中考的热点试题，这类试题形式多样，涉及面广，是学生不容易突破的难点. 虽然平时练习、考试中经常出现，但鉴于教材呈现的知识时段不一致（轴对称最值问题、翻折最值问题等），因此相关知识与方法的呈现是零散、孤立的，导致学生不能深入掌握知识的本质. 为此，本专题适合在中考第二轮复习时使用，内容聚焦且有层次，帮助学生完善知识网络、掌握数学内容本质、感悟数学思想和方法，实现由“学会”到“会学”的转变.

复习目标

笔者采用“一题一课”的复习模式，运用联系的、整体的视角将与线段最值有关的典型习题融于一题之中，帮助学生构建知识体系，促使深度学习的真正发生. 具体目标如下：

（1）熟悉最短路径问题的几种模型，掌握问题解决的方法.

（2）体会转化与化归等数学思想和方法，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

（3）帮助学生归纳问题解决的模型，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心.

教学设计

1. 初始问题，蓄势待发

引例：如图1，在Rt△ABC中，AB=6，∠C=30°，∠A=90°，P是斜边BC上的一个动点，求AP的最小值.

变式1：如图2，由点P作PU⊥AB于U，作PV⊥AC于V，求UV的最小值.

功能分析：立足学情，挖掘和整合初始问题，是“一题一课”数学教学设计的起点，也是知识、方法和思维的生长点. 引例主要唤醒学生用“垂线段最短”求最值的方法，变式1的设置让学生感悟几何动态图形的“变”中有“不变”，复杂问题简单化，渗透转化思想. 低起点的问题引入，能激发学生的学习兴趣，也为深度学习的发生积蓄能量.

教学示范：引例问题难度不大，给学生适当的时间，学生容易回答：当AP⊥BC时，AP的值最小. 结合变式1，教师以问题引导学生：（1）当AP⊥BC时，如何求AP的值，你有什么方法？（2）四边形AUPV是什么图形？（3）根据四边形AUPV是矩形，你会联想到什么？（根据矩形的性质，比较容易想到转化求AP的最小值）（4）你能概括这两个模型的特征吗？引导学生概括本质特征——“一动一定型”，动点在直线上，解决策略是垂线段最短.

2. 螺旋变式，高歌猛进

变式2：如图3，已知AN=3，Q是AB上的动点，△AQN沿QN翻折，点A与A′对应，求BA′的最小值.

变式3：如图4，点M是△ABC内一点，且满足∠M=90°，求CM的最小值.

功能分析：“隐圆”问题对学生而言是比较难掌握的问题，往往学生看不到满足动点轨迹的直接条件，解决这类问题需要学生自主探索并发现轨迹，能灵活地用轨迹实现问题的转化. 两个变式，让学生从简单的图形中发现特征，如在变式2、变式3中抓住“AN=A′N”“∠M=90°”始终不变，提炼基本模型，根据“定点定长或定弦定角必有‘隐圆”，联想到此动点的运动轨迹是圓，让学生体验“寻特征—显隐圆—明路径—解最值”的过程.

教学示范：解决这类问题的关键在于，引导学生从“变”的现象中抓住“不变”的本质，从“不变”的本质探索动点运动的规律，进而让“隐圆”现身，帮助学生形成对这类问题研究方法的整体认识. 教师以问题引导学生：（1）上述“隐圆”模型是怎么形成的？你知道依据吗？（2）两个模型之间有没有联系？能否进行归纳总结？（3）你们能概括此类问题的特征吗？通过这三个问题，总结“隐圆”的特征（如图5），提炼问题的本质变式;此类问题也是“一动一定型”，动点在弧上，解决策略是把线段的最值转化到“圆外一点到圆上点”的最值问题，进一步培养学生的转化与化归能力.

变式4：如图6，S为AB的中点，R是BG上的动点，求SR+AR的最小值.

变式5：如图7，BG是∠ABC的平分线，H，L是边AB，BC上的动点，求△HLG的周长的最小值.

功能分析：变式4主要考查“马饮水”模型，此问题是利用轴对称求线段和最小值的经典习题，主要是通过轴对称变换，化同侧为异侧，实现“化折为直”. 变式5从变式4的“两定一动型”变成“两动一定型”，考查了化归思想，属于双轴对称模型，让学生深刻体会轴对称的“桥梁”作用，为探究问题提供“脚手架”，从而实现深度学习的有的放矢.

教学示范：教学中先让学生自主思考、分析条件，学生比较容易想到“马饮水”问题，以直线BG为对称轴，S与S′关于BG对称，则SR+AR=AR+S′R. 显然，当S′，R，A在同一直线上时，AR+RS′最短（如图8）. 变式5是对变式4的拓展引申，引导学生把“两定一动型”转化成“两动一定型”，鼓励学生思考怎么把三条动线段转化到一条线段上，这类问题最终往往会化归到“两点之间，线段最短”（如图9）.

3. 深度探究，挖掘本质

变式6：如图10，H，G，L是△ABC上的三个动点，若∠A=60°，∠B=75°，AC=6，求△HLG的周长的最小值.

功能分析：通过有层次性的问题变式，让学生体会一个简单图形中问题的不断生长，适时将问题一般化，从“两动一定型”拓展到“三动点型”，寻找知识之间的关联、整体化的建构联系，抓住问题本质进行变式，引发学生深度思考，让学生领悟解决线段和最小值问题模型的一般思维模式，真正发挥数学课堂的育人价值.

教学示范：教学过程中，留给学生充足的时间思考，同时引导学生思考如下几个问题：（1）题目要求什么？（2）三条折线段求最值问题，你会联想到什么？这两个问题的目的是让学生认识到“三动点型”，问题的本质还是转化成“马饮水”问题：DH=HL，LG=GE，则D，H，G，E四点共线时，ADE为顶角120°的等腰三角形，即当AL⊥BC时，△HLG的周长最短（如图11）.

4. 自主编题，创新思维

迁移提升：如图12，在Rt△OAB中，点A在直线y=2上运动，在运动中始终保持∠B=30°不变，请你提一个关于线段和最小值的问题.

学生经过小组合作交流，教师总结，最终展示三个拓展.

拓展1：如图12，点A在直线y=2上运动，求OB的最小值.

拓展2：如图13，若D为（0，3），求DB的最小值.

拓展3：如图13，若D为（0，3），求DB+OB的最小值.

功能分析：开放性地设计问题，为学生创造条件和机会，让他们自己构建知识结构，鼓励学生主动参与、积极编题，经历数学知识“再发现”的过程，增强学生发现和提出问题的能力;同时关注学情，把握动态生成，让学生学得数学本质，又学得兴趣盎然，使课堂更加自然、简约、深刻.

教学示范：对于开放性问题，教学时鼓励学生独立思考，然后小组合作讨论，派代表分享小组的编题想法. 教师在过程中要关注学生的问题探究，对于学生所提问题进行适当分类，抓住关键、凸显本质的问题，从而做到收放自如，提高課堂效率. 拓展1中，求OB的最小值，本质上可以转化成OA的最小值，让学生感悟转化思想的巧妙. 拓展2、拓展3中，要去挖掘点B的运动轨迹，引导学生大胆猜想，画图找特殊的三个点，大致判定轨迹是弧或直线，再用参数法确定点B的运动轨迹是直线，进而把问题转化为垂线段最短与“马饮水”问题.

5. 归纳小结，升华主旨

通过本节课学习，值得我们思考的几个问题：（1）同学们，你明白了最短路径问题有哪几种基本模型吗？（2）解决这类问题用到了什么知识，你都清楚了吗？对此你还有什么想法？

功能分析：通过学生回顾总结，梳理解决“最短路径问题”的本质性思路，将解题的经历转化为思维活动经验，从而迁移应用的其他“相关”类型问题的解题模式，淡化解题技巧，注重知识本质，优化思维品质，发展核心素养，这应该是深度学习价值之所在.

教学示范：在教学过程中，教师要善于引导学生总结“最短路径问题”的基本特征，提炼基本方法，感悟数学思想和方法，积极的评价促进学生的思维习惯在反思中不断矫正与提升，实现低阶思维走向高阶思维，形成学生思维发展的深刻性.

设计说明

1. 立足深度的“学”，挖掘初始问题

“初始问题”的发掘和整合，要从学生的认知基础出发，分析学生的知识薄弱点，重新组合教材的典型例题、习题作为“一题”的主要素材，由一个问题驱动生成一节课的全部知识，建构完整的知识和方法体系. 本课以引例出发，用一道题贯穿始终，走出“题海战术”的阴影，追求简约而不简单的思维课堂.

2. 立足深度的“教”，注重问题设计

基于一个初始问题，认真研究并琢磨其本质，通过纵横联系，改变问题条件或结论，置换问题背景，以转化数学思想为主线把孤立的问题串联起来，形成一个有机整体. 通过对一类问题的变式训练，增强学生面对新问题敢于联想已有的知识经验解决新问题的意识，以及解决一类问题的通性通法[1].

3. 立足深度的“思”，促进深度学习

以开放问题为载体，让学生通过深入思考，将积累的基本活动经验迁移到新的问题情境中独立思考，发现问题、提出问题和解决问题，达成对数学本质、思想、方法的领悟，促进学生创造性和发散性思维的发展，促进深度学习.

参考文献：

[1]张文海. “一题一课”：让高三数学复习走向素养落实[J]. 数学通报，2020（07）.