谈最值问题与实际生活

蔡雅

摘 要：数学是一门应用性非常强的学科，数学知识在生活中的应用非常广泛，数学知识可以解决生活中的很多实际问题。比如我们常常遇到的最值问题、最优方案问题等，这些都是最值问题的实际应用。本文将实际生活与最值问题联系起来，在探讨最值问题的同时，进一步明确数学在生活中的巨大作用。

关键词：初中数学；最值问题；生活数学

最值的使用在生活中有很多，比如求两个点之间的最短距离或者两线段和的最小，还有我们平常生活中的利润最大、成本最小等最优方案的问题。这些问题都可以转化成数学问题，然后用数学的方法去解决。下面我们先来看看有关于线段的最值问题：

一、有关线段和的最值问题

有关距离的最值问题有一个简单的问题原型。比如说要在公路上建一个公交车站，在公路旁有两个村子A与B，问车站建在公路上的哪个位置才能使A、B两村去车站的路程最短？这种“确定最短路线”的问题就是最经典的求最值问题。在这里，这个问题有两种情形，第一是两个村子在公路的不同侧，这就转化成了点与点之间的最短距离，也就是两点间的连线。第二是两个村子在公路的同一侧（如图1），那么这就是一个利用轴对称解决极值的经典问题，而解决这个问题的基本方法就是对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置（如图2），计算线路最短长度。此时，这个问题的模型又变成第一种情况，两个村子在公路的不同侧了。

由上面这个简单的例子我们可以归纳出求线段和最小的一般方法：通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长（如图3）。下面我们来看一道这种类型的变式题：

恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路X垂直，如图4建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于两高速公路同侧，AB=50km，A到直线X的距离为10km，B到直线X和Y的距离分别为40km和30km。请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。

分析：这道题目所涉及的四边形的周长的最小值，包括四条线段的和，看起来会比较麻烦，不知道该怎么下手，其实求四边形的周长的最小值，可以把周长分成四部分，先分析其中的两段或三段，把问题拆解成类似原型题目这样的简单问题，再做进一步的分析。比如，可以先看BQ和QP这两段的和的最小值，单独看这两段的话，就变得很简单了，只要根据求两条线段的和的一般方法，就可以解出。同样的方法再分析QP和PA，然后把几条线段综合起来看，这道题就不难解决了。

解析：作点A关于X轴的对称点A′，点B关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。当P、Q在线段A′B′上时，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于C。在Rr△A′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X轴于P，交Y轴于Q。

A′B′==50，而AB=50

∴四边形APQB的周长最小值为：AB+A′B′=50（+1）

总结：有关线段和的最值问题是实际生活中常遇到的问题，解决这类问题的方法就是从最简单的问题原型出发，抓住解决问题的关键，把不在同一直线上的线段转化到同一条直线上。求多条线段的和的最小值就是要先把问题化成几个小问题，把每个小问题解决，就能从整体上理清思路，解决整个问题。

二、有关函数的最值问题

有关函数的最值问题是中考常考的一种题型，也是生活中常用来解决实际问题的一种数学方法。下面我们来看这样一个例子：某蒜薹生产基地收获蒜薹200噸，下表是按批发、零售、冷库储藏后销售三种方式每吨的平均售价及成本价：

若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。

解析：（1）设零售量为x，则批发量为3x，储藏后销售量为200-4x，

则y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根据题意得：200-4x≤80，则x≥30

∵y=-6800x+860000在x范围内单调递减

∴x=30时，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得当零售量为30吨的时候，售完全部蒜薹可获得最大利润656000元。

总结：除了一次函数以外，二次函数也是求最值的重要方法。这种方法用于生活中的很多问题。学习数学就是为了把数学知识运用到生活中，帮助我们解决生活中的问题。因此，我们在学习数学的时候一定要多联系实际，数学和生活并不是两个独立存在的，而是一个紧密联系的结合体。数学的学习能使生活中的问题得到解决，而生活中的问题又是数学知识的原型，是发展数学的重要动力。

最值问题是生活中常遇到的问题，通过数学建模来解决实际问题是数学知识用于实际的重要体现，这也正说明了数学知识的生活实用性，学习数学能为我们将来创造美好的生活发挥应有的作用。

参考文献：

1.傅彪.关于折线段最小值问题的探究.中学数学初中版，2012，8.

2.赵秀琴.初中数学最值问题的解法.考试周刊，2012，44.

3.刘明海.盘点初中数学的最值问题.成才之路，2012，18.

（作者单位：浙江省诸暨市璜山镇中学）