借助快乐“拼搭”建构几何模型，提升核心素养

张志华

[摘  要] “几何学是研究空间关系的数学分支”，在古代，这门数学分支叫“形学”，顾名思义，它的主要研究对象是图形. 对于初中数学而言，几何是该学科的重要组成部分，它研究的主要对象是平面图形. 纵观近几年的中考试卷可以发现，几何问题的相对难度逐年增加，难度的背后是模型思想越来越受到重视.

[关键词] 项目化;几何;初中数学;策略

笔者试想，如果用“拼搭”进行几何模型的项目化教学，是否可以在一定程度上降低几何学习的难度，激发学生的学习兴趣. 对此，笔者在课堂教学中进行了多次尝试与改进，一段时间的实践之后有所收获，下文以苏科版七年级下册《多边形的内角和外角和》第一课时的教学片段为例，就如何用“拼搭”实施几何模型的项目化教学谈谈自己的看法，真正将研究的教学问题目标化、策略化、持续化、实效化，以此达到真正的项目推进！

基本图形：引入教学

低起点、重生成是几何教学的基本理论依据，更是几何模型项目化教学所需的遵循的原则. “拼搭”是以简单的元素按照一定的规则拼接成完整形状模型的过程，因此几何模型教学也需以最基本的几何模型来展开，这样既有益于学生的接受，又能增强学生学好本节课内容的信心.

师（导入）：同学们，黑板上（图1）是个什么图形？

生（齐）：三角形.

师（追问）：你们对这个三角形熟悉吗？请谈谈你对它的理解.

生1：它有三个角和三条边.

生2：三角形分為锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

生3：三角形的三个内角和是180°.

师：你有什么方法验证这个结论吗？

生4：用量角器量.

生5：将三角形纸片的两个角撕下来和第三个角拼在一起，可以拼成一个平角.

生6：也可以不撕纸片，将三个角通过折叠拼到一起合并成一个平角.

教师呈现三角形纸片让生5和生6进行演示.

师：度量、拼合、折叠正是我们小学阶段所学过的验证三角形内角和的方法，但是这三种方法的验证对象都是某一个三角形，存在局限性和操作误差. 为了使这个结论更具说服力，我们需要如何对待这个结论呢？

生（齐声回答）：证明.

设计意图  三角形是初中数学的基本图形之一，很多重要模型都是由三角形变化而来的，因此以最简单的图形引入教学，让学生具备了三角形模型观念，为本节课的教学奠定基础，也为后续模型项目化教学的展开做好铺垫，是核心素养进阶积淀的关键策略之一.

简单拼搭：共同探究

“拼搭”的过程就是几何模型形成的过程，这个过程一定要让学生自己去经历，只有参与其中，才能领悟到图形的变化及模型的生成过程. 几何的教学有时较为抽象，以小组为载体共同探究可以让充分发挥小集体的优势，让学生彼此之间进行相互影响、相互补充，这种优势在几何教学中有着积极的作用.

师：图3和图4是刚才同学们所想出的拼合方法，这两种方法有什么共同点呢？

生1：它们都将三角形的两个角进行移动后和第三个角进行拼接，最终拼成一个平角.

师：你观察得真仔细，那么证明的过程是无法拼接的，我们有什么方法进行移角呢？

生2：可以画图，画出相等的角.

师：这或许是一个好方法，但是怎么去画呢？你能从这个过程中推导出证明的方法吗？

问题：如何证明三角形的内角和为180°？

（完成方式：学生独立思考后小组讨论，小组代表全班交流展示）

展示片段：

组一：如图5，过点C作直线l∥AB，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”将∠A转化为∠1，将∠B转化为∠2，由∠1+∠ACB+∠2=180°可以证出∠A+∠ACB+∠B=180°.

组二：如图6，延长AB，过点B作BM∥AC，将∠C转化为∠1，将∠A转化为∠2也可以证明.

组三：如图7，在AB上取一点D，分别作AC，BC的平行线DF，DE，将∠A转化为∠2、∠B转化为∠1、将∠C转化为∠EDF.

？摇？摇？摇

师：同学们果然都是充满智慧的，想到了过三角形的一个顶点作一边的平行线、过三角形边上的一点作两边的平行线，这些方法最终都可以实现角的转化. 试想，可否作三边的平行线呢？

学生再次进行小组合作探究，教师深入学生引导.

组四：如图8，在三角形的内部任取一点作三边的平行线，可以将∠A转化为∠3、∠B转化为∠1、将∠C转化为∠2.

师（追问）：如果这个点在三角形的外部行不行呢？

生3：在三角形外部也可以，只要不在三角形的边上都可以，如图9，在三角形的外部取一点也可以用同样的方法进行证明.

师：大家的思维真是活跃，这么多方法最终的目的其实是一样的，就是将三角形的角进行移动，将三个角转化为平角. 那么平角是否是证明 180°的唯一方法呢？

学生迟疑……

师：如果我将图5中的直线截去一半，变成射线，如图10，你还能实现180°的证明吗？

生4：根据“两直线平行，同旁内角互补”就可以了.

师（追问）：你的反应真快，在图5中“剪短”辅助线的长度就可以得到另外一种证明方法，那么对于图6你有没有什么想法呢？

生4：将辅助线BD去掉，也可以利用同旁内角得到证明（图11）.

设计意图  三角形内角和的证明是本节课的重点也是难点，从拼接的过程中推导出利用平行线进行移角是由具体到抽象的过程，但实则都是对三角形的角进行“拼搭”. 在该部分内容的推进过程中先让学生进行纸片的拼接，再让学生尝试着画线，以画平行线作为切入点，逐渐变化、层层深入，引导其逐步“拼”出各种图形，在几何直观的基础上让学生归纳出各种解法，引领学生学会学习，促进核心素养的提升.？摇？摇？摇？摇？摇

进阶拼搭：一图多变

“拼搭”图形的过程就是将图形不断进行变化的过程，将两种或以上简单几何模型进行拼搭，融合成新模型是高一层次的拼搭，即几何变式. 一图多变是几何变式常见的表现形式，从拼搭的角度解读几何变式，可以让问题变得更生动，利于学生的接受.

师：三角形的内角和180°得以证明以后就可以作为定理在几何问题中直接使用，同时也可以作为一个三角形模型，即看到三角形就联想到180°.

解决问题：

例：如图12，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.

变式1：如图13，在△ABC中，已知∠B=75°，∠C=65°， AD是的∠BAC的平分线，DE∥AC，求∠ADE的度数.

变式2：如图14，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB.

（1）若∠ACB=50°，∠ABC=60°，请你求出∠D的度数.

（2）当∠A=70°时，请你求出∠D的度数.

（3）当∠A=α时，请你探索∠A和∠D的数量关系.

（完成方式：学生独立思考，学生代表全班交流展示）

？摇由于篇幅原因，学生展示环节省略，以下为题后总结部分的展示片段.

？摇师：上述的问题中，我们主要是围绕着哪个模型展开探究的？

？摇生（齐）：三角形模型.

师（追问）：没错，三个问题都是以三角形模型作为图形的框架，那么图12 是在三角形上拼搭了什么模型呢？

生1：三角形加上角平分线模型.

師：对了，三角形加上角平分线构成了图12的模型，可见图13是在图12的基础上又拼搭上了一条线段，是什么模型呢？

生2：平行线模型.

师：非常准确，三角形+角平分线+平行线构成了图13的模型. 从这个模型中你看到一个特殊的三角形了吗？

生3：△ADE是等腰三角形.

师：你观察得很细致，角平分线+平行线可以构成等腰三角形模型.

师：图14是什么模型？

生（齐）：双角角平分线模型.

设计意图  利用三角形的内角和定理解决几何问题是本节课的另一个教学重点. 这部分首先从最简单的三角形展开，添加一个角的角平分线作为例题，低起点、易于接受，在此基础上再添加一条平行线自然生成变式1，再添加另一个角的角平分线则生成变式2. 三个问题环环相扣、联系紧密，一条线段的拼搭就可以生成一个新的几何模型，可见图形虽简单但容量却丰富，有利于学生思维的发展及几何模型项目化思想的形成，是基于常态教学促进学生核心素养进阶生长的关键.

几何问题千变万化，几何图形变幻无穷，图形可以精简也可以复杂. 从“拼搭”的眼光来看，复杂的图形都是由简单图形变化而来的，几何问题的解答实则就是对复杂图形中简单几何模型的解读. 如此看来，学会“拼搭”就是学会了模型，看懂“拼搭”的过程就是读懂了图形，几何问题由此迎刃而解. 换个角度看几何，快乐“拼搭”，可以让几何学习更简单.