三角函数问题中的数学思想

刘彧彤

摘 要：三角函数在中学课本中内容相对独立，是研究几何现象和周期性现象的基础数学工具，同时三角函数又是6类基本的初等函数之一。三角函数因此同时具有了几何和代数的背景，其研究方法也具备同样的特性，三角恒等式揭示了各三角函数间的内在联系，同时又是掌握三角函数的关键和难点所在。

关键词：三角函数；几何；周期性；初等函数；三角变换

中图分类号：g623文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）11-0077-01

三角函数是对角的度量，研究三角函数可以从三角函数的定义直接出发，但是如果洞悉了三角函数背后的几何，代数，函数，或者不等式等背景，三角函数又蕴含着普遍的严格的数学美感。以下从几个方面来观察三角函数问题。

一、三角函数的周期性性质

单位圆直观的表达了基本三角函数的周期特性，周期性是对函数变化过程的归纳法描述，有助于在研究函数性质时见微知著，对函数做出精确的量化推导。

如，用sinx推导以下函数的周期性：

sinωx；sinx；sin2x

解决这类周期性问题的方法，一是利用基本性质，二是作图。

由于ωx∽x，于是sinωx的周期是sinx的坐标轴变换；而sinx是对sinx的值域变换，不影响其周期，影响的是值域；对于sin2x，我们可以预见到2π必定是其周期，问题的关键是其是否有更短的周期；通过对特殊值点（0，π/2，π，3π/2，2π）作图，易知，2次方函数周期是π，3次方函数周期是2π，对于n次方函数，只需运用函数性质进行降幂即可判断。

二、三角函数的几何背景

我们从直角三角形中这种特殊情形出发，可以得到三角函数的相互转化关系，由此推导到在一般三角形中，这些关系仍然适用，从作图的观点看，三角函数联系了迪卡尔坐标，单位圆，三角形等几何形状，几何性质是研究三角函数的基本出发点。

如，证明arcsinx+arcosx=π/2

可以想见，命题人想表达的是两个角度之间的几何意义，于是在单位圆内，可以通过作图来描述这两个角度，通过平面几何或者解析几何的方法来解决。

在直角三角形中，这个关系明确表达了初直角外另外两锐角的关系；于是α+β=π2。

三、三角函数的代数背景

正弦定理以及余弦定理揭示了三角形中边与角的量化关系，将三角形的角度函数表达成三边的数量，可以将三角函数完全转化为代数问题，在代数的领域解决证明与计算。

如，在ΔABC中，若9a2+9b2=19c2，试求cotCcotA+cotB；

在着手解决这个问题之前，我们观察到题设仅仅给出了边的数量关系，而要寻求的关系是三角函数，两者之间的联系是正弦定理和余弦定理，转化的方向就是表达成关于角的正余弦比例关系；于是有：

cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBsin2CcosC

=abc2a2+b2-c22ab

上式隐含的是三边的比例关系，带入题设条件可求得5/9。

四、三角函数的函数背景

三角函数中的万能函数，以及正余弦等函数之间的转化，可以将因变量的数量减少，通过代换，三角函数也可以是纯粹的条件限制下的函数问题，适用函数的各种分析方法。

如，f（x）=sin4x-sinxcosx+cos4x的值域

观察这个问题后，首先要把幂降下来，然后寻求将三角函数转化为单个变量：f（x）=1-12sin2x-12sin22x

从上式的形式来看，关键问题已经解决了，只要把sin2x当作自变量，该函数可以在一元二次函数的范畴解决。

五、三角函数的不等式背景

基本的三角函数大部分属于有界函数，其取值在某闭合区间内，通过放缩等不等式技巧，可以对三角函数进行值域估计，不等式证明等。

如，证明：

六、三角函数综合问题

找出所有满足14≤sinπn≤13的正整数解；此题的背景是sinx在某≤π2区间内的单调性；引入函数sinx，则x∈（0，π6）时，函数通过放缩，有如下关系：3πx

于是我们观察左右界有：sinπ13<π13<14；sinπ9>3ππ9>13；

于是我们知道，10，11，12是满足不等式关系的正整数。

（作者单位：郫县一中）

参考文献：

[1]钮兆岭.让概念教学变得更自然些——“三角函数的周期性”案例分析[J].中国数学教育，2011（10）：13-15.

[2]程新展.数学概念教学的十种常用策略[J].中国数学教育，2010（8）：13-14.

[3]单墫.评2012年全国高中数学联赛试题[J].中等数学，2012（12）：12-13.