APP下载

三角函数问题中的数学思想

2016-12-19刘彧彤

亚太教育 2016年33期
关键词:几何三角函数周期性

刘彧彤

摘 要:三角函数在中学课本中内容相对独立,是研究几何现象和周期性现象的基础数学工具,同时三角函数又是6类基本的初等函数之一。三角函数因此同时具有了几何和代数的背景,其研究方法也具备同样的特性,三角恒等式揭示了各三角函数间的内在联系,同时又是掌握三角函数的关键和难点所在。

关键词:三角函数;几何;周期性;初等函数;三角变换

中图分类号:g623文献标志码:A文章编号:2095-9214(2016)11-0077-01

三角函数是对角的度量,研究三角函数可以从三角函数的定义直接出发,但是如果洞悉了三角函数背后的几何,代数,函数,或者不等式等背景,三角函数又蕴含着普遍的严格的数学美感。以下从几个方面来观察三角函数问题。

一、三角函数的周期性性质

单位圆直观的表达了基本三角函数的周期特性,周期性是对函数变化过程的归纳法描述,有助于在研究函数性质时见微知著,对函数做出精确的量化推导。

如,用sinx推导以下函数的周期性:

sinωx;sinx;sin2x

解决这类周期性问题的方法,一是利用基本性质,二是作图。

由于ωx∽x,于是sinωx的周期是sinx的坐标轴变换;而sinx是对sinx的值域变换,不影响其周期,影响的是值域;对于sin2x,我们可以预见到2π必定是其周期,问题的关键是其是否有更短的周期;通过对特殊值点(0,π/2,π,3π/2,2π)作图,易知,2次方函数周期是π,3次方函数周期是2π,对于n次方函数,只需运用函数性质进行降幂即可判断。

二、三角函数的几何背景

我们从直角三角形中这种特殊情形出发,可以得到三角函数的相互转化关系,由此推导到在一般三角形中,这些关系仍然适用,从作图的观点看,三角函数联系了迪卡尔坐标,单位圆,三角形等几何形状,几何性质是研究三角函数的基本出发点。

如,证明arcsinx+arcosx=π/2

可以想见,命题人想表达的是两个角度之间的几何意义,于是在单位圆内,可以通过作图来描述这两个角度,通过平面几何或者解析几何的方法来解决。

在直角三角形中,这个关系明确表达了初直角外另外两锐角的关系;于是α+β=π2。

三、三角函数的代数背景

正弦定理以及余弦定理揭示了三角形中边与角的量化关系,将三角形的角度函数表达成三边的数量,可以将三角函数完全转化为代数问题,在代数的领域解决证明与计算。

如,在ΔABC中,若9a2+9b2=19c2,试求cotCcotA+cotB;

在着手解决这个问题之前,我们观察到题设仅仅给出了边的数量关系,而要寻求的关系是三角函数,两者之间的联系是正弦定理和余弦定理,转化的方向就是表达成关于角的正余弦比例关系;于是有:

cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBsin2CcosC

=abc2a2+b2-c22ab

上式隐含的是三边的比例关系,带入题设条件可求得5/9。

四、三角函数的函数背景

三角函数中的万能函数,以及正余弦等函数之间的转化,可以将因变量的数量减少,通过代换,三角函数也可以是纯粹的条件限制下的函数问题,适用函数的各种分析方法。

如,f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x的值域

观察这个问题后,首先要把幂降下来,然后寻求将三角函数转化为单个变量:f(x)=1-12sin2x-12sin22x

从上式的形式来看,关键问题已经解决了,只要把sin2x当作自变量,该函数可以在一元二次函数的范畴解决。

五、三角函数的不等式背景

基本的三角函数大部分属于有界函数,其取值在某闭合区间内,通过放缩等不等式技巧,可以对三角函数进行值域估计,不等式证明等。

如,证明:

六、三角函数综合问题

找出所有满足14≤sinπn≤13的正整数解;此题的背景是sinx在某≤π2区间内的单调性;引入函数sinx,则x∈(0,π6)时,函数通过放缩,有如下关系:3πx

于是我们观察左右界有:sinπ13<π13<14;sinπ9>3ππ9>13;

于是我们知道,10,11,12是满足不等式关系的正整数。

(作者单位:郫县一中)

参考文献:

[1]钮兆岭.让概念教学变得更自然些——“三角函数的周期性”案例分析[J].中国数学教育,2011(10):13-15.

[2]程新展.数学概念教学的十种常用策略[J].中国数学教育,2010(8):13-14.

[3]单墫.评2012年全国高中数学联赛试题[J].中等数学,2012(12):12-13.

猜你喜欢

几何三角函数周期性
数列中的周期性和模周期性
一类整数递推数列的周期性
现代油画构成研究
高中数学教学方法略谈
提高农村学生学习几何的能力探索
略谈高中数学三角函数学习
三角函数最值问题
基于扩频码周期性的单通道直扩通信半盲分离抗干扰算法
CPSIA周期性测试要求开始实施