中学数学教学思想和方法研究

[摘要]数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识.笔者认为，目前应予以重视的数学方法有：化归法、数学模型法、数形结合法、方程法、函数法等.

[关键词]初中数学;数学思想;教学研究

作者简介：张涵（1981），硕士研究生，中学高级教师，从事中学数学教学工作.

数学思想和方法是数学的灵魂，是数学的本质所在.教学研究是培养“学生终身学习”和“可持续发展”的必由之路.只有把二者有机地结合起来，才能培养出适应未来社会需要的具有高层次文化素养的合格人才.

转变传统的课堂教学观念，重视数学思想和方法的综合渗透美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”.数学思想和方法是数学学科一般原理的重要组成部分.当学生掌握了一些数学思想和方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了.下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，即使新知识能够较顺利地纳人学生已有的认知结构中去.学生学习了数学思想和方法就能够更好地理解和掌握数学内容.现代数学教育强调学习数学不仅仅是获得知识与技巧，而是在探究知识与技巧的过程中掌握数学思想和方法，用数学思想和方式去思考和认识客观事物.

中学数学中的主要数学思想和方法

在教学内容的选择上，笔者一直奉行“精简实用”的原则，大胆地抛弃一些烦琐无意义的知识，在一些值得花时间的内容上用足功夫，使得一些策略性和原理性的东西得到充分的理解，进而使学生能够有充足的时间进行充分的探究去体会其中蕴含的数学思想和方法.所以，针对教学内容的不同特点，选择恰当的探究方式才能够充分体现其特有的思想方法和探究能力.下面结合教学内容，谈一下笔者的做法和体会.

1.运用“数学化归思想和方法”，使学生形成良好的认知结构

学生的认知结构是从所接受的知识转化而来的.在转化过程中，都是以学生原有的认知结构为基础的，这其中数学方法起着重要的作用.例如，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0），从学生的认知角度来讲，这是一个同化的过程，而这个同化过程是否顺利，与学生对配方法的理解和掌握有着极为密切的关系.为此，在课堂教学中，对待这一新的问题，笔者引导学生首先回顾形如x=a（o》0）的解法的根本依据，然后引导学生将ax2+bx+c=0（a=0）这类方程与已经解决的形如x2=a（o》0）的方程进行比较.在比较的过程中，学生发现可以通过配方将方程ar+bx+c=0（a=0）化成x2=a（o》0）这种形式，进而可解.这其中就是运用已有的开平方法和二次三项式的配方的知识点，将未知的问题转化为已有的知识来解的化归的数学思想和方法.再比如，p为何值时，不等式0≤x2+px+5≤1恰好有一个解？引导学生分析：本题显然很抽象，若单纯从代数不等式的解法去考虑，则显得较繁.我们把抽象的代数不等式的解法转化、归结为具体的几何图形来考虑，可知y=x2+px+5是一条开口向上的抛物线，而1是平行于x轴的直线，综合考察这条抛物线的顶点与这条直线的位置关系，本题的解法就明朗了.这种方法在许多方面有着广泛的应用，如二元一次方程组的解法，几何中的有关计算，等等.通过多次的探索，学生发现化归的方法有着如图1所示的内在关联

通过这样的思想和方法的渗透，使得学生不但掌握了新的教学内容，同时在探究的过程中对化归的思想有了充分的理解，对今后进一步学习和提高起到了重要的作用.

2.运用方程思想，倡导学生形成知识迁移的能力

方程思想在中学数学中应用较广是联结初中数学与高中数学的一条红线.由于其特殊性，教师在教学过程中更要加强引导，使学生充分体验到其中的内涵，使学生在此问题的处理上能达到一个更高的平台.例如，如图2，已知有一块三角形的余料ABC，它的边BC=54，高AD=36，要把它加工成一个邻边之比为2：3的矩形，使矩形较长的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求加工成的矩形的长和宽.

在此题的解答上学生能掌握的是利用相似三角形的性质，得到等量关系式：AH：AD=QP：BC，但在计算的过程中发现设QP=3x，PN=2x，对此题的解法显得快捷而方便.所以对此类方法的研究，加深了学生的理解能力，也充分体现了方程思想在几何题型中运用的优越性.

3.用特殊到一般的方法，设置探究平台

探究的集中表现是解决问题，然而对于综合性较强的问题，由于是涉及的知识点多、思想和方法运用多的题目

学生的连续思维的能力的差异，给探究工作带来了一定的难度.为此，在平时几何的课堂教学之中，笔者特别强调学生对习题的总结、归纳并使他们尽可能地掌握常见的基本几何模型及其数量关系，使学生掌握这些简单的几何模型之间的变序、一般化、特殊化等数学中发生、发展问题的常用方法，使学生提出问题和自主探究的能力得以不断加强.

比如，2003年上海市中考数学最后题：如图3，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A，D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点（1）当∠DEF=45时，求证：点G为线段EF的中点;（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图4，当EF=时，讨论△ADD6與△EDF是否相似.如果相似，请加以证明;如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由这道题目的几何原型即为四边形部分的一道几何题目：如图5，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上.（1）若∠EAF=45°时，能否得到EF=BE+DF;（2）若EF=BE+DF，能否得到∠EAF=45°，请说明理由

通过对这道题目的变化规律的探索，不难发现满足这一变化规律的点C即△AEF的边EF的高的轨迹，即为本题的圆弧，而EF是切线（图6）.教师运用多媒体课件加以演示，増强学生的直观认识，在这个核心的基础上加上了切线长定理应用的基本图形和翻折的基本图形，而后两部分图形学生是非常熟悉的.通过这一探究过程使学生充分地认识到由特殊到一般的解题思路的重要性.

中学数学思想的教学层次及模式

1.中学数学教学内容的层次中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识，表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法.表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，也是教材中明確给出的，以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步地学习和领悟相关的深层知识深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性.那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想和方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高.

2.数学思想方法的教学模式数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了教师在教学中的辩证统一性.基于上述认识，笔者给出了数学思想和方法教学的一个教学模式：操作一掌握一领悟.对此模式作如下说明：（1）数学思想和方法的教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的;（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学“操作”是数学思想和方法教学的基础;（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握.学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提;（4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想和方法有所感悟，有所体会;（5）数学思想和方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想和方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能会更好一些.通过教学研究培养学生的数学方法是笔者的一个大胆设想和在教学上的一个突破，对于这一点笔者有很清楚的认识，这一步跨出去也许不知前面路在何方，但笔者相信这一步迈的是对的路漫漫其修远兮，吾将上下而求索