破除“函数”伪装，直切“几何”本质

[摘要]函数与几何压轴题往往融合了函数、几何两大知识内容，问题难度较大，学生容易陷入思维误区，难以构建解题思路.该类问题可视为是披着“函数”伪装的几何题，问题解析可重点关注其中的几何特性，挖掘问题的几何关系文章将对一道函数与几何考题开展解法探究并反思教学，提出几点建议

[关键词]函数;几何;数形结合;等角;对称;模型

作者简介：黄刘洋（1980），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学与研究工作，曾获徐州市初中数学优质课二等奖.

问题综述

函数与几何是初中数学两大知识模块，也是中考数学的重点，以二次函数为背景融合几何图形的考题常以压轴题的形式出现，该类考题往往探究两大问题：一是几何元素间的函数关系，

二是函数图像中的图形性质.在某些二次函数与几何压轴题中，虽然融合坐标系、点坐标、抛物线、直线等函数内容但合理利用图形性质，从几何视角加以突破往往可以得到意想不到的解题效果.即破除问题的“函数”伪装，可发掘考题的“几何”本质，不会影响最终的结果，解析过程还更为简捷

向题探究

2020年常州市的中考数学第28题为典型的二次函数与几何压轴题，但在解答时可从几何视角进行思路探究，下面具体探讨解法.

考题（2020年常州市中考数学第28题）如图1，二次函数y=x2+bx+3的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC，BC，BD

（1）填空：b=

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若

∠CQD=∠ACB，求点P的坐标

（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AC.当点F在x轴上时，直接写出AC的长.

思路突破：（1）使用待定系数法即可求出b的值，将点C的坐标代入二次函数解析式y=x+bx+3中可求得b=-4.

（2）该问设定抛物线上一动点P，构建了等角∠CQD=∠ACB，求点P的坐标，几何属性显著.可按照如下步骤进行突破：第一步求出图像中关键点坐标，第二步把握图像中的特殊图形和特殊性质，构建几何模型求解.

第一步，根据题干条件求关键点坐标，可知点A（0，3），B（4，3），C（1，0），D（2，-1）.

第二步，提取图像中的特殊图形和特殊关系，利用其几何特性定位关键点.

由点坐标可知BC=3V2，CD=V2，BD=2V5，则有BC+CDP=BD由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°则△BCD为直角三角形.在Rt△BCD中，tan∠DBC-DC1=.而在Rt△AOCBC3中，已知OC=1，A0=3，则tan∠CAO=OC1所以可获得等量关系∠DBC∠OAC.

根据点B和点C的坐标可求得直线BC的解析式为y=x-1，该直线与坐标轴的夹角为45.过点C作AB的垂线，设垂足为点H，则∠ACB=∠ACH+∠BCH，其中∠BCH=45°，所以∠ACB=45°+∠ACH，又知∠ACH=∠OAC，所以∠ACB=45+∠OAC.

若直线BD与x轴的交点为点K，则有∠CKD=∠BCK+∠DBC，其中∠BCK=45°，推得∠CKD=45°∠DBC=45°+∠OAC，即∠CKD=∠ACB当Q位于CD的上方时，若∠CQD=∠ACB，此时直线BD与x轴的交点就为点Q的位置，即点Q与点K相重合，如图

2.抛物线y=x2-4x+3与x轴的另一交点为P，令y=0，解得x=1或x=3，所以点P的坐标为（3，0）

显然在CD的下方，BD的延长线上存在一个对称的点Q，此时点Q与点C，K刚好构成一个以點C为顶点的等腰三角形，此时∠CKQ=∠CQK.如图3，过点C作BD的垂线，设垂足为点M.利用点坐标可得直线BD的解析式为y=2x-5，则可设直线CM的解析式为y=ーx+，代入点坐标可得=，则直线CMx+，联立直线CM与BD的方程，可解得点M的坐标为点M为线段KQ的中点，由中点坐标公式可得点Q的坐标为则直线CQ的105解析式为y=联立直线CQ与抛物线的解析式，可得交点P的坐标为

综上可知，点P的坐标为（3，0）或（3）该问进行了二次对称设点，其中点E关于直线BD的对称点为F，点F关于BC的对称点为C，问题几何属性突出，显然可直接利用对称性质来构建解析模型.题干设定点F位于x轴上，点E位于直线AC上，可设定直线AC关于直线BD对称，则对称直线与x轴的交点就为点F，如图4所示

设直线AC与BD的交点为N，联立两直线解析式，可求得点N的坐标为8观察可知∠ACB=∠CNB+∠DBC，又知∠ACB=45°+∠DBC，显然∠CNB=45°，由对称性可得∠DNF=45°，即∠CNF-90°，直线AC⊥NF.直线AC的斜率kc=-3，则直线NF的斜率为kw=，结合点N的坐标可得直线NF的解析式为y则点F的坐标为（7，0则CF=CC=6.由于直线BC与x轴的夹角为45°，由对称性可知△CFG为等腰直角三角形，即CG⊥x轴，所以点G的坐标为（1，6）.结合点A（0，3）可得线段AC=

解后反思

上述考题为二次函数与几何压轴题，后两问为核心之问，问题以函数曲线和坐标系为背景分别探究等角条件下的动点坐标以及二次对称关系所得线段长.从问题的突破过程来看，破除问题的“函数”表象，深刻挖掘问题的几何特性是关键，下面对考题进行反思探讨.

1.第二问的解法思考

考题所涉两问均含有极强的几何属性，第二问探究等角关系条件下的动点坐标，上述突破过程充分挖掘出两大几何特性：一是∠BCD为特殊的直角，二是∠DBC=∠OAC，为后续的等角转化提供了条件.关于点Q的两个位置，常规思路是分別讨论，故情形二还需独立探究，但从几何等角视角来看，则可视为关于特定直线的对称情形，可构建等腰三角形，利用特殊三角形性质直接完成突破，这是几何法突破的优势.

2.第三问的解法思考

第三问题干进行了二次对称变换，函数背景下求解对称点坐标的常规思路是求直线解析式，联立直线方程求交点，其复杂程度较高，计算量较大，很容易出错.但上述突破过程完全将其视为特殊的几何问题，挖掘出其中的关键条件∠CNB=45°，确定了直线AC⊥NF，从而简洁地求得点F和点C的坐标.整个过程围绕几何对称构建思路，把握图像中的特殊图形一等腰直角三角形，特殊关系一几何垂直，完成了函数问题的几何转化与突破.

3.问题突破的深度思考

函数与几何压轴题的信息量较大，其特殊之处在于以坐标系为背景，故使得几何图形具有定位特点.但本质上还可以视为几何问题，解析重点还是几何特性分析，实际解析时仍需破除问题的函数外表，挖掘几何特性，直观分析问题.而在实际探究过程中，建议采用数形结合的方法，从几何视角切人问题，挖掘其中的特殊性质，构建直观的模型，巧妙利用函数的几何意义突破.可按照如下步骤进行解题：

第一步，观察几何图像，理解问题条件;

第二步，根据图形的性质和关系挖掘几何元素的联系;

第三步，利用函数与几何的关联，找准切入视角，综合使用几何分析与函数解析法，由几何特性构建模型，运用方程思想处理交点.对于涉及多情形的问题，注意使用分类讨论法，全面探究结论的可能性.

教学建议

1.引导探究，归纳解法

函数与几何压轴题是中考常见题型，问题结构较为复杂，学生理解存在定难度，往往难以破除“函数”表象，不能准确把握问题的几何特性教学中建议采用引导探究的方式，以典型问题为例，指导学生剖析问题条件，理解图像特征，挖掘隐含特性.必要时可以采用图像拆解的方式，隐去图像中的不必要元素，如抛物线、直线等，引导学生聚焦几何图形，提取图中的特殊图形和特殊关系.几何推理、數形解析是突破该类问题的常用方法，教学中要注重该方法的总结归纳，引导学生掌握方法精髓，充分数形结合，合理联想构形，使学生真正掌握解题策略.

2.知识优化，思想渗透

函数与几何问题涉及初中数学两大知识模块，其中的概念、定理、公式是最基础的内容，仅仅理解其本身是不够的，还需深刻挖掘定理定义的深层内容，如斜率的几何意义、交点与方程的联系，因此教学中有必要依托知识关联深化学生认知，形成完善的知识体系.

另外，教材的定义定理是知识的外在形式，而数学思想是对知识的内在升华教学中应加强对思想方法的渗透.以函数与几何问题为例，需要引导学生感悟解题过程中的数形结合思想、构造思想、分类讨论思想、方程思想等，逐步提升学生的思维水平.

总之，考题教学不能一味地就题论题，仅关注问题的常规解法，这样容易局限学生思维，教学中应注重问题探究，引导学生深度挖掘问题，透过问题表象，形成类型问题的本质解法.课堂教学应适时点拨学生，拓展学生思路，让学生充分参与课堂讨论，提升学生思维的灵活性.