分类几何多情形，讨论问题解析法

[摘要]几何多情形间题在初中数学中十分常见.几何多情形的成因是多样的，文章列举几何特征不具体、对应关系不明、元素结构多样、落点位置不定四大类型，总结类型问题的常涉内容及解题思路，并开展教学反思，提出相应建议

[关键词]几何;多情形;特征;对应;结构;落点

作者简介：王芳（1968-），本科学历，中学高级教师，从事中学数学教学与研究工作

几何多情况分析是初中数学的重难点之一，问题解析需要把握造成多情形的因素，并对其加以分类讨论.往往造成几何多情形的因素是多样的，如几何特征不具体、对应关系不明、线段关系多样、落点位置不定等，下面对其深人探究，并开展教学反思

几何多情形举例探讨

类型一：几何特征不具体造成的多情形

几何特征不具体可以造成多情形，出现多解，如直角三角形的直角、等腰三角形的腰、特殊角度等.问题解析时需要结合题干信息讨论标准，利用几何特征来分析解答，但需要根据题意确定需要讨论的具体情形，确保分析合理.

例1如图1所示，已知在△ABC中AB=AC=6，BC=8，点P是底边BC上不与点B和C相重合的一点.∠DPE=∠B，且D边始终经过点A，另一边PE与AC交于点F，当△APF为等腰三角形时，则PB的长为

分析求△APF为等腰三角形时PB的长，题干没有设定等腰三角形的腰，故问题因等腰三角形特征不具体造成了多情形，需要分别讨论AP=PF，AFPF，AF=AP三种情形，具体如下解：①当AP=PF时，可证△ABP≌△PCF，则PC=AB=6，所以PB=2②当AF=PF时，可证△ABC△FAP，由相似性质可得APAC6PFBC8从而有PC=，所以PB=③当AF=AP时，点P将与点B相重合，不符合题意，故该情形不存在.

综上可知，PB的长可为2或者点评本题目造成多情形的原因是题干没有设定等腰三角形的腰和顶点从而造成可能出现三种等腰情形，属于因几何特征不具体造成的多情形.上述解析中的第三種情形不存在，是由于题干设定了两点不相重，因此在实际解题时需要准确把握问题的限定条件.类型二：全等或相似对应不明造成的多情形几何中常出现求证三角形相似或全等的问题，而在问题分析时需要辨析“△ABCい△A'B'C"”与“△ABC和△A'B'C'相似”“△ABC≌△A'B'C'”与“△ABC和△A'B'C全等”，实际上出现符号“い”和“≌”则表示三角形的相似或全等的对应关系明确，否则对应关系不明，此时就需要对其加以讨论.2在图2所示的矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cmn点P从点A以2cm/s的速度沿着AB边向点B移动，同时点Q从点D以1cm/s的速度沿着DA边向点A移动.使用时间表示动点的移动时间（0《《6），试分析为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形可与△ABC相似？

分析本题目属于几何动点问题，题干设定了两个动点的运动条件（速度、方向、始点和终点），需要分析△AQP与△ABC相似时的时间，显然没有设定相似对应关系，因此需要分别加以讨论.根据题意，分析可知△AQP与△ABC相似，有两种情形：△ABCい△PAQ或者△ABCい△QAP

解：①当△ABCい△PAQ时，由相似性质可得ABBC代入线段长可得APAQ1510可解得2t10-t

②当△ABCい△QA4P时，可得CBBA代入线段长可得可解AQ2t10-t得综上可知，当为或者二时，以点Qの，A，P为顶点的三角形可与△ABC相似.

点评上述涉及动点的三角形相似问题中存在相似对应不明的情形，故需要对其中的相似关系进行讨论，而讨论的相似情形是由几何特征和动点条件来确定的.在实际解题时需充分理解题千信息，确定是否存在多解情形类型三：元素结构多样造成的多情形

几何中也存在元素结构多样造成的多情形问题，如平行四边形中的两点所成线段关系、几何翻折中两线段的相对关系等.解题时需要充分考虑元素的位置关系、组成关系对几何图形造成的影响，合理分类，准确讨论.

例3已知三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm.现将该纸片沿着过点B的直线进行翻折，使得点A落在斜边BC上的点E处，记折痕为BD（如图3），剪去△CDE后可得双层△BDE（如图4），再沿着过△BDE的某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形为平行四边形，则所得到的平行四边形的周长为cm

分析本题目属于图形翻折问题，要求形成平行四边形，但组成平行四边形的线段关系多样，会造成多种情形，主要有以下两种情况：一是以DF为平行四边形的对角线，二是以DF为平行

四边形的一边，下面结合图形讨论

解：分析R△ABC，AC=30，∠C=30°，则AB=BE=10V3，由对称性可知∠ABD=∠EBD=30°，所以AD=DE=10，CD）=20.

①当沿着过点E的直线剪开，展开后的图形是以DF为对角线的平行四边形ADEF时，如图5所示，此时AD和DE为相邻边，有AD=DE=10，所以平行四边形ADEF的周长L=44D=40.

②当沿着过点D的直线剪开，展开后的图形是以DF为一边的平行四边形DFBC时，如图6所示，此时DF和DG为相邻边，由折叠性质可得DG=DF，DF∥AB，所以由比例性质可得FCDABCA则AB=10V3、DF_20V3所以平行四边形DFBG的周长L=4DF=80V

综上可知，所得到的平行四边形的周长为40cm或者80V3cm点评本题目中涉及了图形翻折，由于没有设定剪开的直线，使得DF在平行四边形中的结构不确定，可为其边长或对角线，从而造成问题的多解.几何元素的多样性需重点研究线段或角度在图形中的结构多样，注意培养多解思维.

类型四：几何落点位置不定造成的多情形

在动态几何中往往会涉及落点，有时落点的不同也会造成几何多情形，影响整体图形结构，此时就需要对落点位置进行讨论，实际讨论过程中建议构建模型，采用数形结合的方式.

例4（2020年合肥市六区联考卷）如图7所示，△ABC为等边三角形，已知AB=4cm，点M为BC上的中点，点N为AB上的任意一点（不与点A和B相重合）.如果点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为

分析本题目为翻折问题，需要研

究點B的落点，题千只设定其对称点B落在△ABC的边上，但没有具体到哪一边，常规来讲有三种可能，但由于点M的位置固定，则落点B'只可能在AB和AC边上，需要讨论这两种情形.解：①当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，如图8所示，则MN⊥AB，有BN=B'N由题意可知AB=AC=BC，∠ABC-60°，BM=BC=-AB=2，则BN=-BM=1

②当点B关于直线MN的对称点B恰好落在等边△ABC的边AC上时，如图9所示，则MN⊥B'B，此时四边形BMB'N是菱形.又知∠ABC=60°，点M为边BC的中点，所以BN=BM=BC=2

综上可知，BN的长为1cm或者2cm点评本题目中的多情形是由落点所在位置不确定造成的，但由于点M的位置固定使得落点只有两种情形.对于几何中的多情形问题，判断讨论情形是难点之而合理利用几何性质构建解析模型则是难点之二，学习时需要关注几何知识融合.

多情形探究教学建议

1.注意总结归纳，探究多解成因几何多情形问题类型较多，上述探究了其中常见的四种类型及其成因，建议教学中结合实例引导学生归纳总结几何多情形问题，分析引发多情形的因素，总结讨论标准，形成解题方法策略.以类型一的几何特征不定为例，可以从等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等特殊图形人手总结特征，归纳多情形的图形结构及性质.

2.关注数学思想，合理渗透解题几何多情形探究的核心思想为分类讨论，其实质为根据研究对象共性与差异将问题分为多种类的思想方法，该思想方法可将复杂问题转化为几个简单问题的组合.建议教学中引导学生理解分类讨论思想的内酒，掌握思想方法使用的三大原则

①统一标准;②分组独立;3③逐级讨论.同时引导学生学习利用分类讨论思想解析几何多情形问题的基本思路.

3.培养数学思维，提升学生逻辑几何多情形是造成多解的原因所在，该类问题较为特殊，对于学生的思维严密性有着较高的要求，因此在教学中有必要有意识地加以培养.如教学类型二中的相似或全等对应不明引导学生理解数学符号和文字语言之间的差异，考虑到几何多情形问题的分析思路较为重要，教学时可以结合典型例题，按照“图形理解→多情形分类→建模讨论→总结归纳”的思路进行，培养学生的逻辑思维，促进解题能力的提升.