在初中数学“图形与几何”的教学中培养学生公理化思想

杨国俊 丘文斯

【摘要】  我国现行义务教育课程标准及初中数学教材对公理化思想方法的教学要求相对较低，初中数学教材也鲜有对公理化方法的直接描述，但处处体现了公理化思想.笔者认为，作为数学中重要的思想方法，公理化思想方法不应该被淡化处理.本文以人教版初中数学“三角形全等的判定”一节为例，尝试改进“图形与几何”部分的教学，探究如何在教学过程中更好地培养学生的公理化思想.

【关键词】  公理化思想;初中教学;初中数学

一、引言

所谓公理化方法就是从尽可能少的、未定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理的原则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法.在近代数学的发展中严格的公理化方法对数学的发展起到巨大的推动作用.

在我国现行的初中数学教材中，“图形与几何”的内容是公理化思想方法最直接的体现.考虑到学生的年龄特点、接受能力等方面的情况，教材对该部分内容做了改编，所呈现的并非严谨的公理系统.笔者认为，公理化思想方法作为数学中重要的思想方法，在初中数学的教学中应该有适当的处理方式，不能直接按照严格的公理系统进行教学，但也不应该被简单地淡化处理.

二、现行初中教材中的几何公理系统

（一）现阶段的课程标准对公理化思想的教学要求相对较低

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对学生推理能力的培养有明确的要求：合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论.相较于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（2001年）的要求有所降低.

（二）根据学生特点修改几何公理

从严格意义上来说，数学的论证必须是滴水不漏或是无可置疑的.从这个角度来看，数学对论证的要求比思辨性学科要高.但考虑到中学生在心理特点、知识基础和智力水平上的差异，我国现行初中数学教材几乎都对涉及公理化思想方法的内容进行了改编，删繁就简，缩短学程，局部或有限地使用了公理化方法.这样的改编为提高教学质量创造了良好的条件.

（三）几何知识中渗透公理化方法的思想

初中数学教材所呈现的虽然不是严格、完整的公理体系，却处处体现了公理化思想方法.初中教材中的几何公理体系是对现实空间性质的直接反映，有着实际内容做支撑，现实世界的种种具体现象为几何概念的引入与命题的论证提供了生动、直观的形象.

（四）初中几何公理化系统的不足之处

教材中，有些概念没有被定义，或者虽然定义了却不够精确;没有明确提出顺序公理和运动公理，却常常借助这些概念来论述问题，或者在论证过程中默认地使用;没有明确提出连续公理，却“想当然”地运用了直线和圆周的连续性質.

三、教学实例——人教版初中数学“三角形全等的判定（第一课时）”

根据学生实际情况改编初中教材中的公理系统，降低对公理化思想方法的要求是存在一定合理性的，但这样的改编会导致学生所学知识不够严谨，也不利于学生逻辑推理能力的培养.因此，笔者以人教版初中数学八年级上册第十二章“全等三角形”的“三角形全等的判定（第一课时）”为例，尝试改进传统的“图形与几何”部分的教学方法，探究如何在教学过程中更好地展现公理化思想方法，培养学生的逻辑推理能力.

（一）“三角形全等的判定（第一课时）”的教材呈现

1.教材呈现过程

旧知识引入

根据三角形全等的定义，得出全等三角形三边、三角分别相等;思考能否在只满足上述六个条件中的部分条件的情况下，判定两个三角形全等

探究新知

探究1：用先画出一个△ABC，再画出一个与其全等的△A′B′C′，尝试探究需要满足哪些条件才能保证两个三角形全等.

探究2：画出两个三边分别相等的三角形，再用剪裁对比的方法判断两个三角形是否全等，得到“三边分别相等的两个三角形全等”这一基本事实.

例题巩固

以一道典型例题将新知识应用到实际生活中

拓展应用

将新知识应用到全等三角形的作图中

习题巩固

略

2.教材呈现过程存在的问题

（1）人教版初中数学教材中明确呈现了“正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理”“一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断”，而本小节在引导学生发现“三边分别相等的两个三角形全等”这一结论后，却没有用严谨的方法加以证明.

（2）将“三边分别相等的两个三角形全等”看作了基本事实，即为了方便学生的理解而将公理看作定理，但教材扩大了公理的范畴，却没有加以说明，一定限度上不利于学生公理化思想的培养.

总的来说，本课时的这种编排有利于学生快速接受知识，但不利于学生严谨的数学思维的建构.

（二）改进后的教学设计与实践

1.教学目标

（1）掌握“SSS”判定定理，初步应用“SSS”判定两个三角形全等.

（2）经历探索三角形全等的判定过程，通过操作、归纳得出数学结论，培养学生的动手能力及发现、归纳、总结问题的能力.

（3）会根据“SSS”定理用尺规作出全等的三角形.

2.教学重难点

（1）重点：“SSS”判定三角形全等的条件，会用“SSS”判定两个三角形全等.

（2）难点：探索三角形全等条件的过程.

3.教学方法

讲授法，自主探究法、小组讨论法.

4.教学准备

扩展材料1：前置学习任务单（由学生课前自主完成）.

扩展材料2：课外阅读材料，包含定理“三边分别相等的两个三角形全等”的证明过程（略）.

5.教学过程设计

 6.教学创新

（1）本节课有大量需要学生自主探究的部分，且逻辑上环环相扣，因此，教师在教学过程中设计了一连串问题，用问题引导学生思考、探究，启迪学生思维，让学生在发现问题—分析问题—解决问题的过程中获取知识，收获方法，提升推理能力.

（2）引导学生回忆命题、定理、证明部分的内容，构建新知与旧知的联系，加深学生对公理化思想方法的认识，将学生由直观的数学思维逐步引向抽象化的数学思维.

（3）本节课的内容相对较多，也比较难以理解，笔者尝试以课外材料的形式拓展本节课内容.一方面，以“前置学习任务单”的方式使学生提前对所学内容有所了解，减轻课堂上的学习负担;另一方面，以“课外阅读材料”的形式对书本内容进行补充，让学生课后选择性地阅读，使教材知识系统更加完整.

四、结语

我国现行初中数学教材中所呈现的公理系统是经过多方面考量的结果，有可取之处，也有不足之处.本文以人教版初中数学教材中“全等三角形的判定”的内容为基础，尝试探究更有利于学生发展的教学方法，希望能对读者有所启发，也期盼能有更多行之有效的教学方法帮助我们提升教学质量.

【参考文献】

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[4]尹莲.“问题链”在初三几何教学中的应用研究[D].云南师范大学，2018.