结构不良视角下的复习课教学设计

魏烁

摘  要：结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点，其解决过程能有效激发学生的求知欲，帮助学生多角度把握问题本质，追寻知识背后的价值. 从结构不良的视角设计复习课中的学生活动，有助于学生从更高层次认识数学知识，有助于学生发现问题、提出问题，有助于促进学生素养的养成和能力的提升.

关键词：结构不良;复习课;学生活动

自新课程改革以来，在数学高考试卷中陆续出现了结构不良问题，引发我们对数学教学的思考：在初中数学教学过程中，能否从结构不良问题的视角，开展具有建构主义倾向的学习活动呢？本文以“平行四边形的性质和判定定理”复习课为例，简述如何从结构不良视角进行复习课的教学设计，来培养学生发散的认知能力、可迁移能力，以及批判思维能力等高阶能力.

一、对结构不良问题的认识

Raitman（1965年）首次从认知心理学的角度区分了结构良好问题（well-structured problem）和结构不良问题（ill-structured problem）.前者是初始状态、目标状态和解决问题的方法与途径都很明确的问题，而后者则是这三者中至少有一个没有明确界定的问题.

应该注意的是，结构不良问题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径.

数学教学中的系统知识是一种结构良好的问题，条件明确，不多不少，需要解决的问题目标明确，有规范的思路和解法.然而现实生活中的问题多是结构不良的、情境化的、定義不明确的或者目标不明确的，往往没有标准答案.结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点，其解决过程能有效激发学生的求知欲，帮助学生从多角度把握问题的本质，追寻知识背后的价值.因此，解决结构不良问题对促进学生素养的养成和能力的提升具有深远意义.

二、结构不良视角下的复习课

1. 复习课的教学功能

复习课在数学教学中占据着独特地位，它是知识学习的高级阶段，在数学知识的整合与理解、解题策略的构建与内化、思维能力的形成与提升等方面都起着重要作用.

复习课的教学目的是帮助学生梳理基础知识、基本技能和基本思想，加强相关知识联系的丰富性和顺畅性，构建有机的网络，便于知识技能和思想方法的存储、提取和迁移应用，进而加强知识理解的准确性和深刻性，提高知识的组织质量，形成良好的数学认知结构，并通过问题解决等方式，提高综合运用知识解决问题的能力.

2. 平行四边形的性质和判定定理复习课

（1）梳理知识框架.

知识梳理是复习课中常见的环节之一，它是为了帮助学生回归教材，理清教材脉络体系，从而使得各个知识点之间能够有效整合，发展学生的抽象概括能力，培养学生运用数学语言进行交流与表达的能力.

本节课通过如下问题，要求学生对单元知识能够进行有序、合理地构建.

① 本章的研究内容有哪些？我们是从哪些角度进行研究的？

② 平行四边形的定义、性质及判定之间有怎样的关系？能否用一个图来表示？

根据学生情况，要求其通过结构图的方式，形成一个主线突出、脉络清晰、体系完整的知识结构（如图1、图2）.

（2）提出活动要求.

如图3，已知四边形ABCD是平行四边形.

（Ⅰ）① 在平行四边形ABCD的边或边所在直线上截取相等线段;② 在平行四边形ABCD的对角线或对角线所在直线上截取相等线段. 这两种方式中选择一个，构造一个新的平行四边形，需要说明构造的具体方法，并给出证明.

（Ⅱ）在构造新平行四边形的过程中，你有什么发现？

活动说明：这个活动的目标是明确的，即构造一个新的平行四边形. 但是给学生提供了不同的方式，构造路径是不同的，即便学生选择了方式①或方式②，也将会面临着如何截取的问题，构造方式是多种多样的. 在结构不良视角下设计的学生活动，更具思维空间和挑战性. 例如，在哪截取？怎样截取？需要运用原有平行四边形的哪些性质？证明时运用平行四边形的哪个判定定理？解决问题时思维方向的确定、思维策略的选择、思维过程的监控、思维结果的评估等一系列过程，都将促进学生的深度思考.

（3）学生活动实录.

生1：我选择方式①，借助平行四边形的“边”构造. 有两种截取方式：第一种，在一组对边上截取相等线段. 如图4，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在AD，BC上，DE = CF，四边形ABFE是一个平行四边形. 用到性质：平行四边形的对边平行且相等. 证明时，需要用判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 第二种，还是在一组对边上截取. 如图5，如果点E，F分别在AD，BC上，AE =CF，四边形EBFD是平行四边形. 证明类似，略.

生2：我也选择方式①，不同的是，在两组对边上截取相等线段. 如图6，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，BC上的点，DE = CF，G，H分别是AB，CD上的点，AG = DH，可以构造出8个平行四边形.

生3：受生2的启发，在图5的基础上，连接CE，AF，CE交DF于点G，AF交BE于点H，也可以得到平行四边形EHFG（如图7）.

生4：在图6中，有一种特殊情形：如果G，F，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形GFHE是平行四边形（如图8）. 在证明过程中，我发现，这个结论和原图形的形状没有关系，由于证明中用到的是三角形中位线定理，因此，去掉“四边形ABCD是平行四边形”这个条件，结论依然成立（如图9）.

师：很好，生4在构造与证明的过程中发现了新结论！这个四边形我们称之为“中点四边形”，“中点四边形”一定是平行四边形，有兴趣的同学可以按照平行四边形的研究思路去研究这个“新图形”！

这样，学生在这个活动中，自然发现了“中点四边形”，继续引导学生研究这个特殊四边形，这一过程也体现了从一般到特殊的研究方法，为后续研究特殊的四边形积累了经验.

生5：我选择方式①，但是我是在延长线上顺次截取相等线段，构造平行四边形. 如图10，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA延长线上的点，且BE = CF =DG = AH，四边形HEFG是平行四边形.

证明：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB = CD，∠BAD = ∠DCB.

所以∠HAE = ∠FCG.

因为AE = AB + BE，CG = CD + DG，

BE = DG，

所以AE = CG.

又因为AH = CF，

所以△AHE ≌ △CFG.

所以HE = FG.

同理EF = GH.

所以四边形HEFG是平行四边形.

生6：在生5的证明过程中，我发现，只要能够保证△AHE ≌ △CFG即可，因此条件只需要BE = DG，CF =AH即可，没有必要四条线段都相等.

师：好，条件可以弱化！这也是进行数学研究的基本方法. 其他同学呢？

生7：如图11，我在对角线AC上截取两点E，F，使AE = CF，四边形EBFD是平行四边形.用到平行四边形的性质：对角线互相平分，以及判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

类似地，在对角线延长线上构造相等线段也可以得到相应的平行四边形（如图12）.

其间，还有学生提出：既然平行四边形的研究角度有边、角和对角线，那么能否“截取相等角”来构造平行四边形呢？这是非常好的想法，这一想法也为后续解决问题过程中常用到的“旋转角”构造全等或相似积累了经验. 正是由于从结构不良视角设计学生活动，给学生提供了更多思考问题、提出问题及数学发现的机会，也让学生在解决问题的过程中更好地体会数学的基本思想方法，如类比的思想，以及探究問题的一些基本方法，如弱化条件、改变条件、构造图形等，同时，学生在合作交流的过程中，也增强了与人沟通、合作学习的能力.

（4）例题与习题.

例  如图13，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O. BO与OD的长度有什么关系？边BC上的中线是否一定过点O？为什么？

这是教材中的题目，也是一个经典的结论. 有了上述构造平行四边形的经历，辅助线的添加“如图14，分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND”不再显得那么生硬，甚至很多学生能够自行添加辅助线并完成证明（证明略）.

在解决平面几何问题的过程中，添加适当的辅助线是学生的难点，单纯靠模仿是远远不够的，学生需要对图形的结构有深刻的理解和认识，从结构不良的视角设计，如上述活动，只明确任务指向：构造平行四边形，开放构造方式，可以给学生带来充分认识图形结构特征的机遇. 我们还可以设计条件确定、结论开放的活动，让学生在活动中感知图形、体会方法.

练习：如图15，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB = 2CD，E，F分别是AC，BD的中点. 求证：CD = 2EF.

取AB的中点G是证明的关键，学生要能够根据已知条件分析图形的结构特征：根据已知AB∥DC，AB =2CD，分析出这里蕴含着两个平行四边形，[▱AGCD]和[▱BGDC]（如图16），进而解决问题.

三、反思

在过去的教学活动中，部分教师把精力过多地放在解题训练上，围绕着确定的“条件和结论”模式化训练，学生仅靠记忆和解题经验去解决问题，效果甚微. 在结构不良视角下设计的学生活动，需要学生根据具体情境，从多个角度分析，考虑多个可能，寻找不同路径，提出多种解决方案. 而解决问题的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，有助于帮助学生更好地理解数学本质，培养学生思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性.在复习课或专题课中，设计结构不良问题，往往能够起到事半功倍的效果.

在结构不良视角下设计学生活动，需要充分考虑学生的认知水平，精心设计有效的、富有启发性的结构不良问题，这些问题，不是知识的简单提取、记忆和重复运用，而是能够提升学生已有的认知，激发学生强烈的认知冲突，激起学生内部的学习动力. 正如著名数学家弗赖登塔尔所说：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的.”结构不良视角下设计的活动更具开放性、探究性，对培养学生的数学学科核心素养具有重要意义.

参考文献：

[1]任子朝，赵轩. 数学考试中的结构不良问题研究[J]. 数学通报，2020（2）：1-3.

[2]路艳. 基于结构不良问题的探究性教学策略研究[D]. 成都：四川师范大学，2012.