关注过程探索聚焦思维品质

高洁 顾群

摘  要：通过对一道几何压轴题的解法分析，获得了重视基本图形、基本方法、一题多解、多解归一等教学启示. 通过对一道题目的深层次探索，引导学生构建知识框架，逐步培养学生思维的深度和广度.

关键词：聚焦思维;一题多解;分类讨论;几何综合

几何综合题一直以来是很多学生不易突破的难点，它是以几何知识和几何图形为背景，又与代数中的函数、方程等知识相结合所构成的一类综合问题. 要解决这类问题，既要求学生全面掌握基础知识，又要特别关注解决问题的一些基本方法. 例如，如何求函数解析式？为什么要进行分类讨论？按怎样的标准进行分类讨论？等等. 整道题目由问题串的形式组成，要求学生既要明确各小题的解题思路，也应感受到问题探索过程中各小题之间的关联. 在解题教学过程中，教师应精选题目，从学生的困难处着手，注重分析与解决问题的过程与方法的引导. 聚焦思维，一题多解，逐步培养学生思维的深度与广度. 基于以上考虑，笔者联合命题专家，以2021年上海市杨浦区一模考试第25题这道几何压轴题为例，分析和探究多样解法，与大家分享.

一、题目呈现

题目  如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，点D为边BC上一动点（与点B，C不重合），点E为边AB上一点，∠EDB = ∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F.

（1）如果点D为BC的中点，求∠DAB的正切值;

（2）当点F在边AC上时，设CD = x，CF = y，求y关于x的函数解析式及定义域;

（3）连接DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长.

这道题目的灵感来源于八年级的一道几何题，命题者以源知识为起点，将其放在九年级的背景下与大家见面，题目线条简洁、内涵丰富，涉及的知识点有全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、锐角三角比、解直角三角形及三角形一边的平行线性质等. 学生观察的角度不同，选择的切入点和构图方式就会不同，因此产生了很多精彩的解法. 此题无论是从对学生解题方法的检验还是思维能力的考查上来看，都是一道不可多得的好题.

二、总体分析及困难诊断

1. 读题析图

此题是一道以等腰直角三角形为背景的综合题. 在读完题目后，应引导学生对题目条件和图形有一个总体的把握. 在基本图形方面，由∠C = ∠AGF = 90°，发现△AFG ∽△ADC，∠AFG = ∠ADC. 结合题目条件∠EDB = ∠ADC，得∠AFG = ∠EDB. 再结合等腰直角三角形ABC中∠CAB = ∠B，不难发现△AFE ∽△BDE. 但考试后了解发现，很多学生没有顺利求出第（2）小题解析式，是由于读题析图、分析基本图形的准备工作没有做到位，导致并没有发现图中的这组相似. 因此，在做题之前，结合题目条件对图形进行简单地分析必不可少.

2. 关注各小题之间的关联

第（1）小题中，要求在点D为BC中点的特殊前提下，求∠DAB的正切值. 在解题教学的过程中，教师应当引导学生意识到，当点D不是特殊点，而是边BC上一个动点时，如第（2）小题，CD = x，仍可以用解第（1）小题同样的方法，将∠DAB的正切值用含有x的代数式表示. 这体现了从特殊到一般的思想方法，也为第（3）小题的解答埋下伏笔. 很多在第（3）小题的求解中走弯路的学生，就是没有意识到可以将两三角形相似进行讨论，转化为讨论两个锐角相等，且在△AGE中∠GAE的正切值是可求的.

3. 关注题目中有关动点的关键语句

在主题干中，点D为边BC上一动点（与点B，C不重合），点D的运动导致点E，F，G的位置也随之发生变化. E为边AB上一点，∠EDB = ∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F.

注意，这里要求“交射线AC于点F”. 在第（2）小题中，限定了当点F在边AC上时这种情形，而在第（3）小题，没有了这种限定.

因此，在第（3）小题中，应从图形运动的角度，对点D的运动导致点F的位置变化进行分类讨论，如图2 ～ 4所示. 其中，图3是点F与点C重合的一个极端位置，这种情形也为第（2）小题函数定义域的求解埋下伏笔.

三、关于第（2）小题求解的思路探究

思路1：如果在读题析图环节，已经发现了△AFE∽△BDE，而在第（2）小题的条件下，其中一组相似比[AFDB]已经可以用[4-y4-x]表示，因此只需再表示出一组相似比，就可以用相似提供的比例式列方程，得到y关于x的函数关系. 因此，将目标锁定为表示出[AEEB].

方法1：如图5，从构造基本图形的角度考虑，可以尝试过点E作EP∥AC交CB于点P，由EP∥AC，可得[BEAB=EPAC].

将目标转化为用含有x或y的代数式表示EP.

关于第（2）小题中的定义域，关注到主题干中的条件“D为边BC上一动点（与点B，C不重合）”及第（2）小题的小前提“当点F在边AC上时”，当点D从极端位置点C开始向右运动的过程中，不难发现当点D运动到BC中点时，点F与点C重合，如图3所示. 若点D继续向右运动，点F会交在AC的延长线上，如图4所示. 因此，第（2）小题函数的定义域应为0 < x ≤ 2. 當然，我们也可以结合求得的函数解析式获得定义域.

四、关于第（3）小题的思路探究

在最初的总体分析中，笔者已经提到，在阅读主题干的过程中应当已经发现，第（2）小题限定了当点F在边AC上时这种情形，而在第（3）小题中，没有了这种限定. 因此，在第（3）小题中，应从图形运动的角度，对点D的运动导致的点F的位置变化进行分类讨论，即：① 当点F在线段AC上;② 当点F在线段AC的延长线上. 在这两种情况下，由于要讨论的△CDF和△AGE均为直角三角形，已经有∠FCD = ∠AGE = 90°，因此，在每种情况下，我们只要再针对锐角的对应情况，分别按两小类进一步进行分类，即∠DAE =∠FDC，或∠DAE = ∠DFC.

明确了此题的分类标准，有学生又陷入了另一个难点. 在△FCD中，FC = y，CD = x，[FD=x2+y2]. 但△AGE的三条边均未表示出来，因此有同学花费了很大的精力，试图表示△AGE的某两条边，想利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，结合y与x的函数关系，求解出x的值，即CD的长.

上述做法耗时长且运算量大. 但如果我们在审题阶段就能关注到各小题之间的关联，将第（1）小题点D为边BC中点的特殊情形推广到一般，当CD = x时，仍可以用求解第（1）小题同样的方法，将∠DAB的正切值用含有x的代数式表示. 这体现了从特殊到一般的思想方法.

五、教学反思

1. 聚焦思维，注重分析与解决问题的过程与方法

身为教师，在讲解题目前，应当首先感悟出题者的意图，从多个角度切入研究可能的解题思路，并与所学知识相关联. 在自身对题目有了全面深刻的认识后，还应弄清楚学生的困惑和可能走的弯路，这样才能更有针对性、启发性地进行解题教学.

（1）读题析图，关注基本图形的把握.

对于这道题目而言，读完题目，首先应发现的是△AFG与△ADC这组相似三角形，然后结合题目给定的∠EDB = ∠ADC，进一步发现△AFE ∽△BDE.

（2）一题多解，多解归一.

对于第（2）小题的求解，发现了△AFE ∽△BDE，可以很自然地将问题转化为求[AEEB]. 思路1中提供的四种方法，有的是将[AEEB]作为整体，尝试的各种构图;也可以通过适当地添加辅助线，将AE与EB分别表示. 将这类解法放在一起，既能让学生感受“一题多解”，又可以体会到“多解归一”，从而感悟归纳出一套求线段比的常见方法.

（3）总结构图方法，提升思维品质.

如此题第（3）小题思路4的切入点，其实是利用∠EDB与∠ADC这组相等的角，从对称性的角度考虑进行构图的. 从物理作图的角度来看，如果我们将AD和DE分别看作“入射光线”和“反射光线”，方法8是添加了“法线”，而方法9则是找到了“像点”. 事实上，对于含有此類对称性角相等的题目，很多时候都可以尝试这样的构图方式.

2. 关注各小题之间的关联，进行解题规律的总结

（1）关注特殊，推广一般.

如此题第（1）小题中，求在点D为BC的中点时∠DAB的正切值，推广至一般，当点D在BC上运动时，CD = x，同样可以将∠DAB的正切值用含有x的代数式表示. 这一意识对求解第（3）小题有着至关重要的作用.

（2）合理化归，优化方案.

在第（3）小题中，将对两个直角三角形相似的讨论转化为两锐角相等的讨论，而这两个相等锐角的三角比又可以进一步转化到能够方便我们使用的直角三角形中进行计算. 能够利用化归思想，不断转化问题，从而优化解题过程，是学生思维灵活性的体现.

（3）分类讨论，迁移运用.

在审题过程中，关注到第（2）（3）两小题中，交点F位置限定的不同，是第（3）小题分类讨论的切入点. 当点F在AC延长线上时，虽然第（2）小题求得的函数解析式不再适用，但研究和解决问题的方法是通用的. 只要能将此方法进行类比、迁移，点F在AC延长线上时的函数解析式就会迎刃而解.

3. 构建知识框架，化“新”为“旧”

此题利用到的图形框架和正方形、等腰直角三角形有紧密的联系，思路2和思路3中的构图，都是以之前的某个小的知识点或基本图形为切入点打开突破口的. 如果我们能够在解题教学的过程中唤醒学生的旧知，帮助学生构建起知识框架，不再是孤立地去看一道新题，而是将其不断纳入已有的框架体系，长此以往，学生的解题能力会逐渐提升，思维的深度和广度都会得到锻炼.

参考文献：

[1]刘思武. 当45°角邂逅正方形：从一道小题到母题的探寻过程[J]. 中国数学教育（初中版），2017（12）：54-57.

[2]卜春兰. 精彩始于基本图形，源于图形变换[J]. 中国数学教育（初中版），2020（9）：61-64.