问题驱动促探究自主建构育素养

蔡卫兵

摘  要：在“借助双曲线画平行线”的专题性习题课中，以“反比例函数的图象与性质的应用”为主题，以“画平行线”为主线，以“整体关联”为变式，基于“数学现实”，设置“生长性问题”驱动探究;基于“类比探究”，注重方法内化培育核心素养.

关键词：双曲线;平行线;问题驱动;类比探究

一、问题提出

經过第一轮复习，大多数学生基本扫除了知识结构的欠缺和盲区，由于在数学知识体系的学习中，有许多占据重要地位的知识点和知识板块是相互联系的，因此在第二轮复习中要突出知识的横向联系和纵向延伸、拓展，将解题方法、解题思想进行归类，以专题训练的形式进行教学，引导学生围绕问题多层次、全方位地深入探究，在多探之下隐性知识自然显露，学生主动探究意识得到增强，归纳能力得到提高，数学素养得到发展. 此时我们会选择具有代表性、典型性、示范性的试题作为“学生的膳食”进行课堂教学或综合练习，给学生提供合理的“营养搭配”，以问题引领来激活学生思维是数学课堂教学的有力抓手. 有了问题，学生的思维才有了方向与载体，才有了交流展示的机会，课堂才能被激活.

然而在实际的专题性习题课教学中，依旧是反复的模拟演练加试卷讲评，甚至有的教师习惯于研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”，忽略了探究过程中的辅助、转换等环节的设计;有的教师徘徊在一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破，对问题“提出”和“应用”研究不足. 没有好的教学设计，没有明确的目标和突出的主题，随意选题和任性互动，怎样才能更好地挖掘此类专题性习题课的功能，促进学生数学思维的发展和数学素养的提升，都成为我们研究中需要解决的问题.

二、基本思路

构建以学生的思辨感悟与有效发展为目标的“三主一变”的教学模式，以问题为载体展开探究活动，践行一题多思，体悟数学思维. 其中“主题”是指一堂课的核心知识和所隐含的数学思想方法、规律、策略，是教学内容的重心;“主线”是指连接课堂教学各个环节的主要脉络;“主体”是指教学对象，即学生，其外延包括学生的原有知识、经验，以及学生在学习时的情绪状态、交往状态和主动程度;“一变”是指在先学后教、以学定教的基础上根据不同习题进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化等多角度、多方位的探讨，强化思维的连贯性和知识的衔接性. 这就需要我们设计好数学问题，通过剖析问题的缘由、结构特征，以及产生新问题的生长点，在质疑、探索、释疑中归类对比、提炼共性、悟得通法，关注数学知识与技能目标的落实，挖掘数学知识的内在联系，揭示数学的思想和方法，让学生在问题解决中实现对知识的自我建构，积累数学活动经验，学会数学地思考和表达. 其问题具有聚焦性，思维具有自然性，探究具有自主性，方法具有策略性，模块具有归一性. 本文以一节九年级“借助双曲线画平行线”的专题性习题课实践“三主一变”教学模式，实现问题驱动学生深层思考的价值最大化.

三、设想解读

受学生的接受能力和便于教学等诸方面因素的影响，学生获取的知识呈“点状”的形式，如反比例函数与几何图形在学生头脑中是呈“孤立”的状态，对知识之间的联系理解肤浅. 本课例根据学习内容和学生特点确定主题为“反比例函数的图象与性质的应用”，以“画平行线”为明线，以“数形结合与转化思想，以及从特殊到一般的数学方法”为暗线，以“知识整体关联与转化”为变式，以“问题启发学生有效思考”与以“问题促进师生智慧互动”为基调，以“动手操作”和“合作探究”为基本学习途径，探求“数”与“形”之间的内在联系，循序渐进地使学生在变化中发现不变的本质、发现变化的规律，进而认识数学本质，提升问题解决的能力.

美国数学家克莱因认为，数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度. 为了提升学生解决问题的目标感与计划性，解读函数知识与几何知识的结合点，要求学生掌握待定系数法求函数解析式，会用反比例函数的代数不变性和几何不变性，以及双曲线的中心对称性求解相关动点问题，在平行线的作图与证明中，既凸显符号意识、强化代数推理，又借助几何直观，运用全等相似. 通过问题驱动思维，增强问题意识，帮助学生在问题链的深层次思考与辨析中完善更高层次的反比例函数认知结构，积累解决函数与几何综合问题的策略. 问题引领，理性探索，及时准确地调控思维方向，有效消除思维定势的干扰;适时质疑，拓展变式，培养学生迁移和应用知识的“深度学习”能力（如图1），促进学生理性精神的提升，开启丰富学生心智.

四、教学过程

1. 呈现开放问题，解读对称性

问题1：如图2，已知[A1，3]，[B-1，-3]，你能写出同时经过这两点的函数解析式吗？

生1：直线AB的解析式为y = 3x，反比例函数的解析式为[y=3x].

追问1：如何知道反比例函数的图象能同时经过这两个点.

生2：因为A，B两点关于原点对称.

生3：因为A，B两点的横纵坐标之积相等.

追问2：所求的一次函数的图象有什么特点？

生4：因为A，B关于原点对称，所以A，O，B三点共线，即直线AB过原点.

生5：由解析式为y = 3x，可知这个函数为正比例函数，所以其函数图象过原点.

问题2：我们已经知道一些画平行线的方法，如利用一副三角板推平行线法画平行线，用一个三角板借助网格来画平行线等，那么能用一个三角板借助双曲线来画平行线吗？如图3，已知直线AB：y = 3x，双曲线：[y=3x]，借助给出的图形，仅用一个三角板能画平行线吗？怎么画？为什么？

生6：如图4，过点O任作一条与AB不重合的直线交双曲线于C，D两点，连接AC，BD，AD，BC，根据双曲线的中心对称性得出OA = OB，OC = OD. 由此可知四边形ACBD是平行四边形. 所以AC∥BD，AD∥BC.

追问1：如图5，设AD，BC分别交x轴、y轴于点G，F，E，H，连接EF，GH，则EF和GH又有怎样的位置关系呢？

生7：易证△AOF ≌ △BOH，所以OF = OH. 同理可得OE = OG. 所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EF∥GH.

生8：因为[▱ACBD]是以点O为对称中心的中心对称图形，则有OF = OH，OE = OG，后面与生7的分析过程相同.

追问2：还有其他发现吗？

生9：因为FH⊥EG，所以[▱EFGH]为菱形.

【设计意图】通过设计写出同时过两点的函数解析式的开放性问题，一方面，探求点的坐标与函数解析式之间的内在联系;另一方面，引发学生理性认知对称性，为解决问题2激活思维. 仅用一个三角板借助双曲线画平行线的问题，引发了学生“借曲化直”的认知冲突，预热了学生的发散性思维，为后面的递进式探究做了有效的思维铺垫.

2. 生成跟进问题，体验解析法

问题3：借助双曲线，利用中心对称性可以快速、简便地画出多组平行线，试问图5中还有其他平行线吗？为什么？

学生经过独立思考、自主探索后，进行交流展示.

困惑：设点C的坐标为[Cp，q]，则pq = 3. 利用待定系数法求得直线BC的函数解析式为[y=q+3p+1x+q-3pp+1]. 则[E3p-qq+3，0]，[H0， q-3pp+1]，[F0， 3p-qp+1]. 如圖6，过点C作CP⊥Ox于点P，过点A作AQ⊥Oy于点Q，则[PE=p-3p-qq+3=pq+qq+3=3+qq+3=][1=AQ].

只需证明[QF=3-3p-qp+1=3+qp+1=CP]（*），即可证明Rt△CEP ≌ Rt△FAQ，所以AF = CE. 因为AF∥CE，所以四边形ACEF是平行四边形，从而得出结论，但（*）没证出来.

解惑1：代入消元，将[p=3q]代入（*），通过通分和约分可得QF = q，从而求解.

解惑2：常数代换，将3 = pq代入（*），通过因式分解和约分可得QF = q，于是获证.

解惑3：换法设元，设[Cp， 3p]，利用待定系数法求得直线BC的函数解析式为[y=3px+3-3pp]，则[Ep-1，0，H0， 3-3pp，F0， 3p-3p].[则有PE=]

[p-][p-1=1=AQ]，[QF=3-3p-3p=3p=CP]，后续步骤同上，略.

启发1：借助设元，运用代数推理可以用字母表示相关的线段，只需由直线BC的函数解析式求得点E与点H的坐标. 如图7，过点B作BJ⊥Oy于点J，易证

Rt△CEP ≌ Rt△HBJ. 所以CE = BH. 而AF = BH，所以AF = CE，后面步骤同上，略.

启发2：函数解析式[⇔]点的坐标[⇔]线段长度，三者之间实现相互转化，同理可求得，如图8，直线AC与x轴的交点M，与y轴的交点N，易证△EOF ∽ △MON. 所以∠OEF = ∠OMN. 所以EF∥AC.

启发3：由角导线，从已知点出发构造简化运算，如图9，过点A作x轴的垂线与过点C作y轴的垂线交于点I，易证Rt△EOF ≌ Rt△CIA. 所以∠OEF = ∠ICA. 因为∠ICA = ∠OMN，所以∠OEF = ∠OMN. 所以EF∥AC.

【设计意图】充分利用生成资源跟进，自主揭示，从函数图象与几何图形结合的角度整体建构. 由双曲线上的交点连线画出平行线到坐标轴上的交点连线产生新的平行线，由图象的直观观察猜想到代数方法的精确计算，可谓关联巧妙，顺势而为，体现“笨”方法中运算能力的重要性. 从知识本身的内在联系和学生思维点出发，凸显符号意识，借助代数推理获得线段长度，为全等或相似或平行四边形提供条件，发现切入点、讨论聚焦点、分析疑惑点、思辨启发点，从而形成多种设元方法，提高学生的分式运算能力，增强学生的逆向思维能力.

3. 转换探究问题，感悟几何法

问题4：如图10，连接PQ，则PQ与AC有怎样的位置关系呢？

生10：同上借助代数推理，结合全等或相似或平行四边形均可证明PQ∥AC.

生11：如图10，利用已有结论EF∥AC，易证

△CME为等腰三角形. 由三线合一，可知PM = PE = 1. 所以AQ = PM. 因为AQ∥PM，所以四边形AQPM为平行四边形. 所以PQ∥AC.

生12：利用反比例函数的几何不变性，即过双曲线上的点作坐标轴的垂线后得到相关的矩形或三角形面积具有不变性. 如图11，连接AP，CQ，则[SAPQ=32]，[SCPQ=32]. 所以[SAPQ=SCPQ]. 显然点A和点C到直线PQ的距离相等，于是得PQ∥AC.

追问：如果过点A作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，是否存在类似的结论呢？可以用刚才的方法证明吗？你会进行怎样地推广？

类比推广1：如图12，过点A作AK⊥Ox于点K，过点C作CL⊥Oy于点L，连接LK，则LK∥AC.

类比推广2：如图13，过点B分别作BI⊥Ox于点I，BJ⊥Oy于点J;过点C分别作CP⊥Ox于点P，CL⊥Oy于点L，连接PJ，IL，则PJ∥BC∥IL.

类比推广3：上述平行的结论与证明的方法对任意双曲线[y=kx]和该双曲线上关于原点对称的A，B两点都成立，即过反比例函数图象上的任意两点分别向两坐标轴作垂线段，经过这两个垂足的直线与经过这两点的直线互相平行.

【设计意图】前面部分都是只利用一个三角板连线即可获得平行线，但是在证明过程中出现了添加垂线的辅助线，乘胜追击，借此观察新图形，继续探究位置关系特征，及时引导学生对题中所给结论和已采用的方法进行深度思考和有效追问，发现运用几何直观进行等积转化的妙用，简洁明了、行之有效. 让学生由问题发现新问题，经历从特殊到一般、从归纳到演绎的思维历程，通过合情推理、类比、迁移，拓宽解题思路，提炼数学模型.

4. 变式拓展问题，引发创造性

问题5：图14是两个反比例函数分别位于一、三象限的一支双曲线，借助给出的图形，仅用一个三角板能画平行线吗？怎么画？为什么？

生13：如图15，过点O的直线AC分别交函数[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x<0]的图象于点A和点C，过点O的直线BD分别交函数[y=k1x][k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x<0]的图象于点B和点D，连接AB，CD，则AB∥CD.

思路解析：如图16，分别过点A，C作AE⊥Oy于点E，CG⊥Oy于点G，分别过点B，D作BF⊥Ox于点F，

DH⊥Ox于点H，易证[OAOC=SAOESCOG=k1k2]，[OBOD=SBOFSDOH=][k1k2]. 所以[OAOC=OBOD]. 因为∠AOB = ∠COD，所以△AOB ∽△COD. 所以∠OAB = ∠OCD. 所以AB∥CD.

自主质疑：图17是两个反比例函数分别位于第一象限的一支双曲线，借助给出的图形，仅用一个三角板能画平行线吗？

发散联想1：如图18，射线OA分别交函数[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x>0]的圖象于点C和点A，射线OB分别交函数[y=k1x k1>0，x>0]和[y=k2x k2>0，x>0]的图象于点D和点B，连接AB，CD，则AB∥CD.

发散联想2：如图19，A，B为函数[y=k2xk2>k1>0，][x>0]图象上的任意两点，过点A，B分别作x轴的垂线交函数[y=k1x x>0]图象于点F，D，作y轴的垂线交函数[y=k1x x>0]图象于点C，E，连接CD，EF，则AB∥CD∥EF.

思路解析：如图20，分别延长AF，BD交x轴于

点N，H，延长AC，BE交y轴于点G，M，连接GH，MN，由上可知GH∥CD，GH∥AB. 所以AB∥CD. 同理，MN∥EF，MN∥AB. 所以AB∥EF. 所以AB∥CD∥EF.

【设计意图】变式拓展，建立联系，融会贯通，深思提能. 围绕新问题剖析、梳理图象位置变化与几何图形之间的关系，准确捕捉思维节点，突破思维定势，熟悉图形结构，理解图形构造原理，有利于学生体验构造基本图形的合理性与多样性，感悟问题内涵思维的关联性与灵活性.

五、教后反思

1. 基于“数学现实”，设置“生长性问题”驱动探究

在学习过程中以学生已有的认知水平和思维水平为基础，设计让学生“跳一跳，够得着”的问题，这样既有利于让学生感到问题的挑战性，引领他们积极思考，又能使其感受到成功的喜悦，激发他们继续深入探究的激情和勇气，必要时搭好“脚手架”，适时探讨交流、回顾反思、体会方法、感悟思想，提供思维内化与思想方法领悟的时间与空间. 本课例挖掘“借助双曲线画平行线”问题资源开展深度学习，创设“写出同时经过这两点的函数解析式”的开放式教学情境，激活学生“双曲线中心对称”的问题意识，点燃“构造平行四边形与菱形”的思维火花，鼓励学生质疑提问“含有双字母的烦琐的代数推理”，给学生提供表达自己的见解、思路和提出问题的机会，转换“交点连线到垂足连线”的问题视角，揭示反比例函数横纵坐标乘积的代数不变性与矩形或三角形面积的几何不变性，以特殊到一般及由一个到多个的合理生长，重视对学生思维“最近发展区”的关注，当学生在某些知识或概念的理解上出现“思维断层”而百思不得其解时，教师要找准学生的“最近发展区”，适时搭建“思维脚手架”，做好铺垫工作，学生“借梯”拾级而上，顺利地跨越“已知区”到“最近发展区”，引导学生在尝试与探究体验中积极思考，让知识能力、思维训练、问题解决等真正得以发展.

2. 基于“类比探究”，注重方法内化培育核心素养

数学素养的生存依赖于学生在数学活动中对应的体验、感悟和反思，以培养数学学科核心素养为主旨的教学，应该从以教为主向以学为主发展，关注由“一题”至“一类”的问题解决方法提炼，整体感知知识结构，多角度理解问题的深层结构，才有利于数学学科核心素养的发展. 合理类比联系“可疑”问题——借助设元，运用代数推理可以用字母表示相关的线段;顺应类比迁移“相似”方法——符号意识解析法，几何直观面积法;巧用类比探究“拓展”问题——对任意双曲线的任意两个动点还成立吗？借助两个不同反比例函数图象还能画平行线吗？能用类似的方法加以解决吗？形成探究线之间位置关系的基本经验能类比、迁移、运用吗？类比探究彰显整体，为学生搭建数学学习的典型框架，让学生主动地参与深层次的思维活动形成基本的数学观念，能用类似的方法加以解决吗？以“怎么做、怎么想到这样做，以及同一类型还可以怎么做”设计类比探究，提供交流平台，提供真实体验，强调自主互动，注重方法内化，感受数学“变中不变”的思想. 正如章建跃博士所说：“研究的对象在变，研究套路不变，思想方法不变，这就是数学基本思想、基本活动经验的力量”.

参考文献：

[1]朱建良. 落实“问题为中心”的任务驱动型教学及反思[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（6）：24-26.

[2]徐成祥. 一道开放型函数题的教学与思考[J].中学数学教学参考（中旬），2019（12）：44-46.