关于初中数学建模教学的模型认知

李希芳

[摘  要] 要想切实有效地推进初中数学建模教学，教师心中就必须有一个准确的关于数学建模教学的模型认知. 数学建模的过程包括这样几个环节：一是感觉、知觉的启动;二是图式的形成;三是图式的表征;四是认知结构（模型）的形成与运用. 数学建模教学的模型认知可以这样建构：基于数学建模的视角分析教学内容，判断学生可能的图式并寻找恰当的素材以创设教学情境，然后通过数学抽象等具体的方法的运用，帮助学生建立新的图式，并以准确的数学语言来描述这一图式，以促成模型的形成，最后在问题解决的过程中运用巩固这一模型.

[关键词] 初中数学;数学建模;模型认知

数学建模作为初中数学教学研究的重点课题，这么多年来可以说是长盛不衰. 从专业研究的角度来看，数学建模及其研究的价值是不言而喻的，但是对于一线教师而言，数学建模又常常变成“鸡肋”，一个很重要的原因，就是相当一部分教师不知道数学建模教学应当如何进行. 这是一个很现实的问题，尽管绝大多数教师都知道模型是人们为了某种特定目的而对认识对象所做的一种简化的描述，而数学建模就是运用数学思维对认识对象进行简化以得到数学模型，很多时候这种概念性的认识，很难转化为具体的教学生产力，这其中的原因又是什么呢？笔者通过研究与反思发现，一个很重要的原因就是，教师对数学建模的程序认识并不清晰，对学生数学建模过程中的思维的把握不准确，其结果就是“以其昏昏，使人昭昭”，这样数学建模教学的效果自然也就不好. 因此要想切实有效地推进初中数学建模教学，教师心中就必须有一个准确的关于数学建模教学的模型认知，这是笔者近年来一个显著的认识. 在此将笔者的认识总结出来，以与同行分享.

数学建模的教学需要形成模型认知

在教学中教學思路不能僵化，通常也强调不能有模式化的思想. 但模式不是模式化，实际上无论是数学学习，还是生活中的问题解决，都离不开模型，哪怕是没有接受过教育的人，在解决问题的时候也往往会形成自己的模型. 所以数学建模教学的意义，无疑在于将人在问题解决过程中的建模思路进行提炼，以形成更加简洁高效的建模能力. 同样的，对于数学建模教学的理解，也必须有一个模型认知，只有对数学建模教学的过程进行建模，才有可能让教师把握住数学建模教学的实质，从而让数学建模教学的过程变得更加高效. 那么对数学建模教学的模型认知应当是怎样的呢？笔者以为，要解决两个问题：一是对数学建模过程的认知理解;二是对数学建模教学过程的认知理解.

从认知的角度来看，数学建模的过程包括这样的几个环节：一是感觉、知觉的启动;二是图式的形成;三是图式的表征;四是认知结构（模型）的形成与运用. 这四个环节都是从认知心理学的角度对数学建模过程进行的描述. 由此可以发现，数学建模的过程实际上是从最基本的感知开始的，其既涉及学生原有的图式，也涉及新的图式的形成与表征，进而形成成熟的数学模型. 具体的教学过程中，教师是通过创设情境去启动学生的感觉与知觉的，是通过数学抽象等过程让学生形成新的图式的，是用数学语言去表征图式以形成数学模型的，是在具体的数学运用中巩固模型认识的.

从数学建模教学的角度来看，数学建模教学的过程，可以理解为在遵循数学教学规律的基础上将学生在现实生活中的经历抽象成数学模型，并对数学模型进行解释运用的过程. 基于上述对数学建模认知的理解，那么对数学建模教学的模型认知或许就可以这样建构：基于数学建模的视角分析教学内容，判断学生可能的图式并寻找恰当的素材以创设教学情境;然后通过数学抽象等具体方法的运用，帮助学生建立新的图式，并以准确的数学语言来描述这一图式，以促成模型的形成;最后在问题解决的过程中运用、巩固这一模型.

基于数学建模模型认知的教学案例

关于初中数学建模模型认知，其实有同行做过相关的研究，所总结出来的认识与笔者大体相同，比如说有同行总结数学建模包括三个认知过程：模式识别与表征，建立数学模型并求解，数学模型的检测、评价;并且强调不同建模方法在同一个情境问题中的应用，能够反映出不同建模法的内在联系和异同. 对于建模的目标设定，一定要与基本的教学方法和策略相适应. 结合这些表述，可以通过对教学案例的分析，来理解数学建模的模型认知.

以“余角和补角”的教学为例，从数学建模的角度来看，只要学生建立起了“互余”与“互补”的概念，那么模型的建立就是成功的. 传统教学中，这个问题被理解为计算问题——相加等于90°或180°即可;数学建模的视角下，要帮助学生建立的是一种模型认识，最终是指向能力的迁移的（这一点与核心素养密切相关）. 基于这一思考，笔者在教学中是这样设计的：

首先，让学生拿出自己文具包中的两个三角板，比较两者之间的异同. 学生通过比较发现：两个三角形的形状是不一样的. 教师可以进一步追问：哪里不一样？有没有相同的地方？从数学建模的角度来看，三角板是学生最为熟悉的学习工具之一，利用他们可以有效地激活学生的感觉与知觉;而让学生比较两者的不同，学生会自发地从“角”的角度去比较，这种“自发过程”实际上就表明了学生原有图式的存在.

其次，学生通过比较可以发现，两个三角板相同的是都有一个直角，不同的是两个锐角的角度不一样，一为两个45°，一为30°和60°. 通过这样的比较，又能发现什么呢？教师不妨如此引导学生：一个三角板里如果确定了其中一个角是90°，那么另外两个角必然是什么关系？此时学生自然会发现另外两个角的和也是90°，而且这是必然的. 这个时候教师让学生在大脑里面想象，并构建一个动态表象：一个三角形，一个角是直角，另外两个角中一个角的变化会引起另外一个角的变化，但是和不变——教师也可以借助现代教学手段，用动画的方式帮学生建立这个表象.

其后，让学生用数学语言描述自己的发现——如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即一个角是另一个角的余角. 类似的，补角的概念也遵循这样的过程来进行.

最后，数学应用. 具体可以分为两个层次：一是理解余角的时候，让学生将两个等腰直角三角板拼成一个正方形，或者将30°和60°的三角板拼成长方形，理解补角的时候，让学生之间进行合作，各提供一个角以拼成180°角. 二是试图向生活延伸，尤其是生活中常常有“互补”的说法，不妨让学生结合数学角度对补角的定义，去理解生活中的这些说法.

上述四个教学环节，实际上就对应着数学建模认知过程的四个环节，而从教学的角度来看，从情境的创设到问题的提出，从已有经验的调用到新的概念的形成，正是上面所强调的数学建模模型认知的基本内容. 大量事实表明，在带着数学建模的思路进行教学的时候，教师的思路往往是清晰的，学生建模的过程也是简洁的，所建立起来的数学模型是清晰且可用的.

关于初中数学建模的模型认知思考

回到文章开头所说的那个问题，其实在初中数学教学中，关于数学建模的教学确实存在着悖论：理论上的重要性与实际教学中的忽视，是一对矛盾;教师认为学生在数学学习过程中必须学会建立数学模型，但自身对数学建模的教学却不太重视，或者说重视之后力有不逮. 这些现象都表明，初中数学建模的教学，落脚点在学生，而出发点却在教师.教师既要认识到模型思想是重要的数学思想之一——《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，要使学生初步形成模型思想——同时也要认识到只有自己重视数学建模的教学，知道如何引导学生进行高效的数学建模，才能让学生经历一个科学的数学建模过程，从而在顺利地建立起数学模型的同时，掌握数学建模的方法或者模式.

因此笔者认为，教师对数学建模的模型认知是非常必要的，抓住学生数学建模的关键环节，然后从教学的角度去满足这些环节所需要的因素，实际上就是一种模型认知. 像上面所提到的，要启动学生的感觉与知觉，就必须用学生熟悉的素材去创设情境;要激活学生原有的图式，就必须重视学生已有的先前经验;要引导学生形成新的图式，就要借助数学思想和方法;要让学生的数学模型成型，就必须引导学生学会准确地使用数学语言（这也就意味着对已经学过的数学概念和规律的理解必须精确）;要巩固形成的模型，就必须给学生提供模型应用的情境，又或者说问题解决的情境，等等.

总之，初中数学教学要重视数学建模的教学，重视数学建模的教学就要重視数学建模的重要环节，重视这些重要环节就要让教师形成清晰的模型认知，只有这样数学建模的教学才能形成一个良性循环.