借助“概念图”搞好课堂教学设计

袁健 李克民

[摘  要] “尺规作图”是初中几何教学的重要内容之一.很多一线教师仅仅把尺规作图看作是技能训练，疏忽了画图原理的理解和画法探究教学的过程价值，实际上尺规作图中蕴含着重要的逻辑推理能力和思维创新能力. 以“概念图”为抓手引导学生从模型图再到尺规作图的教学过程，启发学生理解作图的过程与合理性，是非常有益的教学尝试.

[关键词] 概念图：解题教学：尺规作图

问题提出

苏科版教材八年级上册第1章第3节第7课时的基本的尺规作图：

例题：从木工师傅的画法中，你能找到直尺和圆规作角平分线的方法吗？

作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D.

②分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M.

③作射线OM.OM就是∠AOB的平分线.

教材分析

1. 教学目标分析

本课课标要求是“尺规作图”中会作一个角的平分线，会过一点作已知直线的垂线，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法. 常见的教学方法是出示作法并证明它的正确性，容易忽视作图道理的呈现，这样的教学过程难免有强塞的嫌疑，这样的教学也不利于学生接受.由于八年级的学生还处于形象思维向抽象思维过渡时期，对抽象的表述不易接受，因此在教学过程中教师创造“模型图”，并引导学生理解作图的道理很有必要.

2. 设计环节分析

为了更直观地、完整地呈现尺规作图的教学流程，笔者使用了“概念图”，围绕“节点”，“链接”不同“节点”，并附“有关文字标注”来说明不同节点的概念关系，让所探究的“节点”清晰、学习任务明确、思维关系直观，引导学生理解模型图，规范作图，提升抽象思维能力和作图能力.

“尺规作图”的功能与价值

尺规作图能培养学生动脑、动手的探索能力，能培养学生有条理的语言表达能力，协调发展学生合情推理和演绎推理的能力.在本课中设计三个作图阶段，体会尺规作图的价值.

1. 关注课标要求——低起点

在探究一个角的平分线的作法之前，先设置一个例题：如图2，在△OMC和△OMD中，CO=DO，CM=DM，求证：∠COM=∠DOM.

例题所蕴含的本质规律有助于我们探究出正确的作图过程，在探索问题本质的过程中，使学生认知发生质的飞跃.因此，接着通过“过直线上一点作已知直线的垂线”的研究分析，相当于作一个平角的平分线，把问题从一般引入到特殊，强化对新知巩固的同时，启发学生对知识的转化、顿悟、强化.

在研究尺规作图的过程中，笔者设计了概念图（如图3），充分铺垫，构造几何模型，精心预设例题，让学生更容易理解例题教学，并能简单应用，夯实“双基”，培养学生分析问题、解决问题的能力.

2. 基于学情——缓抬高

德国天文学家、数学家开普勒曾指出：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.”

为了实现“过直线外一点作已知直线的垂线”的几何作图，笔者类比第一阶段的作图过程先引导学生完成一道预设的几何证明例题，再探究尺规作图的过程，实现对该例题的思辨迁移功能，有意识培养学生有条理的思考与表达的能力，进一步感受思维的深刻性，提升逻辑思维能力，渗透类比、转化的基本思想.如图4是概念图的分析思维过程.

3. 构造模型——翘尾巴

为了检验学生的学习情况，笔者设置了一个尺规作图问题：用尺规作一条线段的垂直平分线. 通过图5的概念图分析，引导学生利用类比、转化思想独立思考，启发学生如何命制几何证明题，并完成证明及作图过程.

在这一阶段的尺规作图教学中，教师引导学生将独立思考与合作交流相结合，将动手操作、几何直观、有条理的说理相结合，关注学生如何想、怎样做，训练逆向思维、发散思维，感受模型思想、推理思想.

欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验.”学生在几何作图中不仅积累了基本活动经验，而且还通过观察、操作、猜想、实验，培养了发现问题、提出问题的能力.

教学过程（含教学片段）

环节1：复习巩固  构建联系

问题1：我们学习了哪些证明两角相等的方法？

分析：证明两角相等的方法主要有：对顶角相等，同角 （或等角 ）的余角相等，同角 （或等角 ）的补角相等，全等三角形的对应角相等，平行线中的同位角和内错角都分别相等，角平分线分得的两个角相等. 结合尺规的特点，要在角的内部找一点，笔者引导学生用“全等三角形的对应角相等”来证明.

问题2：如图6，在△OMC和△OMD中，CO=DO，CM=DM，求证：∠COM=∠DOM.

分析：前面几节新课，已经学习了证明三角形全等的方法，如SAS，ASA，AAS，SSS，HL. 通过概念图的三角形全等的判定这个节点入手，分析本题的已知条件，不难发现除了已知以外，还有一个公共边的隐含条件. 证明三角形全等后，便可证明要求证的角相等，为尺规作图的依据做铺垫.叶圣陶先生曾说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还得靠教师善于运用. ”这样的设计让学生小步子、缓台阶、易接受，符合学生的学情.

环节2：生活情境  分析转化

问题3：木工师傅常常利用角尺平分一个角，如图7，在∠AOB的兩边OA，OB上分别取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.请你说明这样画角平分线的道理.

分析：这是一个生活情境，渗透工人师傅使用角尺作一个角平分线的方法所蕴含的道理，引导学生主动探究角被平分的原因，理解问题、分析问题，学生不难想到将已知条件转化为环节1中证明两个三角形全等的条件“三边分别相等”，进而把现实问题转化为数学问题，顺利证明角被平分.

环节3：模型替换？摇 尺规作图

问题4：从木工师傅的画法中，你能找到直尺和圆规作角平分线的方法吗？怎样使用尺规作图呢？（结合概念图引导学生从理解到表达）

【教学片段1】

关键点1：结合图7，确定模型，在OA，OB上分别截取点C，D.

生1：我们可以将木工师傅在OA，OB上分别取的OC=OD用圆规截出.

教师：怎样得出这一步的作法？

生2：以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D

教师：怎么理解任意长为半径？

生3：长度不唯一，但是也得受圆规张开度的限制，所以实际上也是限制了长度的.

教师：很棒！考虑得符合实际. 接下来，我们该怎么用尺规作图呢？

关键点2：结合图7，在∠AOB的内部确定点M.

生4：依照木工师傅的模型图，我们确定点M的位置分别以点C，D为圆心，任意长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M.

生5：（有几个同学看起来很着急，跃跃欲试的样子，此时笔者假装镇定叫一名学生回答）老师，不能以任意长为半径作弧，如果以小于CD的长为半径作两弧是没有交点的，应该以大于CD的长为半径作弧.

教师：半径能刚好等于CD吗？

生6：应该可以，这时两条弧相切，只有一个交点，但是由于实际作图的铅笔画线有粗有细，两弧切点的位置很难确定，选择以大于CD的长为半径作弧更容易交于角内一点作射线OM，OM就是∠AOB的平分线.

环节4：巩固应用  承上启下

思考：点P在直线AB上，如何用直尺和圆规经过点P作AB的垂线？

分析：结合概念图，本小题用直尺和圆规所作的垂线，可以转化为作一个平角APB的平分线所在的直线，将归纳角平分线的尺规作法特殊化，进而解决了“过直线上一点作已知直线的垂线”的作法，这样不仅应用了角平分线的作法，而且引导学生将问题转化，起到了承上启下的作用.

环节5：自主探究  小组讨论

如图8，PC=PD，QC=QD，PQ，CD相交于点E，你能证明PQ⊥CD吗？

分析：用概念图引导，本题要进行两次全等证明. 具体是本题从结论入手，要证PQ⊥CD，可以转化为证∠PED=90°，即∠PED=∠PEC;要证这两个角相等，只需证△PCE≌△PDE. 从已知条件PC=PD和隐含条件PE=PE上看，缺少“两个夹角相等（∠CPQ=∠DPQ）”的条件，而这两个夹角又在△PCQ和△PDQ中，需要用“SSS”的方法证明△PCQ≌△PDQ，进而证得∠CPQ=∠DPQ.

环节6：模型再套 ？摇尺规作图

解决问题：用直尺和圆规经过直线AB外一点P作AB的垂线.

【教学片段2】

关键点3：在直线AB上确定C，D两点.

教师：结合图8，理解模型，如何用尺规确定C，D两点？

生7：可“复制”图8中的PC=PD，如图9，以点P为圆心，大于P到CD的距离为半径作弧，使它与AB交于点C，D.

教师：为什么要以大于P到CD的距离为半径作弧？

生8：否则以点P为圆心画弧无法与直线AB相交于两点.

关键点4：确定点Q.

教师：要过点P作出AB的垂线，只要再确定一个点Q就可以了，因为“两点确定一条直线”，结合图8，那么该怎样确定点Q呢？

生9：由CQ=DQ可知，分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径在AB的同侧作弧，两弧将于点Q.

生10：连接PQ，直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线.

教师用括号概念图板书小结：

作一角的平分线作法依据模型图

作一直線的垂线作法依据模型图？摇？摇

环节7：回顾反思？摇 总结方法

从遗忘的角度来看，学生忘记作图步骤、忘记知识点很正常，但从记忆的角度来说，如果一个知识点能从理解接纳的层面被学生吸收，成为学生内化的技能，则不易出错也不易遗忘[1]. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图痕迹[2]. 于是，在每次作图前，笔者引导学生先理解作图的依据，正所谓“知其然，知其所以然”，接着再归纳尺规作图的方法.

环节8：拓展延伸？摇 链接课外

尺规作图：如何作一条线段的垂直平分线？依据是什么？

说明：引导学生将学习获得的知识经验正迁移，尝试进行独立探究，提升解题能力.

查阅资料：了解几何的尺规作图三大难题，分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题.

教学启示

1. 设计模型图，低起点，缓爬坡，“概念图”引领解题过程

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础[2]. 本节的尺规作图教学，笔者引导学生在复习判定三角形全等的基础上构建模型图，再探究尺规作图，符合学生的认知规律，把即将生成的知识点靠近了学生的最近发展区，培养了学生抽象思维能力和作图能力.

使用概念图串联作图的生成过程，可以帮助教师从整体上把握本节课的知识要点、脉络与框架，对教材进行深度分析培养了学生“从数学角度发现问题并提出问题，分析问题并解决问题”，概念图引领了知识的生长过程，提升了解题能力.

2. 慢慢渗透作图过程，理解作图依据，感受尺规作图的严谨性

《朱子语类》卷九《论知行》篇中提出：知其然，知其所以然. 引申的意思是既知道事物的表面现象，也知道事物的本质及其产生的原因.本课的尺规作图教学，笔者采用了逆向思维先引导学生思考证明两角相等的方法，再建构模型引导学生理解尺规作图的证明依据，学生更深刻地理解了为什么这么做，体会了“具象—抽象”的辩证过程，感受解题的快乐.

奥苏伯尔的“有意义学习理论”，即学习者必须积极主动地使新旧知识不断分化重新组织，才能转化为自己的认知结构，这个有意义学习是一个主动的过程. 概念图引导学生借助模型图进行尺规作图，积累了学生的学习经验，促进学生学会自主学习，培养学生的核心素养.

参考文献：

[1]张逸. 做有素养的教师  培养有素养的学生——以“作一个角等于已知角”为例[J]. 中学数学教学参考，2019（08）.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准[M]. 北京：北京师范大学出版社， 2011.