基于变式题组理念的教材课时整合教学

黄信永 施贤谊

[摘  要] 文章以“等边三角形”为载体，借助变式题组驱动教学活动的开展，凭借课时整合促进知识体系的构建，并针对教学实录从“教学目标引领”“教学知识整合”和“变式题组设计”三个角度进行教学有效性的探讨.

[关键词] 变式题组;教材课时整合;初中数学

变式题组教学是中国数学教学的特征之一，顾明远教授在其主编的《教育大辞典》中给出了变式的定义：在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征[1]. 教材课时整合教学是一种针对教材进行深度再开发的教学行为，它立足于教材，依据课程标准和学生的学情，灵活地“用教材教”，而不是“教教材”，进一步“创造性地使用教材”. 凭借教材课时整合教学对同类问题进行探究，通过变式题组促进知识的正迁移，在给予学生充分探究时间的同时，有利于学生从整体上把握知识之间的内涵和外延，化知为智，达到融会贯通的教学效果.

教材是编写者根据课程标准编制的承载知识的重要载体，凝聚着编者们的智慧和心血，具有典型性、科学性和示范性，但对于不同师生群体来说教材往往有其局限性，这对教师科学地使用教材提出了更高的要求，也为教师进行教材整合提供了广阔的空间. “记问之学，不足以为人师”，教师应不断地更新教育理念，以现有版本教材为改造范本，注重不同版本教材和相关资料的研究. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，教材的编写要有利于调动教师的主动性和积极性，有利于教师进行创造性教学. ”[2]基于此，笔者不揣浅陋，以人教版教科书“等边三角形”为例，谈谈基于变式题组理念的初中数学教材课时整合教学的实践和思考.

基本情况

1. 教材分析

本节课选自人教版教材八年级上册第十三章. “等边三角形”内容安排有两个课时，第一课时是等边三角形的概念，等边三角形的性质、判定方法及其轴对称性;第二课时是探究和应用含30°角的直角三角形的性质. 本节课试图将两个课时的内容整合在一起进行授课，力求压缩课时成本，提高课堂效率.

2. 学情分析

本节课的授课对象是玉环县城关一中的八年级学生. 对于等边三角形的知识，学生在小学阶段已经有了初步的认识，但是只停留在感性的认识层面，系统性的知识在小学阶段缺乏足够的渗透. 在初中阶段，学生已经学習了等腰三角形的性质和判定方法等内容，且他们思维活跃、情感丰富，具备了比较强的观察、分析、归纳和总结的能力，这为教材课时整合教学的顺利开展提供了有力的保障.

3. 重难点分析

授课对象是基础知识扎实、学习经验丰富的八年级学生，所以本节课的教学重点定位于探索等边三角形的性质和判定方法，掌握含30°角的直角三角形的性质;等边三角形的性质和判定方法的综合应用是本节课的难点.

4. 教学目标

基于授课学生的实际情况，从学生的长远发展考虑，笔者制定了如下教学目标：

（1）以题串知，通过“简而不减”的以等边三角形为背景的变式题组构建知识有机整体，驱动学生将“无限”变式问题转化为“有限”本原问题.

（2）因题提能，引导学生在变式问题中了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质和判定方法以及含30°角的直角三角形的性质，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

（3）借题示法，经历“观察—实验—猜想—验证—概括”的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力，引导学生感受类比思想、转化思想等数学思想和方法的重要性.

教学实录与分析

1. 巧借变式题组，整合教材内容

师：（教师拿着一个等边三角形学具模型）同学们，这是什么图形呢？

生：等边三角形. （学生异口同声地回答）

师：是的，这是大家分别熟悉的等边三角形，我们今天一起来学习等边三角形的相关知识，那么等边三角形ABC（图1）具有怎样的性质呢？（开放性问题1）

生1：AB=BC=AC.

师：对，我们知道等边三角形是三边都相等的等腰三角形. 反过来，若一个三角形三边相等，那么这个三角形就是等边三角形. 还能得到什么吗？

生2：三个角相等.

师：为什么呢？

生2：因为AB=AC，由“等边对等角”可得∠B=∠C;同理，∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，且都等于60°.

师：很好，还有没有？

生3：等边三角形是特殊的三角形，因此它是轴对称图形，并且有三条对称轴.

师：好，现在增加一个条件，大家又能够得到哪些结论呢？

开放性问题2：如图2，在等边三角形ABC中，作AD⊥BC，能够得到哪些结论呢？

生4：由“三线合一”可以得到∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=BC=AB=AC.

师：非常好，我们由此得到一个很重要的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的边等于斜边的一半.

师：假如再增加一个条件呢？

开放性问题3：如图3，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，作DE∥AC交AB于点E，能够得到哪些结论呢？

生5：由△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠B=∠C=60°. 由DE∥AC，可得∠BED=∠EDB=60°，故BE=BD=ED，所以△DEB是等边三角形.

师：是的，这是等边三角形的另一个判定方法——三个角都相等的三角形是等边三角形. 大家还能找到等边三角形的其他判定方法吗？

生6：如果等腰三角形的一个顶角等于60°，那么这个三角形是等边三角形. 因为顶角等于60°，所以底角也等于60°，从而三个内角相等.

师：好，那假如把顶角改成底角呢？

生6：也可以，由底角等于60°，同样可以推理出三个内角都相等.

师：由此我们找出了等边三角形的第二个判定方法：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

（生7高高地举起了手）

生7：有两個角等于60°的三角形也是等边三角形.

师：是的，我们容易知道这是真命题，但这不是定理，这一点大家要注意.

教学说明  在教学目标的引领下，开门见山式地抛出开放性问题1，回归学生已有的认知经验，引导学生对等边三角形进行探究. 借助问题1的驱动，教师通过增加条件呈现开放性问题2，具有层次性但又不失内容与方法的熟悉与深刻，从而激发学生的求知欲，为开放性问题3的引出奠定了基础.

2. 再借变式题组，强化问题本原

师：我们接下来看这么一个问题.

问题4：如图4，点D，E分别在等边三角形ABC的两边上，且BD=CE=2. 若∠EDC=30°，求AE的长.

生8：因为∠C=60°，∠EDC=30°，所以∠CED=90°. 根据含30°角的直角三角形的性质，由CE=2，可得DC=4，CA=BC=BD+CD=6，从而AE=AC-CE=4.

师：好，我们现在增加条件.

问题5：如图5，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且AF=BD=CE. 求证：△DEF是等边三角形.

生9：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C. 由AF=BD=CE，可得BF=CD=AE. 由“SAS”可得，△AEF≌△BFD≌△CDE，从而DE=EF=FD，故△DEF是等边三角形.

生10：我有第二种证明方法. 由△AEF≌△CDE，可得∠AEF=∠CDE. 由∠AED=∠C+∠CDE=∠AEF+∠FED，得到∠FED=∠C=60°;同理，∠EFD=∠EDF=60°. 所以△DEF是等边三角形.

师：很好，同学们用两种方法进行了证明，现在改变一下问题的条件.

问题6：如图6，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且AF=BD=CE. AD，BE相交于点G，BE，CF相交于点H，AD，CF相交于点I. 求证：△GHI是等边三角形.

生11：因为AF=BD=CE，AB=AC=BC，∠FAC=∠BCE=∠ABD，由“SAS”可得，△ABD≌△BCE≌△CAF，故∠BAD=∠ACF=∠CBE，∠BDA=∠AFC=∠BEC，由此可得∠AIF=∠BGD=∠CHE，即∠GIH=∠IGH=∠GHI，故△GHI是等边三角形.

生12：类似于问题5，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠IGH=∠GBA+GAB=∠GBA+GBC=60°;同理，∠GIH=∠GHI=60°. 所以△GHI是等边三角形.

教学说明  基于教材知识的关联性，在问题4的基础之上，通过增加题目条件自然过渡到变式问题5，学生会有似曾相识的感觉，同时为变式问题6的引入埋下伏笔. 本环节通过架构知识与知识之间的桥梁，有利于巩固等边三角形的性质和判定方法以及含30°角的直角三角形的性质，在自主构建知识体系的同时，提升教学目标的达成度，做到纲举目张.

教学思考

本教学案例始于本原，源于问题，基于变式，以题领题，构建命题之间的联系，促使教学内容变难为易、化繁为简，对课堂教学起到引领作用. 在这个过程中，学生体会变式题组的本质构成要素——等边三角形，真正掌握模块知识的核心. 笔者认为，用课程标准领航教学方向，用教学目标定位教学内容，用教材整合盘活教学体系，用变式题组创设灵动课堂值得一线教师倡导并践行.

1. 教学目标引领，前赴后继

在数学核心素养的导向下，教学目标自始至终统领着教学程序的设定、教学活动的组织、教学过程的优化和教学质量的评价. 本教学案例以几何核心知识“等边三角形”为载体，从学生已有的认知结构和知识的内部联系出发，围绕教学目标拾级而上. 因此，教学目标的核心地位不容动摇，由教学目标生成灵动的变式题组，可以杜绝课堂的盲目和低效，帮助学生快速正确地识别模式. 因此，教学必须遵循目的性原则，由此解决“为什么要变”“变什么”“怎么变”和“变到什么程度”等一系列问题，使课堂教学有章可循、有规可依.

2. 教学知识整合，上下联系

教材课时整合教学并不是简单地将两节或两节以上的课时合并为一个课时进行授课，也不仅仅是教学内容的简单替换、删减或补充，而是教师根据课程标准、不同的校情和学情，对教学资源进行整合再开发的过程. 因此，教材课时整合不具有普遍性，需要教师因地制宜地进行二次甚至二次以上的整合. 本教学案例基于知识的关联性，通过“提纲挈领”式的授课方式，利用两个主要教学环节、六个主要问题将等边三角形两个课时的内容进行整合，建立知识与知识之间的桥梁，促进点状知识联结成网状知识.

3. 变式题组设计，左右开弓

变式题组教学通过不同问题情境加深学生对数学知识和思想方法的理解，体会问题生成的自然性，在“变”中感受“不变”的本质，在“不变”中体会“变”的规律，将学生思维推向纵深. 有效的变式题组教学并非机械重复式学习，亦非无序探究式学习，而是改变传统的强制灌输式学习，促进知识条理化、系统化和结构化，帮助学生形成合适的问题解决表征.

问题是数学的心脏和思维的起点. 根据维果斯基的“最近发展区理论”，教学应着眼于学生的最近发展区，考虑学生已经达到的水平，并要走在学生发展的前面，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段水平. 因此，变式题组设计应具有层次性，立足于学生的最近发展区（可接受性），发展学生的高阶思维. 本案例通过问题1到问题3和问题4，再到问题6的变式动态生成问题组，逐步给学生带来了认知的矛盾冲突（挑战性），从而既能给基础薄弱的学生展示自我的机会，又能给基础扎实的学生深度探究的空间，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[3]. 除此之外，变式教学题组要追求问题的开放性. “有开放才会有聚焦”，阐明了问题开放性的价值所在. 本教学案例的开放性问题1到问题3紧紧围绕着教学目标，为学生提供了自主探究的舞台和思维驰骋的空间. 开放性问题在激发学生问题意识和培养学生创造性思维的同时，有利于教师及时捕捉学生的思维动态，实现“低起点多层次”的个性化教学，对教学的有效性起到了画龙点睛的作用.

参考文献：

[1]顾明远. 教育大辞典[M]. 上海：上海教育出版社，1998.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]刘乃志. 初中数学教材整合的思考和实施路径[J]. 中学数学教学参考，2017（Z2）.