关于导数综合应用的探讨与思考

易振宇

[摘  要] 导数作为研究函数性质的重要工具，可以应用于众多数学问题中，有利于解题思路的构建，可显著提高解题效率. 其中函数单调性、极值最值问题、零点问题和不等式问题是导数的四大应用点. 文章剖析导数应用的背景，结合实例探讨导数的应用，总结方法策略，开展教学思考.

[关键词] 导数;应用;单调性;极值;零点;不等式

导数应用综述

导数是高中数学的重点内容，高考对导数的考查力度逐年递增，命题的难度和广度也同步加大. 一般对该部分的考查分三个层次：第一层是掌握求导公式，灵活运用法则对函数求导;第二层是应用导数求解一些简单问题;第三层上升到综合能力，需要熟练运用导数来解决综合性问题. 从导数学习的三大层次来看，导数的应用是重点，因此开展导数的应用探究，总结方法策略是提升解题能力的关键.

应用探究及方法整合

导数不仅是重点知识，还可作为一种解题工具，在研究函数的单调性、求解函数极值与最值、分析函数零点、突破不等式问题中有着广泛的应用，下面将结合实例对其加以探究，并对解题方法进行整合.

应用一：研究函数单调性

研究函数单调性是导数的简单应用，分析对应函数在给定区间上的单调性实则就是判断f′（x）的符号，实际应用时需明确函数的定义域，在定义域内对导函数的符号加以讨论.

例1：已知某函数的解析式为f（x）=xea-x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，试回答下列问题.

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）求函数f（x）的单调区间.

解析：（1）求函数f（x）的解析式需要利用条件“点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4”，从而可得f（2）=2e+2，f′（2）=e-1，构建方程可解得a=2，b=e，故函数解析式为f（x）=xe2-x+ex.

（2）求函数f（x）的单调区间需要研究导函数f′（x）在定义域上的符号. f′（x）=（1-x）e2-x+e，令g（x）=（1-x）e2-x，g′（x）=（x-2）e2-x，可推得表1.

所以g（x）的最小值为g（2）=-1，则f′（x）的最小值为f′（2）=e-1>0，所以f′（x）>0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，没有减区间.

评析：利用导数研究函数单调性时可以按照如下步骤进行，第一步，确定函数f（x）的定义域;第二步，求导函数f′（x），将f（x）间断点的横坐标及实数根按顺序排列，并将其定义域分为若干区间;第三步，确定各开区间内f′（x）的符号，根据其符号来判定f（x）在区间内的增减性.

应用二：求解函数极值与最值

利用导数可以求解函数的极值与最值，这是导数的重要应用点. 对于该应用点首先需要充分理解极值与最值的概念，将两者加以区分，然后明晰函数极值存在的条件，同时把握其中的核心结论，如函数的极值可能有多个，但最值仅有一个，极值与最值可以相互转化.

例2：已知函数的解析式为f（x）=（ax2+x）ex，其中e为自然数的底数，a∈R.

（1）若a<0，求不等式f（x）>0的解集;

（2）若a>0，试分析f（x）的区间（-1，1）上是否存在最值？若不存在，说明理由.

解析：（1）可将不等式转化为ax2+x>0，又知a<0，则xx+■<0，所以不等式f（x）>0的解集为0，-■.

（2）可利用导数来分析函数在区间内有无最值. 求导函数f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，其图像的对称轴为x=-1-■<-1. 由于g（-1）·g（0）<0，则g（x）在区间（-1，1）内有零点，可将其记为x■，所以在区间（-1，x■）上g（x）<0，则f（x）单调递减;在区间（x■，1）上g（x）>0，则f（x）单调递增，所以f（x）的区间（-1，1）上有最小值，但无最大值.

评析：对于可导函数y=f（x），在点x■处存在极值需要满足两个条件：①f′（x■）=0;②点x■的左右两侧的f′（x）的符号不同. 在求解极值问题时要找准解题的突破点，确定讨论的关键，充分利用极值点存在的条件进行探讨，也可以结合相应的函数图像，观察图像变化的趋势，结合函数方程的特性来突破考题.

应用三：分析函数零点

函数的零点是高考的热点问题，判断零点个数的方法有很多，可利用导数来分析及判断函数的零点. 学习时需要理解函数零点的概念，把握零点的存在性定理，掌握导数分析零点问题的方法.

例3：（2018年理数全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，试证明：当x≥0时，f（x）≥1;

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值.

解析：此处重点求解第（2）问，设函数h（x）=1-ax2e-x，若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，则当且仅当h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，结合a的取值加以讨论.

（Ⅰ）当a≤0时，h（x）>0，h（x）没有零点;

（Ⅱ）当a>0时，h′（x）=ax（x-2）e-x. 在区间（0，2）上，h′（x）<0，在区间（2，+∞）上，h′（x）>0，所以h（x）在（0，2）上單调递减，在（2，+∞）上单调递增，故h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（2）=1-■.

①当h（2）>0时，有a<■，h（x）在（0，+∞）上无零点;②当h（2）=0时，有a=■，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点;③当h（2）<0时，有a>■，h（x）在（0，2）上有一个零点.

结合（1）问可知h（4a）=1-■=1-■>1-■=1-■>0，则h（x）在（2，4a）上有一个零点，故在（0，+∞）上有两个零点. 综上可知，若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，则a=■.

评析：使用导数分析函数零点的策略是先利用导函数来确定函数的单调性，然后结合零点存在性定理来加以分析. 学习时需要理解以下两个知识要点：一是函数单调性对零点个数的影响;二是配合零点与单调性确定函数符号，掌握导数求解函数零点综合问题的方法.

应用四：破解不等式

导数在破解不等式综合问题中同样有着广泛的应用，如参数范围、数列不等式、恒成立问题等，问题突破时需要结合不等式的特征结构来构造函数，利用导数讨论函数的单调性，结合不等式的性质破解.

例4：已知函数的解释式为f（x）=（1-x2）ex，当x≥0时有f（x）≤ax+1，试求a的取值范围.

解析：当x=0时，显然不等式成立，a可取任何值. 而当x>0时，问题转化为a≥■=g（x），即■g（x）=1，可猜想g（x）<1. 下面证明当x>0时，g（x）<1成立，实际就是证明f（x）-x<1. 构造函数h（x）=f（x）-x=（1-x2）ex-x，则h′（x）=ex（-x2-2x+1）-1，h″（x）=ex（-x2-4x-1）. 分析可知当x>0时，h″（x）<0，h′（x）在区间（0，+∞）内单调递减，h′（x）

评析：利用导数法求解复杂不等式问题的关键点有两个：若不等式含参则需要分离变量，构造函数;利用导函数分析函数性质时需充分考虑函数区间，确保结论递推正确. 因此从求解过程来看，利用导数求复杂不等式实则就是将其转化为相应的函数，通过对函数性质的研究来加以解决.

导数应用的思考

下面对导数应用及其教学做进一步思考.

1. 深入剖析导数应用知识

导数的应用较为广泛，其中涉及曲线切点、零点、极值、单调性等知识，这些内容也是高中数学的重难点知识. 学习导数应用就应对上述知识点的核心加以剖析，例如切线判断的条件、零点存在性定理、极值存在满足的条件等，理解必要条件与充分条件的内涵，对条件加以辨析，以防混淆. 导数应用教学应立足基本概念，引导学生对定理加以剖析，理解其中的逻辑关系，以此为依托开展应用探讨.

2. 强化导数应用解决问题

导数的应用广泛，上述呈现了其中具有代表性的问题，强化四大问题可提升学生导数应用的能力，学习时应关注问题的本质，整体把握问题突破的思路. 例如利用导数求解含参不等式问题时，应分离参数，合理构造函数，将其转化为给定区间上的最值问题，其本质就是利用导数来研究函数的性质. 教学中可以采用分模块探讨的方式，引导学生对问题突破的思路加以归纳，引入导数来优化思路，逐步形成导数应用求解问题的策略.

3. 提升导数应用解题思维

导数应用的过程中必然涉及众多的思想方法，这些思想方法是构建解题思路的关键，因此提高学生应用数学思想解决问题的熟练度是十分重要的. 例如求解最值问题中需要对问题进行转化，构造新函数来辅助研究原函数性质，必要时还需对参数的取值加以讨论，其中涉及转化思想、构造思想和分類讨论思想，正是三大思想的综合简化了解题过程. 因此导数应用解题的过程就是数学思维的过程，在该过程中可以促成知识与思想的融合，教学中应立足数学思想开展问题探究，利用考题讲解来完成思想方法的升华.