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一道IMO试题的完善性推广

2016-11-16董正武

新一代 2016年15期
关键词:不等式

董正武

摘 要:在《奥林匹克数学中的代数问题》一书中摘录如下一道IMO试题(见引例),这道试题是关于三元的不等式结论,笔者将这个不等式中的“元”的个数增加到任意正整数个,得到了相对完善的结论.

关键词:IMO;完善性推广;不等式

引例.设a,b,c为正实数,且满足abc=1,求证:++≥

推广1.设a,b,c,d为正实数,且满足abcd=1求证

+++≥

证明:将所证不等式的左边记为N

∵abcd=1

∴N=+++

由柯西不等式,有

∴[a(bc+bd+cd)+b(ac+ad+cd)+c(ab+ad+bd)+d(ab+ac+bc)]×N≥(bcd+acd+abd+abc)2,

故N≥

再利用算术-几何平均不等式,得N≥×4=.

推广2.设a1,a2,a3,…,an为正实数,且满足ni=1ai=1求证:

ni=1≥.

证明:∵ni=1ai=1

∴N=ni=1

=ni=1

由柯西不等式,有ni=1ai(j≠ik≠i,jak)×N

≥(ni=1j≠i,aj)2

∴(n-1)(ni=1j≠i,aj)×N≥(ni=1j≠i,aj)2

再利用算术-几何平均不等式,得

∴.N≥(ni=1j≠i,aj)≥×n

=

其中1≤i,j,k,1≤n且i,j,k,l,n∈N+.

推广3.设a1,a2,a3,…,an为正实数,且满足ni=1ai=1,求证:

ni=1≥.

证明:将3中的a1分别替换为aim(i=1,2,…n),即可得到所要证明的结论.

参考文献:

[1]沈文选等.奥林匹克数学中的代数问题[M].湖南:湖南大学出版社,2009:187—187.

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