例谈高中数学教学中类比思维能力的培养

李洋洋

[摘  要] 类比思维是一种非常重要的思维方式，学生只有在不断地经历类比的过程中才可以逐步积淀充满感悟的类比经验，培养类比思维能力. 文章以“圆锥曲线”的教学为例，阐述了类比思维能力培养的教学实践与思考.

[关键词] 类比思维能力;数学能力;培养

类比是两个具有相同或相似的不同事物建立联系的产物，属于形象思维，是一种推理方法和思维方法，也是一种创造性思维，更是一种良好的学习方法，数学解题的思路寻求应该从已有认知结构进行类比. 正是由于类比如此大的功能，纵观近几年的高考试题，类比思想已然根深蒂固地渗透于方方面面，类比题早已成为高考的“新宠”. 因此，在数学学习中，类比思维能力具有非常重要的体现，教师需有意识地强化对学生类比思维能力的训练. 以下，笔者以“圆锥曲线”的教学为例，谈谈如何发展学生类比思维能力，以期提升学生的数学能力.

温故知新，激发类比意识

类比是富有创造性的一种活动方法，不仅可以帮助学生巩固旧知掌握新知，还是一种良好的探究活动. 高中生已有了数十年的学习经历，积累了丰富的知识经验和学习经验，形成了较好的知识结构和认知结构. 因此，在组织教学前教师需深入学生的认知基础考查，从学生的已有认知结构出发，勾画知识技能框架，设计类比探究活动，为学生的学习提供基本线索. 在教学过程中，教师需用类比充分发挥学生的主体作用，联合问题与原有知识间的内在联系，引导学生积极主动地参与到探究活动中去，有效地唤醒活动经验，促进学生自主进行类比探究，建构知识，激活类比意识.

案例1：双曲线的定义

（1）温故知新：回忆并说说椭圆的定义是什么？

（2）类比联想：基于椭圆定义中的“和”字展开联想，你能想到什么？（学生自然而然地联想到“差”，进一步类比得出“平面内与两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹会是什么曲线呢？”）

（3）类比推导：已知平面直角坐标系中，设动点P（x，y）到定点F1（-5，0）和F2（5，0）之间的距离差为8，试求出动点P的轨迹方程. （学生类比椭圆的轨迹方程，进一步推导得出点P的轨迹方程为■-■=1）

（4）实践操作：类比椭圆的性质，试着作一作双曲线的大致图像. （学生兴致勃勃地投入作图，并以此联想到反比例函数）

（5）完善定义：

问题1：满足PF1-PF2=8的点的轨迹即为上述曲线吗？（经思考，学生明晰只有右支点上的点符合）

问题2：那左支点上的点满足什么条件？（学生赋特值A（-4，0）进行检验，计算可得AF1-AF2=-8）

问题3：经过刚才的探究，可知右支上的点满足PF1-PF2=8，左支上的点满足AF1-AF2=-8，那该如何定义双曲线呢？

（6）出示定义：数学中很多抽象概念不易理解，引导学生从熟悉的概念出发类比，则可以达到快速理解和掌握的效果. 这样的类比思维方式可以使抽象的、陌生的概念变得具体、熟悉，有效降低学生的接受难度，提升学习兴趣. 以上案例中，执教者以“椭圆的定义”为载体，探究的关键是类比椭圆的相关知识，从事物之间的共同属性来获得新知的理解和掌握，帮助学生更好地复习旧知和巩固新知，建立良好的认知结构.

深入类比，训练类比思维

充分利用好类比思维中的相似性，引导学生比较两个数学对象，并找寻到他们之间的相似处，从而为研究指明正确方向. 通过进一步延伸猜想这两个对象的其他属性是否也相同或相似，进行一致性和不一致性的类比，经历深入类比后得出结论，让学生能从宏观的角度感受到概念或性质的相似性，形成良好的认知结构，训练类比思维.

案例2：已知椭圆性质：若点P为椭圆上任意一点，M，N为椭圆C上关于原点对称的两个点，且当直线PM，PN都存在斜率，并记作kPM，kPN时，则kPM，kPN之积为与点P位置无关的定值. 试着类比分析双曲线■-■=1，找出与其类似的性质，并予以证明.

类比得出类似性质：若点P为双曲线上任意一点，M，N为双曲线■-■=1上关于原点对称的两个点，且当直线PM，PN都存在斜率，并记作kPM，kPN时，则kPM，kPN之积为与点P位置无关的定值■.

证明：设P，M的坐标为（x，y），（m，n），则N（-m，-n）. 因為P，M均在双曲线■-■=1上，所以y2=■x2-b2，n2=■m2-b2，则kPM·kPN=■·■=■=■·■=■（定值）.

从具体的实物出发类比，是思考和理解问题的基本思路与方法. 上述案例中，从椭圆的性质出发类比，进一步研究双曲线的性质，既渗透认知指导策略，同时降低问题探究的难度. 学生经过推导和证明，使得双曲线性质的理解进一步深入，体会双曲线的一般性和特殊性，让新知的建构自然产生，让学生深刻体会到类比思维的合理性和必然性.

强化类比训练，磨炼类比思维

通过强化类比训练，授予学生类比方法，才能逐步转化为学生自己的思维方式，因此，在解题教学中不断强化类比训练是磨炼类比思维能力中的重要一环. 只有通过训练让学生经历“猜想+验证”的验证经历，才能循序提升，逐层培养学生的类比思维能力，同时提升解题能力.

案例3：已知点P（x0，y0）在椭圆■+■=1（a>b>0）的内部，则直线■+■=1与椭圆■+■=1（a>b>0）的交点个数是________？

本题需要判断直线与椭圆交点个数，我们可以引导学生进行类比，首先需思考类比对象，学生经过联想，不难将类比对象定位在圆上. 进一步地，类比椭圆与圆：已知点P（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆O：x2+y2=r2的交点个数为0（相离），据此猜想得出本题交点个数也是0. 下一步自然是求解，一些学生在求解本题时会不假思索通过一般性方法解题，将其转化为一元二次方程后通过判别式进一步确定交点个数. 在求解过程中，还需分类讨论，过程较为烦琐，运算难度也较大. 是否有其他简单思路进行处理呢？我们可以引导学生通过类比思想大胆猜想和合情推理，由于本题是一道填空题，可以运用特殊与一般的方法进行类比：已知点P（1，0）在椭圆C：■+y2=1的内部，则直线■=1与椭圆C：■+y2=1的交点个数是0.

此处将本题特殊化处理，回避了繁杂的运算，磨炼学生的类比思维，符合新课标下的“以能力立意”的数学理念，培养了学生的创新思维. 当然，这里需要说明的是在选用特殊值时需避免问题出现漏解的情况.

应用类比，提升类比思维

类比是帮助学生理解、掌握和巩固知识的一种行之有效的方法，可以使学生的知识系统化和网络化. 类比解题法在近几年的高考中频频出现，因此，教师需在习题教学中引导学生应用类比思想分析和解决数学问题，提升类比思维能力.

案例4：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作一直线，与抛物线交于点P，Q，若PF，QF的长分别为m，n，则■+■=_______.

类比问题1过椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点F作一直线，与椭圆交于点P，Q，若PF，QF的长分别为m，n，则■+■=________.

类比问题2过双曲线■-■=1（a>b>0）的左焦点F作一直线，与双曲线交于点P，Q，若PF，QF的长分别为m，n，则■+■=________.

观察以上问题，可以看出上面三题不论在条件结构还是问题结构形式上均相同，唯一不同的就是条件背景不同，通过以上抛物线、椭圆和双曲线三者之间的类比探究，相得益彰，使问题快速获解，同时寻到处理这一类问题的通法.

综上，类比是一种创造性的思维方式，数学知识有千千万万，在研究方法上具有相同性或相似性，在类比思维能力的培养过程中，我们要合理运用类比的方法进行教学，帮助学生巧妙越过思维障碍，培养学生的创造性思维、发散性思维，发展学生的联想能力和迁移能力，促进学生综合能力的发展，更好地体现数学思维价值.