HPM视角下“解析几何序言课”实践与研究

庞海燕

[摘  要] 在新的教学理念下，我们由研究知识传授转向研究全程育人、综合育人、全面育人，从学科教学走向学科教育，以发展学生的核心素养，即从“知识、能力本位”走向“素养本位”. 文章以浙江省义乌市王芳名师工作室经过“三试三议 ”模式开发的高中数学HPM序言课为例，进行解析几何序言课的探究和实践.

[关键词] HPM;解析几何;序言课;坐标法

引言

教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德樹人根本任务的意见》，要求我们由研究知识传授转向研究全程育人、综合育人、全面育人，也就是从学科教学走向学科教育，确立了以发展学生的核心素养为目标，即从“知识、能力本位”走向“素养本位”. 核心素养是学生通过学科学习而形成的正确的价值观念、必备品格和关键能力，通俗地讲，就是那些很多年后宏观留下的进入学生灵魂深处的东西，因此与之相适应的应该是注重整体一致与逻辑连贯的教学. 正是因为序言教学能满足这些需求，目前很多学者不约而同地提出序言教学. 序言课能为整章的教学起到路线规划、导航定位的作用，相当于汽车GPS（全球定位系统）的功能. 安装了“GPS”的起始教学能让后续课时教学近似于“傻瓜式”操作，避免我们走弯路，而且能加强整体认识，协调彼此之间的联系. 如何设计、安装理想的“GPS”呢？这其实就是序言课的设计、教学问题. 为了教学的整体性，我们需要从宏观层面俯瞰课程的知识体系. 为了高观点，我们需要从思想、观念或者应用的层面提出问题、发现问题，不是简单、日常意义上的数学题. 为了情境创设的适切性，我们需要运用历史发生学原理，以史为鉴. HPM视角下的序言课课例研究可以有效促进教师在知识、信念和能力这三个维度的发展. 数学史融入数学序言课教学，可以呈现知识之谐，展示方法之美，营造探究之乐，揭示文化之魅，提供能力之柱，彰显德育之效.

历史材料及应用

本节课从回顾初中平面几何知识和研究方法出发，让学生经历用演绎法解决平面几何问题时遇到的困境，使学生感受到从单纯观察形的角度和科学技术发展的角度研究图形的乏力，由此创设了“圆还是椭圆”的问题情境，以便激发学生进行方法的创新，产生突破的冲动. 这具有高度的历史相似性：16世纪，对运动与变化研究已变成了自然科学的中心问题，原有几何学出现解决问题乏力的状态，迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学的产生.

在坐标法建构环节，先出示学生熟悉的两个平面几何问题，落脚点在用点的坐标刻画距离、位置关系，再从静到动，给出两个古希腊轨迹问题，引出用坐标法研究点的位置、点的运动——曲线、图形. 在此过程中运用史料：笛卡尔以研究古希腊轨迹问题为目的，以韦达的符号代数为工具，通过建立坐标系（一条轴），将二元代数方程与几何曲线对应起来，从而成了解析几何的发明者. 笛卡尔的解析几何是作为《方法论》一书的附录《几何》出现的，后半部分通过展现解“帕普斯问题”的具体过程介绍了解析几何方法，所谓笛卡尔解析几何主要就体现在这一部分中.

在核心问题研究环节，强调用代数方法研究几何图形，设计椭圆规实验;在知识展望环节，通过几何画板演示二元二次方程对应的曲线. 在此过程中运用史料：解析几何的另一创始人17世纪法国数学家费马从方程的角度出发研究曲线，笛卡尔的侧重点是研究曲线的方程，两者分别是解析几何的两个基本方面.

教学设计与实施

本节课突出“五核”，通过“圆还是椭圆”的情境创设，设置了数学问题串，建构起核心方法（坐标法），初步运用其解决核心问题（由曲线上点的特征建立方程、用代数方法研究几何图形、由方程研究曲线几何性质及曲线位置关系），通过问题“这方法可靠吗”直指核心概念（曲线的方程、方程的曲线），帮助学生理解和体会笛卡尔“一切问题都可归结为数学问题，一切数学问题都可归结为代数问题，一切代数问题都可归结为解方程问题”的思想. 整节课渗透数形结合的核心思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 本节课以能在具体情境和解决问题的过程中，深化对坐标法的认识，感受解析几何的孕育与发展为目标，重点在坐标法解决几何问题思想的渗透，突破曲线与方程对应的难点.

（一）旧知回顾

教师：同学们好，今天我们要来说说几何，初中的时候，我们学习了平面几何，还记得我们学了哪些知识吗？

学生：图形认识初步、平行线、相交线关系、三角形、四边形、圆.

教师：我们是用什么方法来研究这些几何问题的呢？

学生：演绎法.

教师：初中平面几何属于欧氏几何，欧几里得的《几何原本》首次建立起几何学的完整演绎体系. 古希腊数学家阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》几乎包含圆锥曲线的全部性质. 那同学们在处理平面几何问题时，用演绎法解决起来会碰到哪些困难呢？

学生讨论，认为平面几何没有普适性的方法.

（二）情境创设

教师：我们今天的问题就从一张图片说起，请观察这张图片，浅色曲线是什么？

学生：圆.

教师：再观察一下（以深色曲线为参照）.

学生：椭圆？圆？

教师：哈哈，到底是圆还是椭圆呢？这样的问题也曾困扰了一大批天文学家，下面请大家看一个视频. （演示开普勒视频）. 看完请同学们提取开普勒解决地球轨道是圆还是椭圆的关键词.

学生讨论得出“代数、几何结合”“根据数据计算”等等.

教师：16世纪以后，科学的发展向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题，之前欧氏几何和阿波罗尼斯的圆锥曲线论中的方法已不能满足人们的研究需要. 同学们说得都很好，那究竟会是一种什么样的方法可以解决这些问题呢？代数、几何如何结合？如何计算呢？

（三）方法建构

问题1：（1）正方形ABCD的边长为6，E在边AB上，BE=4，EF∥BC，分别交BD，CD于G，F，若M，N分别是DG，EC的中点，试求MN的长度.

（2）矩形ABCD中，E，F是CD上的三等分点，G，H是BC边上的三等分点，AE与DG相交于K，AF与DH相交于N，求证：KN∥CD.

学生讨论求解.

教师总结：几何问题代数化，建立平面坐标系. 点的坐标来联系，算出长度没问题，平行关系可判定.

設计意图：建立坐标观念确定点的位置.

教师：静止是相对的，运动是绝对的. 数学因运动而不再枯燥，数学因运动而充满活力. 如何描述一个点在平面中的运动呢？

学生：用坐标刻画点，点在平面内运动，其横、纵坐标应该会满足一定的关系.

问题2：（二线轨迹）阿波罗尼斯是公元前3世纪的古希腊著名数学家，他曾提出过这样一个问题：到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹是什么？

学生：是这两条直线所夹角的角平分线.

教师：那现在这两条直线有几条角平分线呢？

学生：两条.

教师：很好. 根据初中所学平面几何的知识，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此在这个例子中我们可以很快得出“二线问题”的轨迹. 形状、位置我们都可以定下来. 我们接下来再看一个升级版的问题.

问题3：（三线轨迹）古希腊数学家并不满足于此，帕普斯又提出了“三线轨迹”问题. 如图5，平面内三条直线满足l■⊥l■，l■⊥l■，l■∥l■，l■，l■距离为a，平面上一动点P到l■，l■，l■的距离PA，PB，PC满足PA·PB=PC2，动点P的运动轨迹是什么？

是否与刚刚的二线轨迹问题一样，可以一眼就看出点的轨迹呢？

学生讨论解决方案：以l■，l■交点为原点建系，设点P（x，y），得出（x，y）满足方程x-■■+y2=■■.

教师：这个方程代表着什么意义呢？对于二元方程x-■■+y2=■■，这种通常有无穷多组解的所谓“不定方程”对代数学家来说是索然无趣的，但如果注意到当x连续地改变时，方程相应确定y，于是两个变量的组合（x，y）可以看作是平面上运动着的点的坐标，于是这样的点组成一条平面曲线.

学生：得出方程表示P（x，y）到■，0距离为定值■，是一个以■，0为圆心，■为半径的圆.

设计意图：引导学生建立将带两个未知数的方程和平面上的曲线相对比的观念.

教师：很好，大家以前是否有看见一个方程，就知道它表示什么曲线的这种经历吗？

学生：有，形如y=kx+b的表示直线，形如xy=k的表示双曲线，形如y=ax2+bx+c（a≠0）的表示抛物线.

教师：很好，方程中的x，y有什么几何意义和代数意义吗？

学生：从代数角度，有序数对（x，y）表示方程的解;从几何角度，有序数对（x，y）表示曲线上某点的坐标.

教师：有序数对（x，y）从哪里来的呢？

学生：建系.

教师：对！我们坐标系这个工具沟通起方程的解和曲线的点，可以把几何问题转换为代数操作，几何运动转化为代数方程，从研究代数、方程的角度来研究几何问题. 让我们给这个操作起个名字吧！

学生：建系法！坐标法！

教师总结：坐标法就是通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.

引导学生总结坐标法解决几何问题的步骤.

（四）核心问题

教师：坐标法可以干什么呢？我们如何解决前面“圆还是椭圆”的问题？

1. 圆心在坐标原点的单位圆上任意一点P（x，y），满足的条件是________.

（1）y=■可以表示1中的圆吗？

（2）点■，■，■，-■在1中的圆上吗？

教师总结：从曲线几何特征写曲线的方程，再从方程形式判断曲线的形状，我们发现曲线上的点与方程的解一一对应，故而坐标法可以由曲线上点的特征建立方程.

小组动手实验探究：荷兰数学家苏腾的椭圆作图工具中的两种.

实验结论：平面上一个动点到两定点距离之和（和值大于两定点之间的距离）等于定值的轨迹是椭圆.

2.？摇探究方程■+y2=1表示什么曲线.

数无形，不直观！学生讨论作图，猜想方程表示椭圆.

教师：同学们猜想对不对呢？先不要急着下结论，请大家计算一下：

曲线上一点P（x，y）到（1，0），（-1，0）的距离之和有何特点？

学生发现其和为定值.

教师：在前面的实验中，我们已知道到平面上动点到两定点距离之和（和值大于两定点之间的距离）等于定值的轨迹是椭圆，两定点称之为椭圆的焦点. 刚才我们的研究发现给定方程上的点满足这个特点，它确实表示椭圆. 为同学们的发现点赞！老师还有一个问题要问，我们可以解决“圆还是椭圆”的问题了吗？

学生：可以，利用坐标法建系，写出方程，判断曲线类型.

教师：那视频中的开普勒是在算什么呢？

学生：根据数据检验方程是圆还是椭圆. 真可谓坐标一桥飞架，数形天堑变通途！

教师：坐标法可以帮助我们用代数方法研究几何图形.

教师：很好！形无数，难入微！老师还有一个问题，请观察下图，判断直线与圆的位置关系.

学生很谨慎，提出需要计算，否则无法准确判断相切还是相交.

3. 探究y=-x+■，x2+y2=1的位置关系.

学生讨论得出可以研究方程组的解的情况，亦可根据圆心到直线的距离判断，但苦于距离公式不知道，教师鼓励其想法，指出我们后阶段会学习.

变式：y=-x+1，x2+y2=1呢？

学生提出方法类似，教师追问既然相交，弦长可以如何求出呢？

学生：解方程组，得出具体交点坐标，利用两点距离公式可得.

变式：y=x+1，y=x+2，y=-x+1呢？

教师总结：利用坐标法可以由方程来研究曲线几何性质、曲线位置关系，计算距离.

（五）核心概念

教师：今天我们学习了坐标法，发现它可以解决很多问题（由曲线上点的特征建立方程，用代数方法研究几何图形，由方程研究曲线几何性质及曲线位置关系），老师却要问，这方法可靠吗？

师生讨论，理出思维链条：

代数方程■方程的解■变量■线段■有序数对■曲线上的点■曲线

其中，思维起点——代数方程;思维指向——代数方程的解;思维跳跃——让方程的解动起来;思维提取——形可表示数;思维迁移——借助坐标;思维重组——数又可表示形;思维变向——方程可表示曲线;思维反演——曲线与方程统一.

学生总结：建立“曲线与方程”对应的关系很重要，初步认识曲线的方程、方程的曲线的核心概念.

（六）体系建立

解析几何：一种借助解析式进行图形研究的几何学分支，就是把几何图形放在坐标系里面加以分析，这样使得理论更加形象化. 在坐标系里建立点、线、面和各种形状的解析式，使得表达更加规范.

（七）历史重现

教师展示数学史微课.

学生：原来前面我们解决的三线轨迹居然是帕普斯轨迹问题的特殊情况，我们和笛卡尔一样，建立了坐标系，运用坐标法解决了问题，太棒啦！

（八）展望小结

教师：从前面的微课我们知道，解析几何的创始人之一费马从方程出发研究曲线. 那我们也利用计算机软件，展示二元方程（m+1）x2-y2-m（x+1）=0随参数m值变化，曲线的变化形式.

学生：原来一个二元方程可以统一这么多形式的曲线.

师生总结呈现解析几何知识树.

教师：圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 它在我们的实际生活很重要，许多物体的运动轨迹可以用圆锥曲线或近似地用圆锥曲线表示，很多光学仪器都是利用圆锥曲线（面）的性质制作的. 老师给大家留个课后思考问题，通过初中学习我们知道，形如y=kx+b的方程表示直线，那我们为什么还要继续研究直线及其方程呢？需要研究什么呢？

学生反馈

通过课前、课后的问卷调查，学生们喜欢数学老师将与数学知识相关的数学历史、实例融入课堂教学中，喜欢老师在新的模块或单元学习开始前先带领他们构建要学的知识框架，明确学习内容和任务，介绍与解析几何相关的数学历史对解析几何学习和理解有帮助，认为以后有必要开设别的章节序言课.

教學感悟

以史为鉴，方能更好地揭示知识的自然发生过程. 本节课中，我们从学生的认知起点出发，以“我们”和“科学家”解决“圆还是椭圆”的问题为抓手，通过问题串，引导学生自然地经历了坐标法解决几何问题的过程. 核心问题的探究活动让学生积极地参与了解决问题的过程，充分地体会了数学探究的乐趣，动手操作不仅获得了数学活动经验，提升了数学思维能力，而且激发了数学学习兴趣. 数学史微课，更是让课堂充满数学文化的芬芳.

现阶段在高考升学压力下，教师过于重视知识点的机械教授，很少在课堂上花很多时间去涉足数学史、数学文化，而且由于教学任务重，课时安排紧，在实际教学中很难挤出时间来上数学序言课. 经过实践我们发现通过本节序言课，后面在上圆、椭圆、曲线与方程新课时无须再重新引入情境. 此外，学生对距离、位置关系有了探究体验，对解析几何整个知识体系有了一定的认识，很好地把握了研究问题的方法，同时让学生获得了历史感，改善了他们的数学观，提升了他们的数学情感.