核心素养导向下的解析几何专题复习
2020-11-06高春香
高春香
[摘 要] 数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的. 文章借助几何画板的直观演示，带领学生将“圆的垂径定理”在圆锥曲线中进行推广探究，引导学生发现和提出问题、分析和解决问题，使学生在主动深入的学习探究中构建知识联系，抽象问题本质，发展直观想象、逻辑推理与数学运算等核心素养.
[关键词] 课堂学习;核心素养;圆锥曲线;推广探究
核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，所以课堂学习是培养学生数学核心素养的主阵地. 而圆可视为椭圆的特殊情形，学生对它的几何性质研究得较为通透，且较为熟悉. 本文立足于高三圆锥曲线的专题学习，以“圆的垂径定理”为切入口，启发学生探究圆锥曲线中点弦的相关性质，通过类比、推广，进行深度挖掘，引导学生积极参与其中，调动学生思维的积极性，形成一个完整的知识体系. 一方面降低知识点在学生心中的难度系数，使学生认知问题本质，使以后相关问题的解决立足点更高，能快速抓住问题本质，设计解题思路;另一方面在此学习过程中培育了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
课堂实录
本文所有结论都基于椭圆■+■=1（a>b>0）、双曲线■-■=1（a>0，b>0）与抛物线C：y2=2px（p>0）的探究结果. 同时由于双曲线图形较为复杂，且结论不是特别明显，本文几何探究与代数论证多数以双曲线为例，旨在通过学生的自主探究，内化知识，化解难点.
垂径定理在圆锥曲线中的推广
圆是椭圆的特殊情形，圆的常用性质在圆锥曲线上是否有所体现？能否将圆的性质在圆锥曲线上进行推广，建立知识之间的联系，构成知识网络. 一方面便于对知识的识记，另一面在解决相关问题时，能快速准确地抓取问题核心. 今天我们一起研究圆的垂径定理在圆锥曲线中的推广.
师：圆的垂径定理对应于圆锥曲线中的哪类问题？
生：中点弦问题.
（一）圆锥曲线的中点弦定理
师：受圆的垂径定理的启发，大家一起探究，圆锥曲线的中点弦问题是否有相关结论？（学生自主探究）
师：下面选择双曲线的情形进行评析.
已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0），直线l（斜率存在）交双曲线C于A，B两点，且AB的中点为M（x0，y0），（1）求kAB的值;（2）求中点弦AB所在的直线方程.
解1：设線，利用韦达定理，得k=■·■，AB所在直线方程：■-■=■-■.
解2：点差法求解.
评析：由垂径定理中的垂直得斜率乘积为-1，自然推测圆锥曲线中点弦中可能存在的斜率乘积为定值，进而引发学生用已经学过的方法（待定系数法或点差去）去验证猜想. 从新的角度思考旧问题，将知识归总，建立联系，形成体系. 一方面便于记忆，另一方面在课堂教学中培养学生的逻辑推理能力.
结论1：点M（x0，y0）是弦AB的中点，则（1）中点弦的斜率，椭圆：kABkOM=-■;双曲线：kABkOM=■;抛物线：kAB=■. （2）中点弦AB所在直线方程，椭圆：■+■=■+■;双曲线■-■=■-■;抛物线：y0y=px+y■-px■.
应用新知
1.已知双曲线■-y2=1，求以点P（3，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
评析：学生会以点差法给出结论为y-2=■（x-3）的错解. 求中点弦要考虑其存在性，即在利用待定系数法与点差法求解时，判别式应大于零. 存在性的考查使得，点差法丢失了其“结构一致，运算简洁”的优点，需对中点弦的存在性做结论性探究.
（二）圆锥曲线的中点弦存在性探究
师：对给定的点M（x■，y■），在什么情形下存在以点M（x■，y■）为中点的弦.
师：首先借助几何直观性，对中点弦存在问题进行初步探讨，以双曲线为例（配几何画板动态演示文件）.
师：若弦AB绕点M旋转的过程中，由MA>MB转变为MA 结论：定点M在蝴蝶型区域时，过点M的中点弦不存在. 评析：解析几何就是用代数知识解决几何问题，因此它的计算量大且烦琐，此课利用几何画板的动态演示，借助几何直观先让学生感受问题，一方面利于学生对知识的接收与记忆，形成知识网，另一方面可以培养学生直观想象的核心素养. 师：下面以双曲线的情形为例进行推理证明. 求证：对双曲线C：■-■=1（a>0，b>0），定点M（x■，y■）满足■-■>1或■-■<0或M（0，0），则过点M的中点弦存在. 师：此问题中，点M（x■，y■）是定点，即x■，y■视作常数. 由上面求解可知，若中点弦存在，则中点弦所在直线斜率为k=■■. 那么问题就转化为当x■，y■满足什么条件时，直线与双曲线有两个公共点. 解：（1）当y■≠0时，直线l的方程为：y-y■=k（x-x■），k=■■. 记t=y■-kx■，k=■■，则y=kx+t， ■-■=1，y=kx+t？圯（b2-a2k2）x2-2kta2x-（a2t2+a2b2）=0. 由已知b2-a2k2≠0，Δ>0？圳t2+b2-a2k2>0？圳b2-a2k2≠0，（x■-a2）k2-2x0y0k+b2+y■>0. 由k=■■，得■-■■-■-1>0，即■-■>1或■-■<0. （2）当y■=0时，显然当x■∈[-a，0）∪（0，a]时，中点弦不存在; 当x■∈（-∞，-a）∪（a，+∞）∪{0}时，中点弦存在. 综上，当点M满足■-■>1或■-■<0或M（0，0）时，中点弦存在. 评析：本题的证明构架为解析几何的基本处理方法，在双曲线相关问题的待定系数法的规范解答中，记t=y■-kx■，引导学生在计算中抓住主要变量，利用整体化思想进行简便运算，培养学生的数学运算能力. 本题字母较多，要求学生在解题过程认清各个量的身份与地位，顶层设计计算方法. 同时，通过推理认证，将直观感知的数学结论定理化，使学生一方面感知数学学科的严谨性，另一方面培养学生研究能力，发展逻辑推理能力. 结论2：以定点M（x■，y■）为中点的弦存在的条件（1）椭圆：■+■<1;（2）双曲线：■-■>1或■-■<0或M（0，0）;（3）抛物线：y■<2px0. 应用新知 2. （2019年黄浦区二模卷）双曲线Γ：x2-■=1（b>0），斜率为2的直线与Γ交于A，B两点，试根据常数b的不同取值范围，求线段AB中点的轨迹方程. 解1：设AB中点为M（x■，y■），直线AB的方程为：y=2x+t， x2-■=1，y=2x+t？圯（b2-4）x2-4tx-（t2+b2）=0， b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0， 且x=■=■，y=■=■，得M中点的轨迹方程y=■x. 下求变量的取值范围，即y=■x上的点要做弦中点，有b2-4≠0，t2>4-b2成立. 当b>2时，t∈R，则所求中点弦方程为y=■x，x∈R; 当0 评析：本题为双曲线的平行中点弦的中点轨迹问题，难点在于双曲线在变动的前提下对轨迹方程中变量范围的求解. 学生不知道b2-4≠0，Δ=4b2（b2+t2-4）>0 的限制有什么用，又如何用，较为抽象. 字母地位的辨识非常重要，求中点轨迹方程时，b视作常值，给一个b，出一个轨迹方程. 解2：设AB中点为M（x，y），则kABkOM=b2，即M中点的轨迹方程y=■x. 下求变量的取值范围，即要求y=■x不在蝴蝶型区， 当b>2时，y=■x，x∈R; 当0 评析：解法2利用中点弦的存在性定理，借助幾何直观，使得题目难度大幅降低. 有利于学生学习数形结合思想的应用，正向培养了其直观想象的核心素养. 上述课堂学习，以落实数学核心素养为目标，从“圆为特殊的椭圆”的角度着眼，通过“圆的垂径定理”的数学化描述，借助几何直观与数学推理，归纳猜测出“中点弦斜率、中点弦的存在性”等相关结论，并利用解析法进行严格证明，形成了完整的知识结构，也还原了数学知识的形成过程. 这有利于学生形成数学的研究方法，以便在以后的学习与生活中用数学的思维处理问题，用联系发展的眼光看待问题，培养发展了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养. 教学感悟 此课堂学习实践，构建了“解析几何复习的专题”之一，引导学生自主构建知识体系，注重知识的发生、发展与形成过程，并将核心素养的培养落实在课堂学习之中，真正做到了润物细无声. 下面结合本课对核心素养在课堂上的落实，谈几点感悟. （一）借助几何直观理解与解决问题，落实直观想象核心素养 直观想象是指借助几何直观和空间想象来感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决问题的素养. 本课学习借助几何画板的动态演示，让学生感受图形的变化，结合逻辑推理挖掘出“中点弦的存在性”，使学生获得“由几何图形的形象关系直接感知数量关系”学习体验，习得相关知识技能的同时，使直观想象核心素养在课堂中落地. （二）通过深度学习，建立知识之间的联系，发展逻辑推理核心素养 逻辑推理主要表现为掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流. 本课是“解析几何中点弦问题”的深度学习，以圆的垂径定理理解为基础，圆与椭圆的关系为思考点，引导学生推导出“中点弦的存在性”，建立了知识间的联系，形成完整的知识体系，发展了学生逻辑推理的核心素养. （三）辨识运算对象，设计运算思路，巧用整体代换，提升数学运算核心素养 数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等. 本课用严格数学推理论证了“中点弦的存在性”. 解析几何是用代数方法解决几何问题，数学运算就是论证相关问题的关键. 本课问题论证用到解析几何中基本的待定系数法，但因本课结论均为圆锥曲线的通用结论，方程自身带有参数，运算过程中字母繁多，需要引导学生辨识运算对象，顶层设计计算方法，并用整体代换的方式简化运算量. 体现了数学是模式的科学的数学本质，提升了数学运算的核心素养. （四）借助典型题目，发展数学思维，夯实核心素养 本课结合知识构架，选取典型的有思维价值的数学问题，带领学生经历解题思路的探究过程，规范表达，明确解题步骤，提炼通性、通法，让学生在解题过程中明确问题本质，学会知识迁移、融会贯通，强化通性、通法，进一步夯实了逻辑推理与数学运算的核心素养. 结束语 学生是学习的主体，课堂是学习的主阵地，数学知识的学习与应用是核心素养培养的营养基. 在核心素养统领下，对高三复习进行专题设计，经过数学知识的再整合，引导学生独立思考，激发学生学习数学的兴趣. 通过类比、联想、特殊化、一般化等思维活动对数学知识进行深度挖掘，引领学生发现和提出问题，形成研究思路，找到研究方法，让数学核心素养培养落地，推动学生不断成长.
