核心素养视角下“两条直线的位置关系(1)”教学实录及评析*

于 彬 王师森 (山东省东营市胜利第六中学 257000)

近日，在一次市级青年骨干教师优质课评选中，笔者有幸执教鲁教版“两条直线的位置关系(1)”一课，得到了评委和听课教师的一致好评，并获得了一等奖的优异成绩.这节课是鲁教版六年级下册第七章第一节的第一课时，融合了人教版七年级上册的“余角和补角”以及七年级下册的“相交线”一节，课时容量非常大.于是，在研究教材和分析学情的基础上，笔者决定以培育学生的核心素养为切入点进行设计.下面进行简单介绍，不当之处，敬请指正.

1 课堂实录及评析

1.1 创设情境,疑点反思

师：同学们，我们首先来观看一段视频(视频内容来源于《人民日报》客户端，介绍的是港珠澳大桥，视频中的很多场景都蕴含了大量的相交线和平行线).这段视频介绍的是每一位中华儿女引以为傲的……(教师故意留白)

生众：港珠澳大桥.

师：下面，我们将这段视频中的精彩瞬间定格在大屏幕上.首先，我们将第一幅图片中寓意“三地同心”的中国结的上半部分抽象为两条直线(如图1)；然后，将第二幅图片中大桥的两侧也抽象为两条直线(如图2)，你们发现了什么现象？

图1 图2

生众：相交和平行.

师：在我们教室或校园里还有没有这样的现象存在？谁能举个例子.

生1：黑板的左右两侧.

生2：操场上的跑道.

师：这两位同学说得非常好！这就是我们这节课要学习的“7.1两条直线的位置关系(1)”(出示课题和学习目标).

师：下面，我们再来观察这两幅图片中的直线，它们有什么不同呢？

生3：第一幅图片的直线有公共点，第二幅图片中的直线没有公共点.

师：那第一幅图片中的直线有几个公共点呢？没有公共点还可以怎么说？哪位同学可以给相交线和平行线下个定义呢？

生4：只有一个公共点的两条直线，叫相交线；不相交的两条直线，叫平行线.

师：对于平行线的定义，哪位同学还有要补充的？(此时教师以教室中的实物举一个例子)

生5：应该加一个前提条件：在同一个平面内.

评析以视频的形式引入新课，很好地调动了学生学习的积极性和主动性.教师引导学生进行观察的同时，进行一次又一次的追问，让学生感受到数学学科的严谨性，培养了学生思维的严密性.比如，当学生回答问题不严密时，教师不是直接更正，而是以举反例的形式引导学生进行再次思考，进而给出正确的定义，这是一种很好的做法.

1.2 尝试解疑，问题反思

师：本节课我们将重点研究两条直线相交的情况.下面，请同学们拿起三角板和笔，与老师一块将第一幅图片中的这一部分抽象为简单的几何图形.

图3

首先，画直线AB，再画直线CD，设它们的交点为O，为了本节课的研究方便，我们将两条直线相交形成的四个夹角分别记为∠1，∠2，∠3和∠4(如图3).

下面，我们结合这个图形来思考第一个问题：∠1和∠2的顶点和两边有什么位置关系？

生6：有公共的顶点，两边互为反向延长线.

师：嗯.直线AB与CD相交于点O，我们把有公共的顶点、两边互为反向延长线的两个角，称为对顶角.这个图形中还有对顶角吗？

生：(众答)∠3和∠4.

师：下面，我们通过一个小题来巩固一下对对顶角概念的认识(出示牛刀小试1，在学生回答后，追问学生“为什么？”，加深学生对定义的认识).

牛刀小试1：下列各图中(如图4)，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？

图4

师：∠1和∠2有这么好的位置关系，那么它们在数量上有什么关系呢？请同学们先独立思考第二个问题：∠1和∠2有什么数量关系？如果将直线AB绕点O转动，上述关系还成立吗？∠3和∠4呢？

生7：相等.

师：你是怎么得到的呢？

生7：用量角器量的，我用量角器测量的这两个角的度数都是72°.

师：其他同学呢？

生8：我量的两个角都是120°.

师：嗯，虽然这两位同学测量的度数不一样，但他们测量的两个角是相等的.其他同学呢？

生：(众答)我们测量的也都是相等的.

师：下面看一下老师测量的是多少呢？(出示几何画板课件，如图5)

图5 图6

师：这样我们就初步得到了一个猜想：对顶角相等.接下来，我们通过几何画板软件来进一步验证我们的这个猜想.(出示几何画板软件，转动直线AB，引导学生观察∠1和∠2、∠3和∠4它们的度数在改变，但是它们之间等量关系没有变，如图6)

这样只能说明我们这个猜想在特殊情况下是成立的，那么在一般情况下成立吗？为什么呢？下面请同学们以小组为单位展开讨论，一会儿请一位同学到黑板上给我们讲解.

生9：∠AOB和∠COD都是平角，即∠1 + ∠3=∠2+∠3，从而∠1=∠2.

师：依据是什么呢？

生9：平角的定义和等式的性质.

师：非常好！这样我们就得到了对顶角的性质：对顶角相等.

师：那么∠1和∠3有什么数量关系呢？还有其他角有这样的数量关系吗？

生10：和为180°.∠2和∠3、∠3和∠4、∠1和∠4也有这样的数量关系.

师：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角(简称互补).下面来看一下这个概念中的关键词：第一个词是“两个”，也就是说互补是两个角之间的关系；第二个词是“互为”，这个词在哪里见过？

生：(众答)互为倒数和互为相反数.

生11：∠1的补角是∠3，∠3的补角是∠1，∠1和∠3互为补角.

师：这个图形中，∠1的补角有几个？

生12：两个，∠3和∠4.

师：嗯，这两位同学说得非常棒！类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角(简称互余).下面通过一个小题巩固一下对这个概念的认识(出示牛刀小试2).

牛刀小试2：下列各图中(如图7)，∠1和∠2互为余角吗？为什么？

(学生回答，教师追问为什么)

图7

师：通过这里可以看出，互余和互补只与两个角的数量关系有关，而对顶角则是位置关系决定了数量关系，希望同学们可以用心体会.

评析此环节涉及的内容较多，主要有对顶角的定义和性质，以及互余和互补的定义.教师教学中层次清晰，比如，在探究对顶角的性质过程中，引导学生主要经历了“量一量、猜一猜、验一验、证一证”等四个主要环节，当然鉴于学生的认知特点，教学中并没有明确指出，而是在课堂总结中的微课中呈现，是一次有益的尝试；同时，问题指向明确，从“对顶角的位置关系到对顶角的数量关系，再到补角(余角)的数量关系”，梯度设计合理，特别是通过牛刀小试2的第2个图形引导学生对对顶角和互补(互余)的认识进行了一次升华，值得其他一线教师借鉴.

1.3 问题解决，达成反思

图8

师：下面我们再用类似的方法来看一个现实生活中的实际问题(PPT呈现图8，同时向学生介绍“台球王子”丁俊晖为取得优异成绩而刻苦训练的故事).什么情况下，用白球去击打红球，可以保证红球落入袋内呢(PPT呈现白球击打红球，红球落入袋内的动态过程)？

生13：∠1=∠2时.

师：看来这位同学打过台球，说得非常准确，在理想情况下，当∠1等于∠2时，用白球去击打红球，红球正好落入袋内.下面我们将其抽象为一个简单的几何图形(如图9)，请同学们结合这个图形和条件，先独立思考下面的问题：有哪些角互为余角？∠3和∠4有什么关系？为什么？

图9

生14：∠1和∠3互余，∠2和∠4互余.

师：那∠3和∠4有什么关系呢？你是如何得到的？

生14：相等.∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.

师：我们可以得出什么结论呢？

生众：等角的余角相等.

师：那还有互余的角吗？

生15：∠2和∠3互余，∠1和∠4互余.

师：由∠2和∠4互余、∠2和∠3互余，我们还可以得出什么结论呢？

生16：等角的余角相等.

师：非常棒！这样我们就得到了余角的性质：等角或同角的余角相等(此时在师生互动和生生互动中，PPT渐次呈现，如图10).

图10

师：下面请同学们利用类似的方法，结合下面的问题来研究补角的性质.问题：有哪些角互为补角？∠AOC和∠BOD有什么关系？为什么？

(学生独立思考后，展开小组讨论，在此基础上，请同学到黑板上讲解.限于篇幅，将与学习余角的性质中类似的环节一并略去)

师：那这个图形中还有互补的角吗？

生17：∠NOC和∠NOD互补.

师：说得非常棒！这是我下节课要研究的垂直，希望同学们可以做好预习，做一个“会学习”的学生.

(PPT同时呈现余角和补角的性质，然后出示牛刀小试3，学生给出答案后，教师追问学生为什么)

图11

牛刀小试3：如图11，∠ACE=∠BCE=∠DCF=90°，∠1=33°，则∠DCB=，∠ECF=.

评析此环节的教学主要是互补和互余的性质，教师将教材中呈现的三个问题，整合设计为两个问题，包括前面的一些对教材的处理，可以很好的看出实现了由“教教材”向“用教材教”的积极转变；此外，教师利用此环节的最后一次追问“还有互补的角吗？”，将学生的思维引向深处，同时引导学生进行预习，对培养学生养成良好的学习习惯是一种督促；最后，这个环节中的小组合作和学法指导也做的很好，比如，在研究补角的性质时，让学生类比研究余角性质的方法，在“独立思考、小组合作、个人展示”的基础上完美的将本节课的教学难点成功突破，实现了课堂教学的高效和优质.

1.4 达标检测，总结反思

师：哪位同学可以总结一下本节课学习的主要内容？

生18：主要学习了相交、平行、对顶角、互补和互余.

师：我们主要从哪几个方面展开学习呢？

生众：定义、性质和应用.

师：在学习这些知识的过程中，我们主要运用了哪些思想方法呢？

生19：类比.

师：你能说的具体一些吗？

生19：比如在类比补角的定义(性质)来学习余角的定义(性质).

(在师生的一问一答中，PPT渐次呈现，如图12)

图12

师：下面，我们观看一段微课，来巩固、提升一下我们对本节课所学内容的认识.

微课截图(如图13)：

图13

微课文本：同学们，在本学期初，我们学习了线段的中点和角的角平分线的相关知识，学习过程中重点研究了它们的图形、定义、性质和应用.

今天，我们同样用上述方法学习了对顶角、互补和互余.首先，我们用数学的眼光观察世界，发现了生活中的平行和相交现象，并抽象出了相交的几何图形；其次，我们用数学的思维分析世界，得出了它们的定义；接着，我们用数学的语言表达世界，得到了它们的性质；最后，我们用所学的知识解决了现实生活中的一些实际问题.

在学习性质的过程中我们主要经历了“量一量、验一验、猜一猜、证一证”的几个环节，同时我们重点关注了几何图形在变化过程中不变的“位置和数量”关系，接下来，我们将用同样的思路和方法研究“垂直和平行”的相关内容.

最后，把日本著名教育家、数学家米山国藏在其名著《数学的思想、精神及方法》中提到的一句话“数学是一步一步向上走的”送给同学们，以此共勉，期待同学们可以在“数学知识”的海洋里自由遨游，在“数学素养”的天空中自由翱翔.

评析此处是整节课的一大亮点，分别以师生互动和微课的形式，对本节课学习的知识、思想方法进行了梳理和总结，更难能可贵的是在师生互动中进一步完善了课堂教学中形成的板书，以“知识 框图”的形式为学生构建了本节课完整的知识体系；而在微课中则以“知识树”的形式，将本节课所学知识和方法作为桥梁，对前面学习的内容和后续要学习的内容进行了有效联系，给人耳目一新的感觉.

2 总评

中国学生发展核心素养的培育依赖于学科核心素养的培育，而学科核心素养培育的落脚点则是课堂教学.因此，只有在课堂教学中有意识地进行中国学生核心素养和学科核心素养的培育，才有可能实现培养“全面发展的人”的目标.

2.1 关于中国学生发展核心素养

2016年9月13日发布的《中国学生发展核心素养》提出了中国学生核心素养的“三大点、六小点、十八个基本点”的模型框架，对培育学生核心素养进行了系统的阐释.下面结合该课例对培育中国学生发展核心素养的尝试进行简单介绍.

一是人文底蕴，主要表现在审美情趣.大自然中的很多事物都蕴含着数学元素，需要我们有一双发现美的眼睛，正如“港珠澳大桥”中蕴含着很多相交线和平行线一样，在给我们雄伟壮观感觉的同时，更是给了我们美的感受，需要引导学生在现实生活中发现美、感知美、欣赏美，并评价美.

二是科学精神，主要表现在理性思维和勇于探究.上述课例可以说是几何学习的“入门课”，学生后续学习中能否对几何产生兴趣，本节课的教学起着至关重要的作用.教学中除了引导学生感知外部世界“美”的同时，更要引导学生感知数学学科的内部“美”，这种“美”应该就是数学学科特有的理性思维；当然，这期间更要引导学生进行大量的探究和讨论，在一次一次的探究和讨论中获得相关的活动经验和知识.

三是学会学习，主要表现在乐学善学和勤于反思.在上述设计中教师有意识地培养学生学习的能力，比如多次进行了类比学习，这为学生后续学习打下了坚实的基础；同时还引导学生进行预习，帮助学生分别用“知识框图”和“知识树”构建知识体系等，这都为引导学生乐学善学做了有益的尝试.除此之外，本节课设计的四个环节，很好地培养了学生的反思能力，从“疑点反思、问题反思”到“达成反思、总结反思”，使学生可以自主的对自己的学习状态进行审视，进而做出相应的改变，或调整学习策略，或改变学习方法等.

2.2 关于数学学科核心素养

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力，以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.

一是用数学的眼光观察世界，主要体现在数学抽象.上述课例对培育学生的数学抽象素养进行了很好的尝试，比如从实际物体中抽象出相交线和平行线，将实际问题抽象为简单的几何图形等.

二是用数学的思维分析世界，主要体现在逻辑推理.根据六年级学生的认知情况，该课例将逻辑推理定位于简单说理，也就是说，只要学生可以用自己的话说出原因即可，即鼓励学生用自己的语言表达自己的发现，并说明理由.

三是用数学的语言表达世界.对于几何学习，数学语言主要有图形语言、文字语言和符号语言，本节课主要是引导学生在分析相关图形中的位置和数量关系的基础上，让学生用文字语言表达自己的观点，比如对顶角相等、同角(等角)的补角(余角)相等，而对于符号语言的掌握则根据学生的年龄和认知特点不做要求，体现教材编写的“螺旋上升”.

总之，中国学生发展核心素养和初中数学学科核心素养的培育是一个长期的、系统的工程，需要一线教师持续的、不懈的为之付出和努力.我们对此所进行的尝试未必准确，更不一定正确，欢迎更多的一线教师行动起来，设计出更多优秀的案例，为学生核心素养的培育贡献一份自己的力量.