逻辑推理 类比生成 培养学生的核心素养
——“空间的角的计算”的教学实录与反思
2020-10-20江苏省苏州第一中学215006
张 超 (江苏省苏州第一中学 215006)
1 基本情况
1.1 学情分析
学生来自四星级高中高二年级普通历史政治地理班，基础知识较扎实，有一定的数学运算、数据分析、观察、归纳能力，但直观想象、数学抽象、逻辑推理、发现问题和探索问题的能力较为薄弱．在知识上，学生在高一已经学习了高中数学必修2中的立体几何，掌握了异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的概念，能解决基本的求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小问题；在思想方法上，学生能运用特殊到一般的方法，也初步掌握了类比和分类讨论的思想．
1.2 教材分析
“空间的角的计算”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》的第3章第2节内容，是空间向量的应用课，尽管知识难度不大，但蕴含丰富的数学思想．教材的安排一方面让学生回忆空间的线线角、线面角和二面角的概念以及传统求空间的线线角、线面角和二面角的方法，感受人类理性思维的拓展以及从新的角度认识空间的线线角、线面角和二面角，体会立体几何引入空间向量的必要性及其优越性；另一方面，让学生进一步理解空间向量夹角的概念，掌握利用空间向量求空间的线线角、线面角和二面角的基本方法，进一步体会向量的工具性(也为利用空间向量求空间的距离打下基础)；再者，本节涉及的等价转化、类比思想、数学抽象、数学建模以及逻辑推理等核心素养的发展，贯穿整个高中数学，给学生运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时也为他们后续学习高等数学奠定了思维基础． 本节课分成三个内容：一是空间的线线角、线面角、二面角的概念以及传统求空间的线线角、线面角、二面角方法的简要回顾；二是两条异面直线的方向向量的夹角与两条异面直线所成角的关系；三是探究直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系，探究两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系及其简单应用．
基于以上理解，本节课的教学目标确定为：(1)探究两条异面直线的方向向量的夹角与两条异面直线所成角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系，在探究过程中感受等价转化、类比推理、特殊到一般的数学思想，感受数学抽象、数学建模的过程；(2)在情境中抽象出数学问题，运用数学抽象的思维方式思考和解决问题，把握问题的本质；培养一般性思考问题的习惯，把握问题的本质，化繁为简；(3)初步认识数学的应用价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观．
教学重点 利用向量方法解决空间异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小问题．
教学难点 直线方向向量和平面法向量夹角，两个平面法向量的夹角与直线和平面所成角、二面角的平面角的关系．
2 过程实录
2.1 问题驱动，流淌着的数学思想
类比是数学的基本思想，运用类比的思想在已有的知识基础上产生新的问题，是数学中发现问题的常见想法，于不疑之处生疑，方是进矣．
回顾 用空间向量可以研究空间的线面位置关系(课本第101页)，那么，能否用空间向量来研究空间的角呢？(课本第106页)
·活动1——共同探究，温故知新
图1
例1如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD和CB1所成角的大小．
问题1什么是异面直线BD和CB1所成角.例1中，如何求异面直线BD和CB1所成角的大小．
生：连接A1D,A1B，因为A1D∥CB1，所以∠BDA1就是异面直线BD和CB1所成角，故异面直线BD和CB1所成角为60°．
师：都是求BD和CB1所成角，为什么答案不一致呢？(学生讨论)
设计意图在正方体中，求两条异面直线所成角和求两个向量夹角角都是常见问题，然而求解后会发现新的问题，让学生意识到两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角并不完全一致，这恰恰会激发学生的学习兴趣和求知欲，探求两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角的关系，从而使得利用两条异面直线的方向向量所成角计算两条异面直线所成角的产生比较自然．
(学生活动：独立思考，发现问题，产生求知欲)
生：通过画图分析，发现两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角有时相等，有时互补．
师：同学们太棒了，不仅从范围的角度发现两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角并不一致，还通过图形分析发现两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角有时相等，有时互补，同学们的观察、归纳能力很强啊．
师：利用空间向量的夹角计算公式可以计算两条异面直线的方向向量所成角α的余弦，那么两条异面直线所成角θ与两条异面直线的方向向量所成角α的余弦有何关系呢？
生：设两条异面直线的方向向量为a,b，两条异面直线所成角为θ，那么cosθ=|cos〈a,b〉|．
师：归纳得太精彩了，一个式子概括了两种情况．
·活动2——类比推理，认识本质
师：上诉做法实质上是用方向向量表达直线的方向，然而直线两端是无线延伸的，由于方向向量表达直线的哪一端的不确定性，导致两条异面直线所成角与两条异面直线的方向向量所成角有时相等，有时互补，但可以归纳为cosθ=|cos〈a,b〉|，在上述的分析过程中，我们着重分析了异面直线所成角和空间向量的夹角的概念，并进行数学抽象，分类讨论，加以概括．
问题2什么是直线与平面所成角？如何用空间向量计算直线与平面所成角．
例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1，则
图2
(1)直线B1C和平面ABCD所成角的大小为；
(2)直线CD1和平面CAA1所成角的大小为．
(学生活动：独立思考，组内交流，代表解释；教师活动：对学生回答点评及完善)
设计意图通过问题1的解决，让学生自然而然的类比推理借助直线的方向向量和平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系，设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，设直线与平面所成角为θ，从而解决问题2，分析图形得出，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系sinθ=|cos〈a,n〉|，类比推理是数学中极其重要的思想方法，将新事物和老事物在某些方面做类似的比较，把已经获得的知识和方法迁移到新事物中，从而解决新问题，类比不仅是一种富有创造性的方法，更能体现数学的美感．
师：同学们的观察和归纳能力很强啊．
生：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，其所成角为θ，那么sinθ=|cos〈a,n〉|．
师：归纳的太精彩了，一个式子概括了两种情况．
问题3什么是二面角的平面角？二面角的范围是什么？如何用空间向量计算二面角的大小．
例3如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则二面角C-A1B1-B的大小为．
图3 图4
(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(2)求二面角P-CD-B的平面角的余弦值．
(学生活动：独立思考，组内交流，代表解释；教师活动：对学生回答点评及完善)
设计意图通过问题1，2的解决，类比推理，借助两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求二面角的平面角，简洁是数学的美，严谨更是数学独特的魅力，知其然，更知其所以然，教师要让学生感受到数学是严谨而清晰的，数学是形式美与简洁美的统一．有可能部分学生归纳出cosθ=|cos〈a,n〉|，我们可以从假设θ是钝角入手时，说明cosθ|cos〈a,n〉|的错误性，培养学生一般性思考问题的习惯，把握问题的本质，化繁为简，培养学生的理性精神和科学态度．
生：老师，平面与平面所成角θ与两个平面的法向量n1,n2所成角θ的范围虽然一致，cosθ[0,π]，α∈[0,π]，但它们并不相等．
生：通过画图分析，发现θ=α或θ=π-α．
生甲：设两个平面的法向量n1,n2，设二面角的平面角为θ，那么cosθ=|cos〈a,n〉|．
生乙：我觉得应该是|cosθ|=|cos〈a,n〉|．
师：甲、乙两位同学归纳的结论不同，请大家分析．
生丙：我赞成同学乙的结论，因为如果θ是钝角，同学甲的结论就不成立了．
师：同学们非常棒，在辨析正误时，可以假设θ是钝角，则cosθ=|cos〈a,n〉|不成立，说明正确的结论应该是|cosθ|=|cos〈a,n〉|，同学们太优秀了．
设计意图例2的第(1)小题和例3用传统方法很快就能解决，但例2的第(2)小题和例4用传统方法比较困难，此时利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角，平面的法向量与平面的法向量的夹角帮助我们计算直线与平面所成角和二面角的平面角的大小，体现了利用空间向量计算空间的角的优越性和必要性(为以后利用空间向量计算空间的距离埋下伏笔)，帮助学生掌握研究数学对象的基本套路与方法，同时让学生感受到数学知识发展的内在必然性．
2.2 知识小结，方法提炼
问题4请谈谈本节课你学到了哪些知识？这些知识是通过怎样的方法得到的？知识发现或创造的过程对你有什么启示？
生：这节课我学到了利用空间向量计算空间的角的大小(包括异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角)，实际上，我们是把空间的角转化为直线的方向向量，平面的法向量所成的角，温故而知新，新旧知识的对比更让人印象深刻．
师：你能列表表达它们之间的关系吗？
生：表格如下.
空间的角的分类角的范围求法异面直线所成的角0,π2 cosθ=|cos
师：它山之石可以攻玉，你能归纳利用空间向量方法解决空间线线、线面、面面的夹角问题的基本步骤吗？
生：先建立空间直角坐标系，取直线的方向向量或平面的法向量，计算直线的方向向量或平面的法向量的夹角，回答题目中所求角的大小．
师：即：建系—取量—算角—下结论．
设计意图问题驱动和类比推理能够激发学生的学习兴趣和求知欲，而课堂小结，不仅仅是知识层面的小结，也包括思想方法等方面的总结，引导学生把事实性知识上升为概念性知识，把程序性知识上升为元认知知识，不断提升学习层次与认知水平，这恰恰有利于提升学生的“四基”“四能”，进而促进学生核心素养的提升．
2.3 作业布置，巩固提升(略)
3 教学感悟
3.1 遵循“过程性”教学原则，培养学生的核心素养
数学教学的本质是数学思维活动过程的教学．“过程性”原则要求数学教学应显现出数学概念和方法的形成过程、规律的探索过程、结论的推导过程及方法的思考过程等．在本节课的“创设情境，引出课题”环节，教师以例1和问题1为起点，让学生在已有认知结构中找出两者间的联系和差异，激发学生的学习兴趣和求知欲，进而引导学生探究问题2和问题3．并结合例2-例4让学生感受利用空间向量计算空间的角的优越性和必要性，使学生自然而然地对利用空间向量计算空间的角有了更深刻的认知，利用空间向量计算空间的角是对传统方法计算空间的角的有益补充，也是用代数方法解决几何问题的又一典例.在这一教学过程中，教师有效地发展了学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养．在本节课的“尝试运用，深化理解”环节，教师引导学生探究问题2和问题3，学生通过自己观察、解题等探究活动逐步概括、归纳出问题所涉及的初步规律，教师再通过提问的方式引导和启发学生获得问题所涉及的内在的、本质的规律，从而帮助学生全面、系统地理解直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系，平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系，再结合例2～例4引导学生自我分析，获得求空间的角的问题的基本思路．在这一教学过程中，教师有效地发展了学生的逻辑推理，数学抽象和数学运算的素养．
3.2 遵循“发展性”教学原则，培养学生的核心素养
课程标准明确指出：在现代社会中，数学教育是终生教育的重要方面，是公民进一步深造的基础，是终生发展的需要．“发展性”原则要求数学教学要指导学生构建完整的知识体系和将数学的典型问题模式化等．在本节课的“尝试运用，深化理解”环节，教师呈现例1和问题1，对学生通过自我探究获得的直线方向向量的夹角与异面直线所成角的联系与区别进行点评，帮助学生建立利用直线方向向量的夹角解决异面直线所成角的思路，并力求做到举一反三解决问题2和问题3，利用空间向量计算直线与平面所成角，二面角的大小．在这一教学过程中，教师有效地发展了学生的逻辑推理，数学抽象的素养．在本节课的“回顾反思，提炼升华”环节，教师引导学生对本节课所学内容进行及时的复习、归纳、记忆，帮助学生归纳出利用空间向量计算空间的角的基本步骤，积极主动地构建各部分知识之间的联系，形成一个条理化、系统化的知识体系．在这一教学过程中，教师通过让学生自主探究，归纳推理，培养学生的理性思维和良好的学习态度，对学生核心素养的发展产生了积极的影响．
3.3 问题驱动，逻辑推理，类比生成
问题是数学的心脏，有了问题，才能激发学生的好奇心，才能开启学生的思维大门，也正是有了问题，学生的探究活动才有了载体．数学家笛卡尔曾说：“我们解决的每一个问题都将成为一个范例，用于解决其他问题．”数学教育家波利亚也曾指出：“假如你想从解题中得到最大收获，你就应该找出所做题目的最大特征，这些最大特征在你以后求解题目时，能起到指引的作用．”本节课从问题中来，回到问题中去．通过一个个问题的解决，激发了学生的学习兴趣和求知欲；同时面对新的问题的产生，采用类比分析的方法，解决用空间向量计算直线与平面所成角和二面角的大小问题．在具体问题中，体会用空间向量计算空间的角的优越性和不足，从而在系统地解决利用空间向量计算空间的角的同时培养了学生的批判性思维．
发展学生思维是指向数学核心素养的主目标，数学思维在学生数学学习中具有重要作用，没有数学思维，就没有真正的数学学习．数学核心素养是数学学科育人价值的集中体现，数学育人的核心是发展学生的理性思维．章建跃教授指出，学生核心素养是一个综合的整体，应该是各个学科为学生发展核心素养做贡献，做自己学科特色的贡献，比如数学学科就必须聚焦在思维上，特别是逻辑推理思维、理性思维，在培养学生的理性精神上做主要贡献．
可以说，“思维的科学”这一数学学科特性在本节课得以充分体现，数学在培养学生思维的能力上的作用也得到了充分发挥．因此，我们教师只有具备这种“发展思维是指向核心素养的主目标”的意识，才能设计出有一定思维量的探究活动；只有准确把握学生的认知规律，才能在学生的思维“最近发展区”内提出具有挑战性的数学问题；只有精准掌握课堂教学规律，才能在问题驱动下引发学生实质性的数学思考，从而实现让学生既掌握知识、技能又发展思维的教学目标．这样的数学探究过程才能成为培养学生数学核心素养的过程．
