有理数乘法教科书设计及教学分析——基于有理数乘法的历史*

孙丹丹 (华东师范大学数学科学学院 200241)

胡锡娥 (山东省济南中学 250001)

有理数乘法是初中数学的重要运算之一，尤其是负数与负数的乘法，因为不像正数的乘法一样有比较明显的现实意义，所以对于学生来说较为抽象[1]．如何进行教学才能更好地帮助学生理解这种数系扩充带来的新运算呢？已经有研究者进行了这方面的探索[2][3]，特别地，有些研究者查找了有理数乘法的历史，以期给教材设计和教学以启发[4].但历史的教育价值并非显然，教师可能阅读了历史仍然不清楚可以给教学何种启发．本文从分析教师最熟悉的几个版本的教科书入手，基于历史分析教科书，进而给出教学建议，以尝试联结历史、教材和教学．

1 4个版本教材梳理

人教版通过多组正数和0的乘法运算，得到正负相乘和负正相乘规则，如何得到？关键词是“规律”，具体通过以下两个问题呈现：(1)3×3=9，3× 2=6，3×1=3，3×0=0，找规律，要想该规律在引入负数后仍然成立，则3×(-1)=， 3×(-2)=，3×(-3)=；(2)3×3=9，2×3=6，1× 3=3，0×3=0，找规律，要想该规律在引入负数后仍然成立，则(-1)×3=，(-2)×3=，(-3)× 3=．接着，教材从值和绝对值两方面归纳正数乘以正数、正数乘以负数、负数乘以正数的计算规则．由此可见，人教版的设计思路是正数及0的乘法计算已知，通过多组正数及0的乘法算式找到规律，然后把规律推广到负数算式上，进而得到正负数相乘的计算法则．利用刚得到的正负数乘法计算法则，计算多组算式，同样的道理，找规律，推广规律，得到两负数相乘的规则.教材呈现如下：(-3)×3=， (-3)×2=，(-3)×1=，(-3)×0=，按照上述规律，(-3)×(-1)=，(-3)×(-2)=，(-3)×(-3)=．继而归纳有理数乘法计算法则．

北师大版在实际生活情境，具体来说是水位随时间变化的情境中，借由负数意义、乘法意义的推广，引出正正相乘和正负相乘的规则，具体问题及解答如下：甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，4天后甲乙水库水位的总变化量是多少？如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，则4天后甲水库水位的总变化量是3+3+ 3+3=3×4=12(cm)；4天后乙水库水位的总变化量是(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=-12(cm)．如何得到两负数乘法计算法则，北师大版与人教版处理方法相同，通过计算、找规律、推广规律得到，具体呈现如下：(-3)×4=-12，(-3)×3=，(-3)×2=，(-3)×1=，(-3)×0=，(-3)×(-1)=，(-3)×(-2)=， (-3)× (-3)=，(-3)×(-4)=．继而归纳有理数乘法计算法则．

华东师大版的处理方式也是先通过实际情境引出问题，具体是小虫随时间沿东西向路线爬行问题，得正正相乘和负正相乘，通过观察两式发现规律：两数相乘，若把一个因数变为它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数，推广规律猜想正负相乘和负负相乘的运算规则，最后给出0和负数的乘法运算规则，继而归纳有理数乘法计算法则．

沪教版先给出四个算式从计算引入，暗示相反数的规律的推广，又没有点明，这种模糊性给教师留下发挥空间．教材呈现如下：2×1=；(-2)× 1=；2×(-1)=；(-2)×(-1)=．而后提示，2×1=2，(-2)×1=-2，1乘以一个数等于这个数本身；2×(-1)=(-1)+(-1)=-2，一个数乘以-1等于这个数的相反数，进而抛出问题：(-2)×(-1)=？进一步(-4)×3=？(-4)×(-3)=？之后给出现实情境，具体是汽车随时间沿东西向公路行驶问题，得到正负数乘法的运算法则，最后给出0和正负数的乘法运算规则，即得到有理数乘法法则．

2 各版本教材分析与比较

比较以上四个版本教材的编写内容可以发现，有理数乘法的得到方式主要有两种途径：一是围绕数学规律，二是借助现实情境．但数学规律又有所不同，如人教版和北师大版的递减规律、华东师大版和沪教版的相反数规律；而现实情境大同小异，如北师大版的水位升降，华师大和沪教版的物体运动．如何运用这些途径，各版本也有不同呈现，人教版只围绕数学规律进行，沪教版则侧重现实情境，其他两个版本两者都有应用．此外，除人教版外，隐藏在有理数乘法规则探究过程中的还有两正数相乘的乘法意义扩充到正负数相乘．

数学规律的发现对学生来说难度不大，现实情境可以让乘法运算与生活结合起来，三个版本都做了这样的尝试，但沪教版难度最大，一贯性地用现实情境解释四个规则，涉及到了时间和路程方向两个维度的正负，北师大和华师大版本通过数学规律推广部分回避了这个问题，沪教版的好处在于使得整个正负数乘法法则都与生活情境建立起系统性联系．值得注意的是，除北师大版外，其他三个版本都将正负相乘和负正相乘分开来处理，因为两种情况不能理所当然认为是相等的，北师大版实际只给出了负正相乘就归纳出了异号相乘运算规则．

各个版本的设计都围绕数学规律和现实情境展开，这是偶然吗？数学规律依赖的是发现规律、推广规律.发现规律比较简单，推广到负数中我们也可以轻松得出有理数乘法法则，但为什么规律可以推广到负数中？我们知道，推广的规律其实不一定正确，那为什么教科书仅通过推广规律就“草率”得出了规则？背后究竟有怎样的道理和苦衷？另一方面，事实情境也仅仅是一种解释，并不严密，那到底为什么负负得正呢？如何在教学中更好地处理这些问题？为此，我们查阅了相关历史．

3 历史探寻与分析

首先，通过查阅历史我们发现，有些我们熟悉的历史名人都曾对两个负数相乘为什么是正数产生过疑问，例如19世纪法国著名作家司汤达(Stendhal,1783—1843)在其自传中描述了他学习“负负得正”的负面经历．司汤达小时候很喜爱数学，但当格勒诺布尔中心学校的数学教师迪皮伊先生教到“负负得正”这个运算法则时，司汤达一点都不理解，他希望老师能对“负负得正”的缘由作出解释．面对司汤达的提问，迪皮伊先生“只是不屑一顾地莞尔一笑”，而靠死记硬背学数学的一位高材生则对于司汤达的疑问嗤之以鼻．司汤达被“负负得正”困扰了很久，最后，在万般无奈之下只好接受了它，“负负得正”动摇了他对于数学与数学教师的信心[5]．法国著名昆虫学家、文学家法布尔(J.H.Fabre,1823—1915)在其《昆虫记》中也记述了他做家教时吃到的“负负得正”的苦头[6]，同样搞不清为什么“负负得正”的还有我国杂交水稻之父袁隆平院士．

从这些历史人物的回忆中我们可以发现一些共同的特点：(1)他们都思考过“负负得正”的原因，没有简单地接受规则，而是试图弄清楚规则背后的道理；(2)他们大都面对着一种负面主张——记住就好，这种主张可能来自自己的老师或同学；(3)他们大都因为困惑不能解决而对数学失去兴趣，甚至认为数学不讲道理，虽然造成这种消极观点或态度有众多原因，但“负负得正”无疑是其中一个，而且是印象深刻的一个．我们从历史上找到一些疑问，那历史上有没有对此疑问的讨论或解答？我们进一步查阅，发现历史上的解释主要分为以下两种类型：数学解释及生活情境解释，子类型和具体方法比教科书上更为丰富．

针对司汤达曾经提及的“负债问题”，美国数学家和数学史家M·克莱因(M.Kline,1908—1992)认为，“如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解的．”[5]他最早用债务解释“负负得正”，解决了“两次负债相乘的结果是神奇的收入”的问题：假定某人每天欠债5美元，可记为-5，在给定日期他身无分文，记为0美元，那么在给定日期3天后(记为+3)，他欠债15美元，可记为 -15，用数学表达式描述即(+3)×(-5)=-15；在给定日期3天前(记为-3)，他有财产15美元，用数学表达式描述即(-3)×(-5)=+15．除了负债，还有水箱进水排水、汽车往东往西运动等情境．一个与前面情境略有不同的是所谓“好人进城”模型，其中，负负得正解释为如果坏人(-)出了城(-)，对于城镇来说是好事(+)．

可以注意到这些情境中都有两个已知量，且都能根据某个基准确定出相反的意义，据此分正负，这也是中学负数的意义.例如，某时刻往后为正，往前为负；往东走是正，往西是负；进水为正，排水为负；收入为正，欠债为负；进城为正，出城为负．不同的是，最后一个情境很难解释为什么用乘法，坏人(-)出了城(-)，对于城镇来说是好事(+)，可为什么是负数乘负数是正数，不是负数加负数是正数？其他情境乘法的意义则比较明确，比如日收益乘时间得总收益，但要注意到这种关系来源于正数，负数的应用在某种程度上是一种推广，且收益和时间均为负时，比如每天消费5元，现在身无分文，3天前有多少元？我们一般转换角度用正数思维处理：3天前的钱数是现在的钱数0元加消费的钱数5×3=15元，也即在这种情境下我们没有必要必须用两个负数相乘求解.当然这可以是一种选择，因为结合负数的意义，推广量的乘法关系比较自然，也是对两数相乘得正的一种现实呼应．沪教版就主要采用了这样的现实模型进行解释．

从数学的逻辑严谨性来讲，现实情境解释无疑可能不被认可，W.Frend(1757—1841)在The Principles of Algebra一书中就反对用非数学例子为负数辩护：“尝试说明负数本质的方法之一是以负债或其他情形为隐喻，一个数学家如果不得不借助隐喻来解释科学的原理，那么他很可能从来没有准确地思考过这个问题．”[7]那从数学内部来看，负负得正有什么合理性呢？历史上也有许多数学家对此进行过讨论．Benedict取等差数列+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4，先将各项分别乘以+3，观察所得等差数列的规律，得出“负正得负”，再将数列各项分别乘以-3，观察新数列的规律，得出“负负得正”．显然，这与人教版的设计思路相同．

为什么这种规律可以推广，作者并没有解释，所以这种方法并不严密．作为一种说明，早期教科书中还出现了乘法意义拓广的解释，这种方法显然没有严格逻辑推理，所以同样不严密，它更像是已知负负得正后，将其与乘法加法意义相沟通的尝试(+5)×(+3)=(+5)+(+5)+(+5)=+15，(-5)× (+3)=+(-5)+(-5)+(-5)=-15，(+5)× (-3)=-(+5)-(+5)-(+5)=-15，(-5)× (-3)=-(-5)-(-5)-(-5)=+15．

有没有其他解释方法呢？桑德森在《代数基础》中指出：+4乘以+3等于12，所以-4乘以+3，或+4乘以-3，应为12的相反数-12，因此，-4乘以-3应为-12的相反数+12，即负负得正．严格来说，这里的逻辑是非常不严格的，因为他并没有解释为什么一个因数变为相反数，积就也要变为相反数．类似地，欧拉也用了这种相反数的说明方法，但是先用实际情境对正负数相乘进行了说明，与北师大版和华师大版的教材思路非常相似.欧拉在《代数基础》中首先通过债务的倍数来说明正负得负：将-a视为债务，取3次，则债务必变成3倍，故(-a)×3= -3a．一般地，有(-a)×b=-ab(a>0,b>0)，故“正负得负”．由于(-a)×(-b)要么等于ab，要么等于-ab，但已证(-a)×b=-ab，故(-a)× (-b)=ab．欧拉的解释方法其实与桑德森有同样的问题，为什么(-a)×(-b)的符号一定要与(-a)×b的符号相反？D.E.史密斯对此类解释表示怀疑：“如果乘数的符号改变，那乘积的符号也必须改变，作为一种证明，这就好比如果一个白人穿的是黑鞋子，那么肤色相反的黑人必须穿的是相反颜色的鞋子．”[8]

相对最严密要数下面运用(或逆用)了乘法分配律的方法了，F·克莱因称之为“半逻辑证明”： (a-a)×d=ad+(-a)×d=0，故(-a)×d= -ad；(a-a)×(-d)=a×(-d)+(-a)×(-d)=

-ad+(-a)×(-d)，故(-a)×(-d)=ad．

这种推理是不是真的严密？其实不然，因为这种“半逻辑证明”中依据的分配律其实是正数和零所满足的运算律，包括交换律、结合律和分配律.

正数和零所满足的运算律怎么可以用在负数上来证明“负负得正”呢？实际上，这些运算律能用于负数，正是因为“负负得正”的保障，也即上面的“证明”表明：当我们把非负整数所满足的运算律用于负数时，两个负数相乘的结果只能是正数．数系扩充所遵循的原则之一就是运算律的无矛盾性.诚然，我们可以规定“负负得负”，但这样做时，我们至少要放弃正整数集所满足的其中一个运算律．所以，历史告诉我们，负负得正是不可以被证明的．19世纪德国数学家汉克尔(H.Hankel,1839—1873)早就说过：在形式化的算术中，“负负得正”是不能证明的．数学家F·克莱因也提出忠告：“我请求你们不要把不可能的证明讲得似乎成立．大家应该用简单的例子来使学生相信，或有可能的话，让他们自己弄清楚：从实际情况来看，承袭性原则所包含的这些约定关系，恰好是适当的，因为可以得到一致方便的算法，而其他任何一种约定，总要强迫我们考虑许多特例．”[9]这大概是有关“负负得正”的最后一张底牌了．

回头来看历史上的各种解释，大多取自一些早期教科书，所以编写者所做的各种说明，大都并非是想严格证明“负负得正”，而是寻找让读者接受“负负得正”的理由，为“负负得正”的合理性做辩解，这与我们当今教科书的目的是相同的．F·克莱因曾说，“必须向学生强调，普遍有用的约定确实存在，这个事实真是奇妙之至！同时使他们明白，这绝不是不言而喻的．”教科书的目的就在于让读者体会这种约定的奇妙，进而欣然接受．

4 历史启示

历史名人的回忆启示我们，学生对于“负负得正”的学习可能会有疑问，“为什么负负得正？”，如果学生提出这样的问题，作为一位教师，答案不应该是“记住就好”，这样的回答可能会扼杀学生的学习兴趣，相反教师应该充肯定学生提出的问题并与学生一起解决问题．如果我们的学生没有提出任何问题，我们或许应该尝试调查学生是否真的明白了其中的道理，还是学生被动接受缺少主动思考，如果是后者，教师应该多激发引导学生积极思考，保持对新知识的好奇，敢于表达自己的想法．

如何看待教科书中给出的解释？历史告诉我们负负得正不可证，但可以通过从生活和数学的角度进行解释，虽然是一个规定，但这些解释体现了这种规定的奇妙，让人叹服．前面已经分析，如今各个版本的教材都采取不同方式进行了解释，通过历史分析可以发现这些解释都是尝试兼顾科学性与认知难度的选择．同时历史可以让我们站得更高，历史告诉我们，这只是解释，不是证明，历史也告诉我们把解释当作证明会受到攻击．这有什么区别呢？解释是一些合理性的说明，比如我们可以说，因为“负负得正”，我们多了一些解决现实情境问题的方式，所以这种规定很合理；因为“负负得正”，我们可以延续一些已有的规律，所以这种规定很合理；因为“负负得正”，我们可以让原本的运算律不因新成员加入而更改，使得新数集不用改弦更张，另起炉灶，所以这种规定很合理．但这不应该被误认为是证明，不能说能在一定情境中解决问题，所以“负负”就是“正”，因为这种应用其实没有严格的基础，我们只是推广了正数中得到的量的关系．不能说推广了规律，所以负负就是正，因为没有任何理由推广规律就能得到正确的结论．若把解释当证明，原本为了讲道理的解释也会变得不讲道理．

如何使用各个版本教科书进行教学？无论使用哪个版本，最常见的教学顺序都是抛出问题、给出规则合理性解释、归纳运算规则．结合历史分析给出如下思考：(1)抛出问题谁来抛？教师可以自说自画，但尝试引导学生思考提出问题不失为一个更好的选择，这有利于培养学生成为独立思考的个体．(2)解释规则合理性如何解释？因为解释不等于证明，在解释时应该特别注意导向性用词，重在引导学生体会法则合理性．从数学角度解释，主要引导学生发现规律，推广规律，难度不大.从生活情境解释，总的来说，关键在于学生找到并表示出相反意义的量，这与学生对负数意义的理解息息相关，回顾相关内容有利于打开学生的思路，难点是两个负数的乘法，教师可以根据学生基础，也可选择搭配数学规律推广进行合理性解释以降低难度，把“负负得正”的现实解释作为选读，给学有余力的学生发挥空间．(3)解释几项规则？正负相乘一共有四种情况，需要分开处理，我们对正数乘法的运算律熟悉，容易产生迁移，认为正负相乘和负正相乘的计算结果理应相等，这无疑是错误的．(4)哪些解释更“合理”？人教版的归纳递减规律推广规律似乎最容易受质疑，其次是归纳相反数规律推广规律，再次是分配律推广和生活情景解释．(5)要不要亮出底牌？教师心中要有底牌以解答学生可能提出的终极追问，在学生没有提问的情况下要不要主动说明，可能要依据学情综合考虑．

各个版本教科书中有多种对负负得正合理性的不同解释，历史中有更多样的方法，这启示我们，负负得正的合理性探索是一个开放性的话题．在这样的主题中，教师可以发挥学生的创造力，充分调动学生的积极性，鼓励学生来寻找或创造多样化的解释方法，体会数学的缤纷多彩，也可以给学生一些补充材料，将课堂延伸到课下，供感兴趣的学生选读．

通过这节课的教学可以达成的目标或许有很多，以下都可能作为选择：准确记忆规则；会运用规则计算；理解规则的合理性解释，感受规定的合理性；区分解释和证明，知道负负得正不可证，是为了保证运算律继续成立；初步了解代数体系的建构；感受数学规定的奇妙，体会凡事都有缘由，学习过程应保持好奇、勤于思考等等．