数学文化融入高三课堂的实践与思考——以斐波那契数列为例

陈银辉 葛文明 (江苏省扬州市新华中学 225009)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出数学文化要融入课程内容．高三以复习课为主，课时紧容量大，数学文化的融入更受限制，一些优秀的文化素材可以进行精选、加工，再有机嵌入课堂内容中，教学设计既关注所复习内容的文化挖掘，又着眼于数学核心素养的落地生根．本文以斐波那契数列融入数列单元复习为例，浅谈数学文化融入高三一轮复习课堂的实践与反思．

1 前期教学分析

斐波那契数列是《普通高中课程标准实验教科书数学(必修5)·苏教版》[1]第62—64页的阅读材料，高一时学生作为链接阅读材料去读，初步了解了斐波那契数列的由来及应用，高一高二多以斐波那契数列做为兴趣课和拓展课，涉及斐波那契数列的有趣性质在自然、绘画、建筑中的应用等，侧重于数学的美学赏析．斐波那契数列是数学与自然的完美结合,是数列中的一颗璀璨明星，如果说该数列的外在美是由内而发的，那么关于斐波那契数列的通项、求和等问题就不可不提．

笔者在高三一轮复习数列概念时提及斐波那契数列，学生对这个有现实背景的数列很感兴趣，但此了解仅限于课本阅读材料，高一高二并无拓展．教科书所运用的有关数学文化的素材，其功能远远不只是点缀，只有在更高水平上将其融入，才能发挥其更大的价值．数列是特殊的离散函数，斐波那契数列与等差等比数列一样，都是从现实背景抽象概括出的重要函数模型，它们是一脉相承的,可类比研究，斐波那契数列模型的建立有助于学生对数列单元形成系统的理解和把握．在不影响进度，不增加负担的约束条件下，以学生的兴趣和基础为出发点，如何将斐波那契数列融入课堂，以期达到提升能力，落实核心素养的目标最大化呢？高三学生对各个模块及相应单元有了基本的知识和方法框架，数学文化更易渗透，从单元设计的视角，斐波那契数列不仅有着丰富的实际问题情境和完美的外在呈现，而且可围绕由递推关系求通项、求和等核心问题展开，这为后续的整体教学设计提供了可行性．

2 教学片段过程

2.1 数列概念复习课融入数学文化

数列概念课复习时，回归课本，重提斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ….800多年前，意大利数学家斐波那契在它的传世之作《算盘书》里提出了有名的兔子繁殖问题．

师：一对兔子一年可繁殖多少对兔子呢？记第n个月的兔子对数为an，你能找到该数列的规律和通项吗？

生：第13项是233，我发现数列的每一项等于前面两项之和，但通项很难写出来．

图1

师：如图1观察蜜蜂爬过六角形蜂房所取的不同路线，假定该蜜蜂是向相邻的蜂房移动并且总是向右移动，那么蜜蜂移动到蜂房11有多少条路线呢？发现了什么规律?

生：到蜂房0有1条路线，到蜂房1有1条路线，到蜂房2的路线数是到蜂房0和蜂房1的路线数之和，照此规律，路线数恰好符合斐波那契数列的规律，到蜂房11的路线数是a12=144．

回归课本丰富的情景素材，编制问题供学生探究，引导学生把规律表达为数列的递推关系an+2=an+1+an，提出通项问题为后面埋下伏笔．由兔子问题衍生出来的斐波那契数暗藏在树丫、花瓣，松果、向日葵种子中．以上融入让学生感知数学是解密自然规律的一种语言，激发学生学习数列的兴趣，理解数列是刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，培养了学生数学直观和数学抽象的核心素养．

2.2 数列递推关系求通项课融入数学文化

通过表1回顾等差等比数列的有关问题，通过类比去研究斐波那契数列．

表1

求斐波那契数列的通项前，学生已复习常用求通项方法，学生已掌握由连续两项递推关系的求通项问题，形如an+1=pan+q(p≠1,q≠0)，an+1=pan+q·pn(p≠1,q≠0)，通过配常数或者同除幂构造等差或等比数列．斐波那契数列是连续三项的递推关系，有以上基础去求通项也是困难的，复习该节时学生恰遇到这样一个问题：

引例 已知数列{an}中，a1=1,a2=1，且an+1= (1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0)．

(1)设bn=an+1-an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

师：以上过程中，你是怎么把三项递推关系化归为两项关系的？

生：主要是把中间项an拆开，与an+1,an-1重组，构造新数列bn为等比数列．

师：你能类比处理斐波那契数列的递推关系吗？

问题1已知数列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an，求数列{an}的通项公式．

问题1′已知数列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an．

(1)若{an+1+λan}为等比数列，求实数λ的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

问题1是引例的变式，课堂内容的生成和生长让探究有章可循．若课堂时间紧张，可适当降低难度，改编为问题1′，让不同的人在数学上得到不同的发展．令人赞叹的是，每项都是正整数的数列竟然可以用无理数表示，而且这个式子有很完美的对称性，还与黄金分割数有关系．其实，斐波那契数列又称为黄金分割数列，因其相邻两数的比值无限地趋向黄金分割数而得名．

2.3 数列求和课融入数学文化

师：我们已经掌握了等差等比数列的求和及分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等常用求和方法，对于斐波那契数列的和你能提出什么问题？用什么方法求和？

问题2已知数列{an}中，a1=1,a2=1，且an+2=an+1+an，求前n项和Sn．

问题2是贴合本节求和问题设计的，引导学生从递推关系和通项关系两个角度去考虑求和，培养了学生分析问题、解决问题的能力．当然更有趣的还有斐波那契数列的平方和．

图2

如果把每个斐波那契数的平方看成以该数为边的正方形面积，依据斐波那契的递推公式，它们逐渐可拼成一个更大的矩形，这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积．这是问题3结论的几何验证．接着在每个正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，可以动手操作(图2)，这是一个很神奇的螺线．自然界中存在很多斐波那契螺旋线的图案，比鹦鹉螺壳(图3)，松果、凤梨、向日葵种子等．很多经典艺术作品的构图中也发现斐波那契螺旋线，如达芬奇画作《蒙娜丽莎的微笑》(图4)，葛饰北斋的《巨浪》，约翰内斯·维米尔的《戴珍珠耳环的少女》，苹果logo的设计等．

图3 图4

2.4 赏析以斐波那契数列为文化背景的高考、模考题

图5

问题5在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用图5所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0, 1, 2, 3, …时(a+b)n展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{an}．例如，a1=1,a2=1+1,a3=1+2, …．

(1)写出数列{an}的通项公式(结果用组合数表示)，无需证明；

(2)猜想a1+a2+…+an与an+2的大小关系，并用数学归纳法证明．

优秀试题渗透数学文化也是高三教学常用的方式，以斐波那契数列为文化背景的高考题和模考题屡见不鲜[2]，如2009福建高考，第15题同学报数拍手问题；2009陕西高考第22题数列压轴题；2011湖北高考第15题正方形涂色问题；2012江西高考第12题归纳推理；2012上海高考第14题数列和函数综合．前几年高考里斐波那契数列多以压轴题形式出现，近几年模拟题里斐波那契数列呈现形式多样化，如与算法综合(2020四川内江市模考)，与逻辑综合(2020湖南省湘潭市一模)，与二项式定理的综合等．

3 教学反思

3.1 数学文化融入高三复习要自然流畅

知识的引入并非强加于学生，而要凸显其必要性，从而激发学生的学习动机．[2]斐波那契数列由著名的兔子问题而来，丰富的实际问题背景和应用情景让抽象的数列灵动起来，学生的热情被点燃，也产生了困惑，规律易得通项难求．斐波那契数列是一种重要的数列模型，它和等差等比数列的研究是一脉相承的，斐波那契数列内容、方法的选取和问题的编制都是以课堂为生长点提出的，与当节复习内容有机结合、相辅相成，在问题解决中，学生不仅巩固应用了所学知识方法，如构造法求通项，等比数列求和，分组并项求和，不完全归纳与数学归纳法等，也提高了类比、归纳，迁移的能力．

3.2 斐波那契数列的教学价值不止于此

从兔子繁殖问题到高考试题，它的教学价值不仅于此，如斐波那契数列的通项公式问题，除了上述构造法，还有特征值法，母函数法等，法国学者卡西尼、数学家棣莫弗从不同角度都有过研究，后来美国还创刊《斐波那契季刊》专门研究该数列．斐波那契数列是大自然的暗语，也应用于绘画、建筑、文学作品中，随着计算机的发展，股市分析图和编程中都有它的一席之地，它的应用与美学价值也不可小觑．从哲学上看，道德经中“道生一，一生二，二生三，三生万物”，如果用0表示“道”，斐波那契数列正是这句话的精辟表达．

3.3 落实核心素养，实现育人价值

数学文化可以让学生从更广阔的视角思考分析问题，提升学科思维水平．一系列问题解决过程中，引导学生逐步建立起斐波那契数列的模型，并形成类比、化归的思想方法．课堂上让学生自主和合作探究解决历史名题，激发了学生学习数列的积极性和主动性，有利于落实直观想象，数学抽象，数学运算，数学建模等核心素养．最后，从斐波那契数列的规律看,不难获得一个生活真谛，明天的成就=今天的努力+昨天的积累，与君共勉！