“探索三角形全等的条件(1)”课堂实录与反思

袁芹芹 (西安市第一中学 710082)

宋 旋 (陕西省西咸新区沣东第二初级中学 710091)

2020年5月，根据学情，笔者尝试上一节完全开放式的探索课—北师大版七年级下册“探索三角形全等的条件”.摒弃了传统的教学设计,采用从一个条件开始，逐渐增加条件的数量，一次探究一个条件、两个条件、三个条件能否保证两个三角形全等，在探索判定方法的过程中，体会作图、观察、分析、猜想等研究几何问题的方法.本节课预设：让学生自己先画一个三角形，利用三角板，直尺，量角器，圆规等数学用具，再画一个与前面三角形全等的三角形，做到真正放手，感受探索三角形全等条件的过程.不仅锻炼了学生的动手操作能力，也为学生几何直观的发展，数学活动经验的积累，个性的发挥，特别是发散思维的培养提供了机会.

1 复习回顾 导入新课

师：同学们，前面我们已经学习了全等三角形的性质，大家能用符号语言来描述一下吗？

生：因为△ABC≌△DEF，所以∠A=∠D,∠B=∠E, ∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF.

图1

师：怎样判断两个三角形全等？

生1：形状和大小能完全重合的两个三角形是全等三角形.

生2：对应边相等，对应角相等的两个三角形全等.

师：两种表述全等三角形定义的方法都可以，那么大家能用符号语言来描述吗？

生：因为∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF, 所以 △ABC≌ △DEF.

师:如果依据定义，我们判定两个三角形全等，需要六个条件，那么有没有更简捷的方法来判定两个三角形全等呢？如果分别只给一个条件、两个条件或三个条件呢？这就是我们本节课需要研究的问题——探索三角形全等的条件.

板书课题：探索三角形全等的条件

设计意图通过复习，引发学生思考判定两个三角形全等，至少需要几个条件.设置悬念，提高学生的探索兴趣.

2 动手操作 探究新知

师：请同学们拿出课前准备好的学习用具：铅笔、直尺、圆规、量角器、三角板、练习本等，在练习本上画一个大小比较适中的三角形.

学生活动：学生动手画的有锐角三角形，钝角三角形，还有直角三角形.有大一些，还有小一些.

师：各位同学，借助你手头上已有的学习用具，开动自己的大脑，画一个与你前面所画的三角形全等的三角形.

设计意图充分信任学生，让学生运用学过的知识、方法自主探索如何作图.教师巡视，及时指导，开放式教学,收放自如.

生1：利用直尺采用度量的方法，先画一边相等，再画第二边相等，连接第三边，通过测量，发现第三边比已知三角形第三边小.改变思路，让前两边的角度增大，发现连接第三边比已知第三边大，慢慢调整，多次试验，终于找到了和第三边相等的位置的点，连接起来，撕下后面画的三角形，放在前面所画的三角形的上面，发现能完全重合.

生1结论：如果保证两条边对应相等，两个三角形不一定全等，那么一条边相等，两个三角形肯定也不一定全等.只有三条边都相等，则这个三角形才全等.

生2：利用量角器测量已知三角形的三个内角，画出三角形，撕下比对，发现这两个三角形全等.

生3：尺规作图，已知三边，作了一个与已知三角形全等的三角形.

生4：利用量角器先画一个相等的角，并撕下这个角，放置在原三角形中，想象一个顶点已经确定，在比对角中确定第二个顶点，用笔进行标注，发现还需要第三个顶点，所以再次进行比对，确定第三个顶点.

生4结论：一个角相等的两个三角形不一定全等，一个角和一条边相等的两个三角形也不一定全等，两角和一边相等的两个三角形才全等.

生5：先用量角器作一个相等的角，在角的一边上量取一段线段和已知三角形的一边相等，在边的另一端再用量角器作第二个相等的角.撕下对比发现两个三角形全等.

生5结论：两个角和一条边分别相等的两个三角形全等.

生6：前面学过可以利用尺规作图作一个角，于是可以利用尺规作图先作一个相等角，然后在角的两边截取两段与已知三角形相等的边，撕下进行比对，发现两个三角形全等.

生6结论：两边一夹角相等的两个三角形全等.

……

师：六位同学可以分享自己的想法和做法.其他同学可以提出疑问.

生3：我上过网课，知道利用尺规作图，保证三边相等时，这两个三角形全等.一个、两个条件不能证明两个三角形全等，至少需要三个条件.

生4和生5也表述了自己的观点.

师：大家都探索出了保证两个三角形全等需要三个条件，一个条件、两个条件都不能证明全等，那么有没有实际的反例来推翻它呢？

生1：一副三角板中的两个三角形满足一个角对应相等，但它们不全等.

生2：一副三角板中的两个三角形满足一条边对应相等，但它们不全等.

师：非常好，生1和生2分别给出了满足一个条件时两个三角形不全等的例子，也反映了一个条件可分为两种情况进行讨论.

师：那么两个条件又分为几种情况？

学生齐声回答：两个角、两条边、一边一角.

师：大家还能举出反例吗？

生1：一副三角板中，60°角的对边和45°角三角板的斜边相等，且又有90°的角相等，说明满足一角一边相等，两个三角形不一定全等.

生2：我的三角板和老师的三角板能满足三个角对应相等，但它们不全等，说明三个角对应相等，不能保证两个三角形全等，更不用说两个角了.

图2

生3：和大家分享一下我的尺规作图.从图2中可以看出，△ABC1和△ABC2能满足两条边相等，但它们不全等.

师：我们可以把掌声送给刚才的三位同伴.他们不仅排除了两个条件不能证明三角形全等的所有可能，而且生2还排除了三个条件中的三个角分别相等的三角形不能全等的可能.

师：下面我们就可以考虑三个条件证明三角形全等的可能了.那么三个条件有哪几种情况呢？

生1：三个角分别相等，三条边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等.

生2：三个角分别相等已经被排除.

生3：三边分别相等的两个三角形一定能全等.

师：一定吗？

生3：利用尺规作图，我们一组几个人作的是同一个三角形，三边分别相等，撕下的结果是完全重合的，说明这么多的三角形全等.

师：非常好，很有说服力，也就是说三边分别相等的两个三角形全等.这就是我们本节课的内容——探索三角形全等的条件(1).

文字语言：三边分别相等的两个三角形全等.(简写为：“边边边”或“SSS”)

图形语言：

图3

符号语言：在△ABC和△A1B1C1中

所以△ABC≌△A1B1C1(SSS).

(教师板书并提醒“书写规范”)

师：前面还有同学也探究出两边一角和两角一边的情况，也能证明两个三角形全等，是否真能全等，下一节课我们将继续探究、验证和学习.

师：三角形全等在生活中有非常广泛的应用(展示三角形稳定性的应用图片，并举例学校门口的电动门进行对比).上面的现象说明了什么？

生：说明三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.

师板演：三角形具有稳定性.

设计意图通过学生展示探索过程，使用学具举反例，进一步提高学生语言表达能力及归纳概括能力.

3 回顾与反思

3.1 单元教学，整体设计

钟启泉认为单元教学设计不是单纯知识点传输与技能训练的安排，而是教师基于学科素养，思考怎样描绘基于一定目标与主题而开展探究活动，目的是为了创造优质的教学，这就需要在“核心素养—课程标准—单元设计—课时计划”这一连串环环相扣的链环中聚焦核心素养展开运作.把单元教学作为撬动课堂转型的一个支点，整体把握课程结构，真正落实数学核心素养.

单元教学设计所强调的是一个整体教学，要实现这个整体，需要从单元的宏观开始，逐层过渡到微观，具体地说要将其细化为不同的阶段，同时每一个阶段又在一定的课时中去实现.在单元教学目标确定之后，需要教师将单元教学流程进行分解，在教学流程设计中，考虑到教学前后衔接的同时，也能顾及到各个课时之间的脉络.

教师对教学内容与要求进行整体把握，将教材中的四种判定方法以一个整体的形式呈现在同一节课上.立足点是画一个三角形，判定方法归结为画 出的三角形的形状和大小是唯一的.这样处理更有助于培养学生思辨能力和分析问题、解决问题的能力.

3.2 教师主导，学生主体

本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学理念.数学学习不仅是知识的学习,更重要的是方法的学习.在教学中,教师摒弃了直接给出“SSS”条件的教学方法,以学生的数学探索活动为主线,采用了“引导—自主探索”的教学模式,以探索三角形全等的条件为中心,遵循学生的认知规律,注重学生在独立思考基础上的合作交流,将教师的“引”与学生的“探”融为一个和谐的整体, 凸显了学生的主体地位，让学生感受蕴藏在数学里的“美”，让学生亲身经历操作、观察、归纳、交流等确定三角形全等的条件的全过程.教师以探究任务引导学生自学自悟的方式,提供了学生自主合作探究的舞台,营造了思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力.

3.3 相信学生，放手探索

把合作交流的空间真正的还给了学生.教师在课堂教学中能想方设法照顾到每一名学生,让全体学生都动起来.在把学生的结论互相比较之前,留给学生足够的时间,使大部分的学生都能完成作图的活动,其间，教师还能对作图有困难的学生给予适当的指导.

3.4 处处留心皆教具

在排除判定三角形全等的一个、两个条件时，教师及时引导学生通过观察手中的学具——一副三角板，找出反例，体现了教师能够充分利用身边的教具，引导学生动手操作学习，提高学生参与意识.