中学数学解题教学之我见(上)

郑毓信 (南京大学哲学系 210093)

为什么要特别强调中学数学解题教学？因为，中小学在这方面有很大差异：尽管小学也有一定升学压力，但主要只是在进入“高段”后才有较明显的表现.而且，随着升学制度的改革，特别是小升初就近入学、民校摇号免试入学等措施的推出，原有的压力已在很大程度上得到了缓解.相对而言，学生进入中学以后，至少在初二就明显感受到了升学的压力，也正因此，如果一个教师的学生不会解题，从而在各种考试中表现得不够理想，他同样会感受到各方面的巨大压力，乃至会不会教解题在很大程度上已经成为中学数学教师的基本生存之道：对此人们只能无可奈何地接受，甚至已不再思考这一现象的合理性与危害性，但这往往又会导致这样的后果，即是题海战术的盛行，学生则苦不堪言．

由以下事实可以更清楚地感受到中小学在这方面的巨大差异：中学数学教师很少会对为什么要教解题做出认真思考，更谈不上这一方面的积极改革，后者对于小学数学教师而言则常常被看成课程改革的必然要求，对于例如由对于“探究性作业”与“数学应用”的高度重视就可清楚看出，包括相关的理论分析与研究，即如在所谓的“问题解决”或“解决问题”与传统的算术应用题教学之间究竟有什么不同？我们又如何能够突破已有工作的局限性，即如由单纯强调学生解决问题的能力转而同时重视提出问题能力的培养等．

与此相对照，中学数学教师在这方面的表现则可说现实得多，并就常常集中于这样一点：“在确保升学率的同时，怎样才能使学生负担不重，思维得到发展？”[1]甚至都未能进一步去思考如何才能减轻学生的负担，其中所谓的“思维得到发展”往往也就局限于“解题能力的提升”．

相关的表现在学生身上也有直接反映：他们通常不反对做题，而只是希望教师不要不加选择地要求他们大量地做题，也即解题教学中的随意性、盲目性，教师又不善于做出指导，而只是就题论题，甚至简单照搬教辅书上的做法却没有真正弄懂，更不用说自己的分析和思考．与此相对照，如果中学教师在上述方面有较好表现，也即不仅有较强的解题能力，也会教解题，就会受到学生欢迎，并被各方面认为是个好老师！

但是，在此仍然存在很大风险：首先，一旦学生在某一考试中受挫，相关教师往往就会重新回到“题海战术”；其次，教师的教学思想也容易出现各种偏差，如对于“解题经验的简单积累”与“思维活动的显性化、算法化”的片面强调等．最后，这显然也是任一教育工作者都应认真思考的一个问题，即如何能够很好落实“立德树人”这一根本目标——就当前的论题而言，这也就是指，我们如何才能由“就题论题”经由“就题论法”上升到“就题论道”(王华语)，而这事实上也就要求我们更深入地去思考这样一些问题：我们究竟应当如何认识解题教学的意义？我们又应如何更好地从事解题教学？

以下就对此做出具体分析．

1 教师必备的专业知识

在此不妨首先讨论这样一个问题：什么是数学教师在这方面的必备知识？笔者的看法是：数学解题最核心的知识内容就是波利亚的“数学启发法”，也即他围绕“怎样解题”所开展的系列研究．除此以外，我们当然也应很好了解这一方面的后继工作，包括中国的数学方法论研究，以及20世纪80年代起国际数学教育界围绕“问题解决”这一改革运动所开展的现代研究．再者，正如人们普遍认识到了的，“变式理论”也是我们在这方面应当很好掌握的一个理论．

以下就是笔者在这方面的一个亲身经历：由于波利亚在这方面的工作主要都是在20世纪 40-50年代完成的，因此，自己在很长时期内就一直有这样一个问题，包括利用外访的机会与国外同行对此做直接的讨论：什么是这方面在波利亚以后的主要发展？谁又可以被看成波利亚在当代的接班人，或者说“问题解决”现代研究的代表人物？尽管相关过程并不顺利，因为，国外有不少自称为“波利亚接班人”的人“名不符实”，但20世纪80年代以“问题解决”作为主要口号的改革运动确可被看成对于“问题解决”的现代研究产生了重要的促进作用，尽管其本身并非十分成功，主要的指导思想在理论上也有不少问题．

具体地说，笔者并愿特别推荐美国学者舍费尔德(A.Schoenfeld)的这样一部著作：《数学问题解决》，因为该书的主要内容就是为我们深入研究解题行为提供了一个新的概念框架；另外，通过这一工作与中国数学方法论研究的比较我们也可大致了解这一方面工作的不同范式或研究重点．(详见文献[2] 第二章)

其次，为了切实提升自己的解题能力，我们又应认真思考这样一个问题，即通过认真读书我们是否就可学会解题？当然，我们在此还应适当扩大学习的范围，也即将另外一些具有更大针对性的论著也包括在内，如罗增儒教授的《数学解题学引论》[3]和《中学数学解题的理论与实践》[4]，陈永明老师的《数学习题教学研究》[1]等．

上述问题的解答应当说十分明显：尽管理论学习有很大帮助，但又正如学生仅仅通过听教师讲题并不能学会解题，数学教师仅仅通过阅读相关书藉也不可能有效提升自己的解题能力，因为，即使从理论学习的角度看，我们也只有通过积极的解题实践才能做到很好的理解；更重要的是，我们在此又应清楚地看到这样一个事实：就数学解题这样的实践性活动而言，并不存在普适性的理论，而且，与现成理论的直接应用相比，我们又应更加重视自己的体会与经验，包括以此为基础做出总结和进一步的研究，从而才有可能在实践与理论这样两个方面取得同步的增长，而后者显然又应被看成数学教师必须满足的一个要求，即不仅自身有较强的解题能力，也知道应当如何从事解题的教学．

为了清楚地说明问题，在此还可与语文教师做一简单比较：如果说一定的阅读能力即可被看成语文教师必需具备的一种能力，那么，较强的解题能力就应被看成数学教师必须具备的一种专业能力.当然，这又是任一学科的教师都应切实做好的一件事，即应当超出自己的专业并从更一般的角度去思考学科教育的基本目标，包括依据相关认识更好地认识自身工作的意义，包括如何才能真正做好自身的工作——如果采用上面的提法，这也就是指，我们如何真正做好“就题论道”？这也正是本文的主要关注．

2 若干重要的认识

希望以下讨论能有助于读者提升在这方面的自觉性，包括有效防止与纠正各种可能的简单化与片面性认识．

首先，有效解决一切问题的“万能方法”并不存在，但这并不应被理解成关于解题的任何研究都不具有真正的意义，或者说，我们对此只能做出纯粹的描述性研究；恰恰相反，在所说的“规范性”与“描述性”研究之间还有第三种可能性，就是“启发性”的研究．

从历史的角度看，这就是波利亚相关研究的主要意义，更因此而导致了“数学启发法的现代复兴”，也即在很大程度上决定了“问题解决”现代研究的基本性质：这并非纯粹的描述性工作，而是希望通过成功实例的分析总结出普遍性的思维方法或模式，从而就可对新的解题活动发挥启示的作用；但是，对此我们又不应理解成必须严格遵循的硬性规定，恰恰相反，相关活动应当始终遵循这样一个基本原则：如果解题者对于如何求解面临的问题有明确想法，就完全可以按照自己的想法去从事解题，而不用顾及任何的方法论建议．

再者，这又是波利亚十分高明的一点：尽管其所从事的主要是数学解题活动的研究，但他又突出强调了相关研究的普遍意义，即认为这十分有益于人们解决问题能力的提升，对此我们应超出数学、从更广泛的角度进行理解．例如，波利亚指出：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，正是绕过障碍，在眼前无捷径的情况下迂回的能力使聪明的动物高出愚笨的动物，使人高出最聪明的动物，并使聪明的人高出愚笨的人．”又，“解题是人类的本性．我们可以把人类定义为‘解题的动物’；他的生活充满了不可立即实现的目标．我们大部分的有意识思维是与解题相关的；当我们并未沉溺于娱乐或白日做梦时，我们的思想有着明确的目标．”另外，我们显然也可从同一角度去理解波利亚对于“数学启发法”常识性质的强调：这“对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的．”[5][6]

更一般地说，这事实上也正是数学教育研究在当前应当特别重视的一个问题，即必须超出自身专业、并从更一般的角度认识数学教育的意义，特别是对数学教育目标做出适当界定，并依据这一立场从事各个具体问题的分析．

例如，基于这一立场，这显然就是我们在从事解题教学研究时应当认真思考的一些问题：我们是否可以将“数学解题能力”与一般的“解决问题能力”简单等同起来？我们又是否应当将努力提升人们解决问题的能力看成数学教育的唯一目标，还是应当对此做出必要的调整与补充？

其次，我们在此又应清楚地认识到这样一个事实：学生解决问题能力的提升主要依靠后天的学习，更离不开教师的直接指导．

应当指出，这事实上也是诸多相关研究的一个共同结论，即认为相关学习有一个不断提升的过程或是一定的层次性，我们甚至还应明确肯定“模仿”在这方面的重要作用．例如，这就是陈永明老师的一个明确看法，即认为习题安排必须遵循如下的“层次性原则”：“首先要分知识点，要先练一个知识点，再练另一个知识点，每个知识点往往有几种不同类型的题目，一般来说，应该先练一个类型，再练另一个类型；对每个类型的题目来说，要由浅入深，先模仿，再变式，基本的解法熟练了，再安排包含各个类型、各个知识点的综合题，继而才是应用题、开放题．最后，才可以打乱知识点，打乱类型，用试卷的形式进行训练．”[1]5

当然，在强调教师指导作用的同时，我们也应十分重视学生自身的领悟，包括由简单模仿向自觉学习的重要转变．后者事实上也正是罗增儒教授提出的关于学会解题的以下“四步骤程式”的核心所在：(1)简单模仿；(2)变式练习；(3)自发领悟；(4)自觉分析．[4]

另外，在笔者看来，我们也可从同一角度对“学生的主动探究”做出简要分析：就数学解题而言，重点并不在于我们是否应当特别重视“探究性作业”，而是学生在相关活动中是否始终处于积极思考这样一种状态，特别是，解题学习决不应蜕化为机械记忆与简单模仿，我们应充分重视引导学生通过积极的解题实践与认真总结反思获得这方面的真切感受与体会，包括方法上的普遍性收获．应当指出的是，后者事实上也正是“问题解决”这一口号的本意所在：这主要地不是指利用现成方法就可得到解决的常规性问题，而是指我们如何能够综合地、创造性地应用已有知识和技能求解那些非常规性的问题，这应当被看成真正的探究性工作．更一般地说，这也就是指，相对于数学史上的真实创造而言，学生的数学学习不仅是一种“再创造”，而且是“教师指导下的再创造”．(弗赖登塔尔语)

显然，上述分析与如下的基本教学思想也是完全一致的：教学中我们既应充分发挥教师的主导作用也应很好体现学生的主体地位．进而，这又是我们在从事任一教学问题的研究时所应坚持的基本立场，即“大处着眼，以大驭小”．

以下就对数学教育的基本目标做出简要分析．笔者以为，这正是数学教育最基本的一个“大道理”，即是除去数学基础知识与基本技能的学习，我们还应通过具体数学知识与技能的教学促进学生思维的发展，包括由单纯强调帮助学生“学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”，这也就是指，我们应将努力提升学生的思维品质看成数学教育的主要目标．

依据数学的特点我们可以对上述主张做出进一步的解读：这主要是指帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，也即努力提升思维的深刻性、灵活性和自觉性．

再则，就是数学教师在教学中的主要作用，即应对学生的学习发挥重要的指导作用，这清楚地表明了数学学习的基本性质：主要是教师指导下的不断优化．

例如，依据上述立场我们在教学中显然就不仅应当高度重视对于学生错误的必要纠正，也应通过对照比较促使他们在结论、方法等方面实现必要的优化；我们又不仅应在学生遇到困难时通过适当示范或提问给他们必要的支持，也应注意引导他们由单纯的“解决问题”转而进一步去思考如何能在其他方面也能有更大收获，包括努力提升自身在这一方面的自觉性．

最后，依据上述分析我们也可对“就题论道”做出具体的解读：不仅教师本身对于解题教学的目标有清楚的认识，也应使之逐步成为学生的共识，从而实现这样一个更高的境界，即师生具有共同的目标、共同的追求．

进而，以下的概括不仅清楚地表明了教学双方在数学教学中所应从事的主要活动，包括数学教学的特殊性，而且也为我们深入认识数学解题教学的意义提供了重要启示，包括我们究竟应当如何去从事数学解题的教学(图1)．以下就首先联系若干实例对此做出具体分析．

图1

(未完待续)